В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Предположим, что для нашей амачи это внешнее течение имеет вид (3.1). — ~ л Уравнения Навье — Стокса справедливы для пограничного слоя. 1 Напишем эти уравнения в безраз- 1 мерном виде, учитывая, что при 1 Ке — ьсо толщина пограиичиого слоя Рис. 19 и компонента скорости пз в этом слое стремятся к нулю. С этой целью введем безразмер- иые переменные х,' = х,/Ь, я* = х Ке'/1., о*,= и,/У. и" = и Кег/сг, р'= (р — р )/(р(Р~, ! (3.2) где ро означает постоянное давление .при х, -е — со, а по- казатели а и р положительны. Безравмериое давление определено с учетом того факта, что наложение дополнительного равномерного поля давлений ие влияет иа поток несжимаемой жидкости. Степени числа Рейиольдса, введенные при определении- переменных х и и', обеспечивают равенство порядков величин х' и х', и величин и* и и*, при Ке -ь со.
Записанные в безраамериых перемец- иых (3.2) уравнения установившегося плоского течения (2.1) и (2.2) принимают вид ч>;д,*ай+ Ке' гоздзп*,= — д;и*+Ке '(д~гй~+Ке дгтп~), (3 4) Ке ' зпгдЫ+Ке пздапг= = — д$р'+ Ке-'-в-0(дцп;+ Ке джпз) (3 5) Гл. П. Вязкие жидкости о =о*=О при х'=О, (3.8) о',=1 при х*=со. (3. 9) Уравнения пограничного слоя (3.6) и (3.7) значительно проще, чем общие уравнения Навье — Стокса для плоского установившегося течения, но тем не менее они остаются весьма сложными вследствие нелинейности уравнения (3.7). Соображения, приведенные выше, справедливы с некоторым приближением для потока вдоль слабо искривленного тонкого профиля, изображенного на рис.
20, если за координату х, принять длину дуги профиля, а за координату ха †расстояние по нормали от профиля. Разумеется, в этом случае давление )т в пограничном слое уже зависит от координаты х, и функция р (х,) должна быть определена из расчета потенциального обтекания профиля. Так как в этом течении давление р (х,) и модуль скорости о (х,) вдоль профиля Для того чтобы в уравнении (З.З) при Ке — »со оба члена были величинами одного порядка, должно выполняться равенство а = р, а чтобы при Ке — »со в уравнении (3.4) оставался член, содержащий вязкость, должно быть выполнено условие а='/э. При а=р='/з и прн Ке-»оо в уравнении (3.5) стремятся к нулю все члены, кроме члена, содержащего давление. Отсюда заключаем.
что в пограйичном слое давление не зависит от х*. Так как в нашем примере давление во внешнем потоке постоянно и равно ро, то и во всем пограничном слое оно будет иметь ж такое же постоянное значение. Поэтому ' для Ке †»со уравнения (3.3) к (3.4) упрощаются и принимают вид д",о',+д"оеа=О, (3.6) о',д;й,+о~дно;= д~рп (3.7) Рис. 20 Согласно определению величины х', при Ке-»со внешняя граница погра« пичного слоя соответствует аначению х' = со.
Следовательно, при 0 ~ х", ~(1 граничные условия для уравнений (3.6) и (3.7) примут вид д уравнения пограничного слоя связаны уравнением Бернулли р/р+ое/2=сопя!, то имеем равенство — дьр = родго. Таким образом, для рассматриваемой задачи уравнение (3.7) заменяется следующим уравнением: о~дго1 + вздев~ = о'д1о'+ дево~ (3.10) в то время как уравнение (3.6) можно оставить без изменения. В уравнении (3.10) безразмерная скорость о*=о!'(7 потенциального течения представляет собой известную функцию координаты хп Прн 0 ( х,'~(! граничное условие (3.8) справедливо и для настоящей задачи.
а условие (3.9) должно быть заменено следующим равенством: о,'=о' при х'=со. (3.11) Вернемся теперь к уравнениям (3.6) н (3.7) с граничными условиями (3.8) и (3.9). Первое уравнение наводит на мысль о введении функции тока ф(х,', х'), через которую безразмерные компоненты скорости выражаются следующим образом: (3.!2) о~ = дзф, ое = — дгф Тогда уравнение (3.6) сразу удовлетворяется, а уравнение (3.7) принимает внд может иметь следующий вид: ф=х', '7' (3.15) д;ф д'„ф — д*,ф дю ф = д;„ф. (3.13) Рассмотрим преобразование х*,=ах',.
х,'=~х*. ф=уф, где и, р, Т вЂ” постоянные. Легко проверить, что дифферен- циальное уравнение для функции ф(х1, х6), полученное из уравнения (3.13), будет иметь тот же вид, что и уравне- ние (3.13), если принять Т = а1р. Чтобы сохранило свой вид граничное условие, получающееся из (3.9), нужно поло- жить р = Т.
Тогда справедливы соотношения х х (3.14) 1л 1а 3/г чэ х| ' хг х,' х*, Эти соотношения показывают, что решение уравнения (3.13) Гл. тд Вяекил жидкости Подстановка выражения (3.15) в уравнение (3.13) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению 2У"'+ УУл = О.
(3.16) ,'в Для малых значений величины к=х /х, это уравнение можно проинтегрировать при помощи степенного ряда. Так как множитель 2 в первом члене уравнения (3.16) неудобен при сравнении коэффициентов, то исключим его, введя функцию л= у(2. Тогда функция к удовлетворяет дифференциальному уравнению 8"-)-ддл = О (3.17) и граничным условиям и.=О. л'=0 при 1=0, (3. 18) л" = '/я при 1=со, (3.19) которые следуют из условий (3.8) и (3.9). Из граничных условий (3.18) видно, что степенной ряд для функции а' начинается с квадратичного члена, который запишем как аР/2.
Далее, сравнение коэффициентов показывает, что только члены вида с~"+~ (и = О, 1, 2, ...) имеют коэффициенты, отличные от нуля. Следуя Блазиусу '), представим функцию л в виде л ели + ел+2 Х ( ) (Зп+ 2)1 л 0 сл = а'ЬХ ( — 1)л 'л (аш1)'"" (3 20) (Зп+ 2)1 л 0 где се= 1 вследствие выбранной выше формы первого члена. Подставляя разложение (3.20) в дифференциальное уравнение (3.17) и применяя метод сравнения коэффициентов, получаем для первых четырех коэффициентов ряда следующие значения: с, = 1, сз — — 11, сз= 375, сл — †278.
Степенные ряды, полученные таким путем, удовлетворяют граничным условиям (3.18) при любом значении параметра а. Это значение должно быть теперь определено нз граничного условия (3.19). ') В!а е1 и е Нл ХегтесагГУ1 У; Мота. ипЫ Раус, 56 (1908), 1. 8. Уравнения Лограяичлого глох С этой целью положим сначала и=1 й вычислим ряд (3.20) и ряды для функций й' и л", полученные в результате почленного дифференцирования ряда (3.20), при таком значении с= 1, ) О, при котором зти ряды еще хорошо сходятся. Полученные таким образом значения й. и', л" прн $ = Е, используем как начальные значения при численном интегрировании уравнения (3.17); интегрирование будем продолжать до тех пор.
когда можно будет с достаточной точностью оценить асимптотическое значение функцин й' при 1 †ь. Выбрав а = 1, получим асимптотическое значение лля л', равное 1,655. Для выполнения граничного условия (3.19) величину а нужно определить таким образом. чтобы это асимптотическое значение приводилось к '/м При этом обратим внимание на то, что, в силу уравнения (3.20), между асимптотическими значениями функции й' при я = 1 и функции 3' при любом а существует следующее соотношение: К/ = а л (к'/)а - г (3.21) Следовательно, требуемое значение а получается из равенства 0,5 =~ 1,655ачь (3.22) т.
е. а=0,166. Для рассматриваемой здесь несжимаемой жидкости иа определяющего уравнения (5.16) гл. ЧЧ получим напряжение сдвига на пластине (0( х*, (1, х'=0) в следующем виде: Т =р(д1о +дго,)=рдтон (3.23) Принимая во внимание формулу (3.2). получаем равенство Ь 7 Ч1 дгог —— —, Тж — — ( — 1 Тж. (3. 24) рике'л (, ври / С другой стороны. из уравнений (3.12), (3.15) и (3.2) находим соотношение д~о1=джф=хг '~ =2х1 '4 =2(А/х,)ый, (3.25), где при х'='0 функция и" равна а.
Поэтому напряжение сдвига на пластине имеет вид Т, = 2а(рр(Р/х,)м. (3 26) рк. И. Вязкие ясидкосгп Так как касательное напряжение действует на обе стороны пластины, то сопротивление трения пластины иа единицу длины, измеряеиой перпендикулярно к плоскости потока, выразится в виде О = 2 ~ Т,~ г)х, = 8а (р рП7з) ь = 1,328 (рр)ЛР) '.
(3.27) о 4. Несжимаемая жидкость. Неиьютоиовское поведеиие жидкости. Согласно определяющему уравнению (5.16) гл. 1Ч, которое было положено в основу приведеииых выше выводов, относящихся к вязкой жидкости, тензор напряжений Т записывается как сумма ивотропного тензора — рй и девиа- тора напряжений Т', который считается пропорциональным девиатору Ч' скоростей деформаций (см. уравнеиие (б.18) гл. !Ч).
Для рассматриваемой несжимаемой жидкости теизор Ч' идентичен тензору Ч скоростей деформаций и ньютоновское поведеиие вязкой жидкости характеризуется соотношением Т' = 2рЧ. (4.1) До сих пор коэффициент вязкости р считался постоянной величиной, характеризующей материал, ио на самом деле этот коэффициент зависит от температуры. Для того чтобы соотношение (4.1) было линейным, коэффициент вязкости ньютоновской жидкости не должен вависеть от компонент - скоростей деформаций. При рассмотрении неньютоиовской жидкости линейное .
соотношение (4.1) нужно заменить нелинейным. Сделаем первый шаг в этом направлении, предположив, что в соотношении (4.1) вязкость р зависит не только от температуры, ио и от компонент скоростей деформаций. Но так как вязкость р представляет собой скаляр, то оиа не может быть произвольной функцией компонент Ч, а должна зависеть от инвариантиых выражений, образованных иа этих компонент, которые, как и основные инварианты (1.19) гл. !11, являются скалярами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
