В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(2.3) 1 й Установившееся движение Иа соотношения (2.3) следует, что все элементы, определенные рассматриваемыми линиями тока и вихревыми линиями, содержат одинаковую массу. Вихревые липни, проведенные через точки четырехугольника АА'А' А', ограничивают четырехгранную вихревую трубку с поперечным сечением аг8= тг з)п 0 Итогу», интенсивность которой, согласно формуле (2.2), равна 2ш аЯ = 2омг з(п 0 ггл »1» = ггхде. (2. 4) Из равенства (2.4) ясно, что все вихревые трубки, определенные рассматриваемыми вихревыми линиями на поверхностях О=с и О=с+»(с, имеют одинаковую интенсивность. По истечении промежутка времени д). каждая вихревая трубка.
рассматриваемая как материальная, занимает первоначальное положение предшествующей трубки. Одно ив выведенных здесь следствий уравнения движения (2.1) используется особенно часто: вдоль линии тока полная удельная внереия имеет настоянное значение. Йта теорема обычно называется законом Й Бернулли' ), а постоянное значение полной внергии называется постоянной Бернулли для данной линии тока. Как показывает предыдущее обсуждение, основанное на геометрических соображениях. указанных Р.
Мизесомз), постоянная Бернулли имеет одинаковое значение для всех линий тока, пересекающих заданную вихревую линию. В заключение применим полученные результаты к случаю плоского стационарного вихревого движения. Прн описании плоского движения воспольауемся системой прямоугольных декартовых координат, ось хз которой перпендихулярна плоскости течения, совпадающей с плоскостью хп хт. Вихревые линии направлены параллельно оси хз и являются образующими цилиндрических поверхностей уровня полной удельной энергии О (хг. хз) = сопз1. линии пересечения которых с плоскостями хз=сопз1 представляют собой линии тока. Поскольку линии тока, проведенные через две соседние точки вихревой линии, расположены на постоянном расстоянии друг от друга, то отношение гв/р имеет постоянное значение вдоль линии тока и, следовательно, на поверхностц Бегло в!11 О., Нудгодупзшгса, Агйепгогагг, 1738.
М1ь е з к., Ееуьесдг(77 Матд. ила Раув, 57,(1909), 1. 126 Га К Идее*киме ясидкосги О =солях Следовательно, отношение тз/р представляет собой функцию полной энергии О; здесь ш можно отождествить с единственной не равной нулю составляющей чвз вектора вихря. В частности, прн плоском установившемся движении однородной несжимаемой жидкости вихрь имеет одинаковое аначение во всех точках линии тока.
3. Безвихревое течение. Согласно уравнению (1.9) гл. 1'т', поле скоростей безвихревого по ока можно представить как градиентное поле потенциала скорости р(х, г) в виде ч = йта6 ~р. (3. 1) Тогда из уравнения движения (1.3) следует соотношение — да+(У+Р+ ™, =1(с), (3.2) так как градиент левой части равен нулю. Согласно формуле (3.1), прн заданном поле скоростей и потенциал скорости р определяется с точностью до произвольной аддитивно» функции времени л. Поэтому в уравнении (3.2) член у (г) можно включить в член д~р/дг, т. е.
правук часть уравнзния можно заменить нулем. В акустике массовые силы, например вес воздуха. обычно не учитывают и ограничиваются исследованием малых колебаний давления и плотности около средних значений рз н р, не зависящих от времени и координат. Обозначим пройзводную функции р(р) при р=рз через ст:, (+) = сз. (3.3) Тогда для рассматриваемых малых колебаний давления и плотности можно использовать приближенное соотношение Р Ро=с (Р Ро) (3.4) и отсюда, в силу уравнения (6.15) гл.
!1, следует равенство Р = (Р— Рз)ГРе (3.6) Так как массовые силы не учитываются, то в уравнении (3.2) можно опустить член У. Примем, далее, что последним членом левой части уравнения (3.2) можно пренебречь, т. е. полагаем, что величина кинетической энергии пз/2 имеет второй порядок малости. а величина знергин давле. д двзвикрваов теченял пия Р— первый порядок малости. Введя эти упрощения и полагая у (С) = О, из уравнения (3.2) получим соотношение др+~ =О. (3.6) При помощи равенств (3.4) и (3.5) уравнение неразрывности (1.2) гл. 1Ч можно записать в следующем виде: д Р+ тт д Р+ (с'+ Р) дто = О.
(3.7) Естественно обобщив уже сделанные допущения о порядке величин Р и о, отбросим в уравнении (3.7) члены, являющиеся произведениями функции Р и компонент скорости иа соответствующие производные этих фуикций. Введя потенциал скорости, получим уравнение д Р+ сад вв = О. (3.8) Исключив из уравнений (3.6) и (3.8) потенциал скорости. окончательно запишем равеиство д,Р=с АР. (3.9) Если же из уравнений (3.6) и (3.8) мы исключим величину Р. то получим уравнение такого же вида для потенциала скорости. Уравнение (3.9) называется волновым уравнением.
Интегрирование этого уравнения выходкт за пределы настоящей книги. Выясним механический смысл постоянной с в уравнении (3.9). Для этого рассмотрим частный случай, когда Р зависит только от одной коордииаты, например от координаты х,, Тогда волновое уравнение примет вид двэР=с д Р. (3.10) Решение этого уравнения выражается следующим обравом: Р=)'(х,+сг)+8 (х,— ст), (3.11) где 7' и к — произвольные дважды дифференцируемые функции.
Принимая во внимание равенство (3.5), отметим, что первый член правой части равенства (3.11) определяет волну давления, перемещающуюся без изменения формы в отрицательном направлении оси х, со скоростью с. Волна' давления, соответствующая второму члену правой части равенства (3.11). движется в положительном направлении 123 Гл. 'ь' Идеальные жидкости иь (7+ Р+ — = сопв1. 2 (3.12) Как было показано в п. 2, прн стационарном вихревом движении соотношение подобного вида имеет место вдоль каждой линии тока, но разным линиям тока соответствуют в общем случае различные значения постоянной Бернулли. В случае же рассматриваемого здесь стационарного потенциального течения этв постоянная имеет одно и то же значение во всем поле потока.
Во многих случаях, как и. в акустике, можно не принимать во внимание массовые силы. Так, например, в аэродинамике при вычислении сил, действующих на несущее крыло самолета, пренебрегают весом воздуха. Опуская в уравнении (3.12) член, соответствующий массовым силам:, запишем-это уравнение в упрощенном виде Р+ — оз = сопз1. 1 2 (3. 13) Так как. согласно определению. величина Р представляет собой функцию давления, то для ваданногэ потока, т. е. для известного значения постоянной Бернулли, из уравнения (3.13) получим зависимость давления р, а, следовательно. и плотности р от величины скорости и.
Выведем теперь дифференциальное уравнение для потенциала скорости установившегося безвихревого течения идеальной баротропной жидкости. Для этого вернемся к основным уравнениям (5.1) и (5.2) гл. Б. Принимая во внимание определяющее уравнение (5.17) гл. ЪМ и учитывая стационарный характер потока и отсутствие массовых сил, приведем упомянутые уравнения к виду о„д р+ рдгог — — О, ро д1оь + д„р = О. (3. 14) (3. 15) оси хп Следовательно. постоянная с равна скорости звука, т.
е. скорости распространения малых возмущений давления в покоящемся газе. Заключительная часть настоящего пункта будет посвящена установившимся потенциальным течениям. Учитывая, что поле скоростей н поле давлений такого течения не зависят от времени, из уравнения (3.2) получим уравнение Бернулли 3. гаезвилрееое Еееекяа Вследствие баротропности жидкости, можно записать равенство ар д„р= Р дар= свдер, ггр (3.16) где с — скорость звука, определяемая уравнением с = (ирудр)'*. (3П7) не является постоянной, как в акустике, а соответствует l местному значению плотности р.
Согласно уравнению Бер. нулли (3.13). зта местная скорослгь звука есть известная функция модуля скорости о. Подставляя выражение (3.16) в уравнение (3.16) и умно. жая полученное уравнение на оа. получаем соотношение ро1о„дре+ саведер = О. (3.18) Согласно уравнению (3.14), второй член уравнения (3.18) можно заменить выражением — сгрдго1 — — — сгр37ад)оа. Таким образом, находим газодинамическое уравнение (сгй)е — тг1ое) д)тг„= О.
(3.19) Введя в уравнение (3.19) потенциал скорости, получим нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка для потенциала скорости р: (сг31„— д лгдегр) дгеу = О. (3.20) где член У определяет основное равномерное ягечение в положительном направлении хн а члены и, и иг означают малые возмущения етого основного потока. Подставляя выражения (3.21) в уравненйе (3.19) и пренебрегая членами, нелинейными относительно ин иг и их первых производных, получаем уравненйе 1 — —,,) д,и, + д,и, О. ( ) уа т (3.22) 9 в прагер Здесь местная скорость звука с.
определенная выраженйем (3.17), есть известная функция модуля 8габ<р. Чтобы уяснить математический характер уравнения (3.20), . рассмотрим плоское течение вида тг1 = (7+ а1 т'а= из па=О (3.21) Га У. Идеальные жидкости Так как скорости возмущения а,, и предполагаются малыми по сравнению со скоростью (7, то местная скорость звука с определяется здесь скоростью с7 основного потока, т. е. рассматривается как постоянная. Отношение М=— и с называется числом Маха основного потока.
Поскольку мы предполагаем течение безвихревым и ос. поеное равномерное течение обладает этим свойством. то поле скоростей возмущения с компонентами и, из, 0 должно быть также безвихревым, т. е. должно обладать потенциалом скорости р(хн хД, который называется потенциалом еозмугценил. Согласно уравнению (3.22), этот потенциал удовлетворяет следующему уравнению: (1 — Мэ) дыр+ дар = О. (3.24) В дозвуковой области М ( 1 и коэффициенты обоих членов левой части уравнения (3.24) имеют одинаковые знаки, а в сеерхзеуиоеод области М > 1 и они имеют разные знаки. Поэтому уравнение (3.24) в дозвуковой области является уравнением эллиптического типа, а в сверхввуковой области — уравнением гиперболического типа. В рассматриваемом простом примере дифференциальное уравнение потенциала скорости принадлежит к одному и тому же типу во всем поле течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
