В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Такам образом, уравнение (2.4) упрощается и принимает вид ао Р„+ — дсТсе. 1 (2.6) Это. уравнение движения, выведенное из теоремы о колис честве движения, можно также получить из условия равнО-' где Ре (х, с) — поле удельных массовых сил (кроме сил инерции), Т, (х, с) — поле напряжений, а ос — единичный векТор внешней нормали к поверхности 8, ограничивающей объем ]Г. Преобразовав второй интеграл в выражении (2.2) по теореме Гаусса, получим формулу )ссо= ~ (рРе+ дсТт)Нг.
Теорема о количестве движения утверждает, что для произвольно выбранного объема У выполняется равенство Сео = сто. Тогда, согласно формуле (4.11) гл. 111, можно записать соотношение 2. Теорема о количестве движения 105 весия (2.7) гл. И, если к удельной массовой силе Р» добавить удельную силу инерции — а . Формулировку теоремы о количестве движения в малом.
данную уравнением (2.6), можно сопоставить со следующей формулировкой в бол»том. Принимая во внимание соотиошеиия (4.!0) гл. П! и формулу (2.2), записываем теорему о количестве движения посредством следующего равенства: / до (ро») ИУ вЂ” ~ (Т» рп о») ч й8+ ~ рР» с(У, (2 7) Левая часть этого равенства представляет собой скорость увеличения количества движения сплошной среды, находящейся в фиксированной части У простраиства вследствие зависи мости от времени поля -плотности и поля скорости. Если первый член правой части записать как сумму двух иитегралов, то первый, интеграл этой суммы будет результирующей поверхностных сил, действующих в данный момент иа среду, заключенную в объеме У, а второй интеграл этой суммы будет озиачать поток количества движения через поверхиость 8 внутрь объема У.
Наконец, последний член пра вой части означает результирующую массовых сил, действующих в данный момент иа среду, иаходящуюся в объеме У. Применяя соотношение (2.7) к сл1ационарному движению внутри трубка тока и испольвуя обозначения, введенные в конце предыдущего пункта, получаем равенство )ч» = р"и"и» с!8" — р'чз'и' ч78', . (2.8) где Й» — результирующая массовых и поверхиостиых сил, действующих в дзииый момент иа среду, ааключеииую в рассматриваемом участке трубки тока. В качестве второго примера примеиеиия соотношения (2.7), выведем выражение для силы Р», действующей на покоящееся твердое тело со стороны сплошной среды, находящейся в стациоиариом движении.
Для этого применим соотношение (2.7) к части У пространства, ограниченной поверхностью 8' твердого тела и контрольной поверхностью 8", которая охватывает поверхность 8'. Так как движеиие должно быть стациоиариым, то левая часть соотношения (2.7) обратится в нуль. Кроме того, нормальная скорость о ч равна нулю иа поверхности 8', а результирующая поверхностных сил, действую- Гл ТУ. Основные законы Р„=Рв+ ~ РГеН' — ~ Рпгтгв~гбЮ".
(2.9) При отсутствии массовых сил равенство (2.9) часто применяется к предельному случаю, когда поверхность Ювпредставляет собой сферу бесконечно большого радиуса. Соотношение (2.7) применяется также в теории турбулентности. где рассматривается поле скоростей пв(х. !), представляющее собой наложение скоростей о„'(х. !) упорядоченного 'среднего движения и скоростей па'(х, !), определяющих турбулентные Ялунтуаций. Статистический характер последних выражается следующим постулатом: интегралами по объему или по поверхности от функций, линейных относительно турбулентных компонент скорости и" или их производных, в соотношении (2.7) можно пренебречь.
если наименьший линейный размер. характеризующий область интегрирования. превышает определенную длину. Для однородной несжимаемой среды уравнение (2.7) принимает следующий вид: уР 1( Рп ) — ~ рп'и'т б8+ ~ РР„ИУ. (2.10) Если исключить второй член в первом интеграле правой части, то уравнение (2.10) будет соответствовать теореме об импульсе (2.7) для среднего движения.
Влияние турбулентных флуктуаций на среднее движение.представлено, следовательно, турбулентными нанряжениями т„"= — Рп,"па". (2.11) которые введены в теорию турбулентности Рейнольдсом !). ') йеупо!йз О„Рдг!ое. Тгалв„!74 (1883), 935. щих по поверхности 8Г на среду; заключенную в объеме У, равна и противоположна искомой силе Р„. Следовательно, если обозначить через Рв результирующую поверхностных сил, действующих по поверхности Ю" на среду, занимающую объем У. то, согласно уравнению (2.7).
8. Теорема о моменте количества дваемения 107 3. Теорема о моменте количества движения. Среда. содержащаяся в момент 1 в ограниченной регулярной поверхностью части У пространства, обладает относительно начала координат моментом количества движения Фн определяемым раввнством йтг — ~ зыехрц, Я~. (3.1) С другой стороны. момент М, массовых и поверхностных снл, действующих на эту часть среды, относительно начала координат равен сумме интегралов М! — ~ енех!РРеНУ+ ~ е ех Т чгЖ. (3.2) Пользуясь формулой Гаусса и принимая во внимание симметрию тензора напряжений, можно представить этот момент в следующем виде: М! = ~ зс/ахи(рРе+ деТы) Н~. (3.3) Теорема о момеилге холичесглзи движения утверждает. что для произвольно выбРанной части У пространства выполняется равенство К = М~ Следовательно, согласно уравнению (4.11) гл.
!П, можно записать равенство еые [х!до (Рое)+ дс (и!х1Рое) — х!РРе — х!д!Тге) = О. (3.4) Второй член в квадратных скобках левой части равенства (3.4) преобразуется к виду е, „х д,(Ровне)+ в, еРо,не = в,1ех~дг(Роеог). поэтому. в силу уравнения (2.4), равенство (3.4) выполняется тождественно. Таким образом, теорема о моменте количества движения не дает никакого дифференциального уравнения движения среды.
Это обстоятельство не является неожиданным, так как в результате статического исследования в п. 2 гл. П было получено уравнение (2.8). выражающее симметрию тензора напряжений, которая предполагалась здесь заранее. Тбй Гл. Iг'. Основные законы Используя уравнение (4.10) гл. В1, можно сформулировать теорему о моменте количества лвижения в большом следующим образом: зг)»х)дь(Ро») йУ= / гн„х ("с»г — Ре»ос) ч й5+ + ~ гО»х.рр» йУ. (3,5) В этом виде ее можно применить, например, для нахождения момента Н„силы Рю определенной уравнением (2.9). относительно начала координат. Применяя те же обозначения, что и при записи уравнения (2.9), получаем соотношение Н = Н + ~ е, »х рр»йУ вЂ” ~ г»х ро»ест йЗ', (3.6) где Нг — момент относительно начала координат поверхностных сил, распределенных по поверхности Я" и действующих на среду, заключенную в объеме У.
Вектор силы (2.9) и вектор момента (3.6) определяют линию действия силы, с которой среда действует на обтекаемое тело. 4. Теорема об энергии. Отметим, что предыдущче результаты этой главы имели исключительно механический характер. В настоящем пункте будет рассмотрено вааимодействие термических и механических процессов. Энергию.
содержащуюся в момент 1 в ограниченной регулярной поверхностью области У, представим как сумму кинетической энергии Г 1 аЗ = ) ро»о»йУ и внутренней энергии $=~ рейУ, (4.2) , где величина е означает удельную внутреннюю энергию. — Введем далее вектор потоки телла и, определяемый следующим образом. Если йо есть элемент поверхности с единичной нормалью ч», то выражение д т»Ю представляет собой скорость передачи энергии немеханнческнм способом через элемент поверхности Ю в направлении вектора ч».
Если, например, этот немеханический перенос энергии вызван только теплопроводностью. то тепловой поток выражают в виде 4» = —,))д»Е. (4.3) Е. Теорема об энеегии где е' — механический эквивалент тепла. ). — теплопроводность, а  — абсолютная температура. Воавращаясь к общему определению вектора р„, мы отметим, что сплошная среда, содержащаяся в данный момент в объеме У, теряет энергию немеханическим способом через граничную поверхность 8 объема У со скоростью .9.'= ~ г)гчаг(8= ~ дадаг(У.
(4.4) С другой стороны, работа в единицу времени массовых н поверхностных сил, действующих в данный момент на зту .среду, определяется выражением еу'= ~ РРаоа дУ+ ~ Т чго И8= = / [Р['аоа+ дг(Тгаоай<й~. (4.6) Согласно теореме об изменении энергии, для любой части У пространства выполняется- равенство ея' +.й = = ет' — .у. Следовательно, в соответствии с формулой (4.11) гл. 111, запишем соотношение (- 2 оаоа+е)[д,р+д7(роГ)[+р [дое+о1д е)+ 1 + о„р [даоа + о1д7оа[ = — оа [рРа+ д Тча[+ Тгадгоа — дата. (4.6) Выражение в первых квадратных скобках левой части приведенного соотношения равно нулю на основании уравнения неразрывности (1.2), а выражение в третьих квадратных скобках той же части соотношения определяет, согласно .формуле (4.2) гл.
Ш. ускорение о„. Третий член левой части .н первый член правой части взаимно уничтожаются в силу уравнения (2.6). Наконец, вследствие симметрии тензора напряжений, второй член правой части мощно записать в виде 7ыд йоИ = Т„,У„п где Уы — тензоР скоРостей дефоРмаций. Таким образом, уравнение (4.6) упрощается и принимает вид р (дзе+ падве) = ТыУд, — д„да..(4.7) Выражение в круглых скобках равенства (4.7) представляет собой материальную скорость изменения е' удельной внутренней энергии е.
Гд 1У. Основные законы Если. в частности, вся немеханическая передача энергнн происходит путем теплопроводностн н коэффициент теплопроводностн не зависит от положения частицы, то нз равенств (4.3) и (4.7) следует уравнение р (дсе+ Ф~д»е) = Т»!Уы+ Лд~»»т. (4.8) Из уравнения (4.8) получим обычное уравнение теплопроводностн в покоящейся среде, вычеркнвзя члены, содержащие о» н У»и н принимая выражение для удельной внутренней энергии в виде е=lс6, (4. 9) где с — удельная теплоемкость прн нулевых скоростях де.
формаций. В уравнениях (4.7) н (4.8) член Т»!У»! представляет собой мощность напряжений, соответствующую скоростям деформаций. Чтобы вывести часто используемое второе выра'- жение для этой мощности, воспользуемся формулами (3.2) гл. П н (1.21) гл. Ш в следующем виде: Т„=Т'„,+Тйы, Уы = Уи+ У'3»ь (4.10) (4.11) (4. 12) 3. Основные уравнения. Суммируя результаты предшествующих пунктов настоящей главы. отметим, что прн движении всякой сплошной среды выполняются следующие дифференциальные уравнения: 1) уравнение неразрыеносгни (1.2), дар+ д) (ро1) = 0; (5.1) 2) уравнение движения (2.6), которое, согласно формуле (4.2) гл.
1!1, можно записать в следующем виде: р (дсо» + оу др») = рр» + д Т1», (5.2) Ю Здесь Т», — девиатор напряжений, Д вЂ” среднее нормальное Р напряжение, У»! — девиатор скоростей деформаций, а е'— Р средняя скорость удлинения. Так как Т»!Ь»,=Т»»=0 н ана- Ф логично У»гйы=У»» —— О, то, вследствие равенства Ь»» — — 3, получим окончательное выражение Т„,У„= Т»»У»,+3Т7 . д Основные кривления 3) уравнение внергии (4.7), р (две+ о1 д е) =Т У „— дуур (5.3) Во многих задачах механики сплошной среды можно не учитывать взаимодействия механических и термических процессов и ограничиться изучением исключительно механических процессов. Исследуем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
