В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Аналогичное 'замечание справедливо н для направления х . Согласно определению, данному в п. 1 настоящей главы, прн одноосном состояннн двнження тензор скоростей деформацнй всюду является одноосным. Неодноосное состоянне движения называется плоских, если существует прямоугольная декартова система координат, в которой поле скоростей имеет вид п,=п,(хп х,).
о,=п,(хп хя). оз=О. (2.2) Аналогично предыдущему. легко показать, что прн плоском состоянии движения тензор скоростей деформаций будет всюду плоским. Рассмотрим теперь матернальные линейные элементы, которые всходят нз одной частяцы Р, находящейся в плоскости х = О, н располагаются в той же плоскости. Согласно 2. Плоское состояние двиясения формулам (1.6), при плоском движеиии (2.2) вектор вихря имеет следующие компоненты: 1 то, = ща = О, коз = — (д1па — даю,).
2 (2.3) и все рассматриваемые лииейиые элементы имеют мгновенное вращение с угловой скоростью ки вокруг оси, проходящей через частицу Р в направлении хз. Если величина киз положительиа, то направление этого вращеиия находится в той же связи с положительным направлением оси хз, как вращеиие правого винта с его поступательным движением. На мгновенное вращение накладывается еще мгновенная чистая деформация. Чтобы исследовать влияние этой деформации иа рассматриваемые материальные линейные элементы, воспользуемся прямоугольными декартовыми координатами х',, х', х' = хз, оси которых имеют направление, главных осей теизора скоростей деформаций частицы Р. Пусть У~ и Уц (Уц чь У~) — главные зиачеиия теизора скоростей деформаций, которые соответствуют направлениям х, 'и х,', и пусть нумерация штриховаииык осей проведена так.
что Ус > Уц. Рассмотрим в первом или втором квадранте плоскости х,', х' направление р, образующее угол р с положительной осью х,' и определяемое направляющими косинусами р,'= з!пр. рз'= О. р,'=совр, (2.4) Согласно формуле (1.14). скорость удлииеиия по этому иаправлению равна У = У, сова р.+ Уц з(пт р = 1 1 — 2 (У~+ Уц) + 2 Я вЂ” Уц) соз 2<р. (2.5) Так как составляющая о' скорости частиц тождественно равна нулю. то вектор скорости сдвига для направления р расположен в плоскости х,', х'. В формуле (1.22) едииичиому вектору т было дано иаправление вектора скорости сдвига, так что величина Ул по определению была иеотрицательиой. Для рассматриваемого 88 Гл П1.
Мгновенное состояние двитения здесь плоского состояния движения выберем в плоскости х,', х' единичный вектор ч, перпендикулярный к единичному век- тору р, таким образом, чтобы векторы р, ч н положитель- ное направление оси х' образовали правую систему. Тогда справедливы равенства ч,'= — р.'= — з)пр, ч =р.,'=соз~р, '=О. (2.6) Скорость сдвига У, вычисленная по формуле (1.22), теперь может быть положительна или отрицательна. Значе- ние Уз представляет собой вклад мгновенной чистой дефор- мации в угловую скорость материального линейного элемента, исходящего из частицы Р в направлении р. Прн этом напра- вление вращения в случае положительного значения Уз соотс ветствует положительному направлению оси хз подобно тому, как направление вращения правого винта соответствует на- правлению его поступательного перемещения. Из формул (2.4).
(2.6) и (1.22) получаем соотношение Уз — — — — (У~ — Уп) з!и 2р. 1 (2.7) Полную угловую скорость Я рассматриваемого материаль- ного линейного элемента получим, прибавив к значенйю (2.7) угловую скорость тз мгновенного вращения окрестно- сти частицы Р.
Таким образом находим следующее выражение: Я = чвз — — (У! — Уп) з!и 2р, 1 2 (2. 8) где угловая скорость чвз определяется формулой (2.3). Для графического изображения относительного движения окрестности частицы Р, расположенной в плоскости ха=О, введем в рассмотрение плоскость относительных скоро- стей. в которой точка с абсциссой Я и ординатой У, соот- ветствует направлению р в плоскости хз —— О. При изменении направления р эта точка описывает окружность. Параметри- ческие уравнения этой окружности задаются формулами (2.5) и (2.8). в которых угол р образован положительным напра- влением осн х,' и направлением р.
Радиус окружности 1 равен — (У! — Уц). а центр расположен в точке В, имеющей 2 1 т координаты твз и — (У!+Уц) (рис. 12). Верхняя точка Хг 2 втой окружности относительных скороспый соответст- вует направлению х,'; ордината этой точки представляет собой й Плоское состояние деиткения йй максимальную скорость удлинения У~ в плоскости движения.
те Нижняя точка Хя соответствует направлению хз. а ее орда- ната представляет собой минимальную скорость удлинения Кп в втой плоскости. Общая абсцисса указанных точек представляет собой угловую скорость тоз мгновенного вращения. Если точка М' окружности, изображенной на рис. 12, соответствует рассмотренному выше направлению р. то, Рис. 12 Э ° согласно формулам (2.5) и (2.8), угол Хт ВМ имеет вели- те чину 2р. Прямая, проведенная через точку Хт параллельно I оси хы пересекает прямую, проходящую через точку М' в направлении р, в точке Р* окружности относительных л ° скоростей, так как угол Хт Р М равен вписанному углу В дуги Хт М .
Точка Р называется лолюсолг окружности относительных скоростей. Чтобы найти точку этой окружности, соответствующую заданному направлению в плоскости движения, нужно через полюс провести прямую в этом направлении; вторая точка пересечения этой прямой с окружностью будет искомой точкой. В заключение этого пункта исследуем скорость изменения угла между двумя материальнымн линейными элементами., лежащими в плоскости движения. Направления втих элементов обозначим череа ) н р, а соответствующие им точки на окружности относительных скоростей через Ь' и М'(рнс.
12). 90 Гл !гг. Мгновенное еосговние двиягения Рассмотрим -линейные элементы, параллельные прямым Р*г.' и Р'М', угловая скорость этих элементов задается абсциссами г.' и М' соответственно. причем положительная абсцисса овначает вращение против часовой стрелки. Таким образом. для положения, изображенного на рис. 12, материальный угол, соответствующий углу г'.*Р*М'. увеличивается со скоростью, которая определяется разностью абсцисс точек' г.' и М'.
Так как наибольшая разность между абсциссами двух точек окружности относительных скоростей равна разности абсцисс точек В1 и Вп, то материальныйугол, соответствуюн * ° щий углу В~Р Вп, увеличивается быстрее, чем любой другой материальный угол в плоскости движения. Вследствие того. что в определение скорости сдвига введен множитель '/м эта максимальная скорость изменения равна удвоенному значению главной скорости сдвига в плоскости движения. Так как при рассмотрении главных скоростей сдвига определялась скорость изменения только первоначально прямого угла, то из приведенного выше высказывания видно, дто из всех материальных углов в плоскости движения быстрее всего изменяется нряггой угол между глав)гыми направлениями сдвига в втой плоскости.
3. Условия интегрируемостн. Компоненты евг(х) вихревого поля н компоненты )г,'1(х) = Уд(х) тензорного поля скоростей деформаций составляют вместе девять функций координат. Так как эти девять функций можно получить прн помощи дифференцирования из компонент о,(х) поля скоростей, т. е. чз трех функций координат, то они подчиняются определенным условиям интегрируемости. При установлении этих условий ограничимся исследованием полей, определенных в односвязной области пространства. рассмотрим сначала вихревое поле тог(х), которое. согласно уравнению (1.8). представляет собой поле ротора и повтому имеет равную нулю дивергенцию (см.
формулу (8.12) гл. 1). Покажем, что для любого векторного поля маг(х), удовлетворяющего условию дгчвг = О, (3.1) всегда можно определить поле скоростей о,(х), для которого поле м~е(л) будет вихревым полем. 8. Условия иитегриригмости С втой целью из векторных линий поля тиг(х).образуем два семейства поверхностей т) (х) = сопз1 и Х (х) = сопа1. Тогда заданный вектор вихря ш будет ортогонален как вектору йтадт), так н вектору 8табХ и поэтому может быть представлен в виде (3.2) птг — — сРе,)адгт)двХ (3.4) тогда имеет место следующее соотношение: ' дтф = д д1т) + д дтХ = <рдр+ д д7Х.
(3.6) Подставляя выражение для ~рд7т) из формулы (3.6) в ра'- венство (3.2), получаем следующее равенство". н~г = егугд1фдгХ ег1г д1ХдаХ = егргд1фдаХ (3 7) дх Положив чти — — 2фдьХ (3.8) и приняв во внимание выражение (3.7), получим соотношение 2 е~1~д1о~ — — ~~7гдгфд Х = тви так как е;7гд1дгХ= О. Таким образом, поле скоростей, определяемое соотношениями (3.8), имеет в качестве вихревого поля заданное векторное поле чт. Следовательно, условие (3.1) где скалярное поле ~р можно рассматривать как поле, опреде-.
ленное соотношениями (3.2). Из соотношений (3.1) и (3.2) получим следующее равенство: е„„дрд,~д,Х = 6. (З.З) В самом деле, выражение е,7г(дгдр) равно нулю, так как первый множитель антисимметричен, а второй симметричен относительно перестановки индексов 1 и /. Левая часть соотношения (З.З) есть якобиан функций р, л н Х. Равенство нулю этого определителя показывает, что у цредставляет собой функцию т1 и Х, т.
е. чро т=т(т) Х) Пусть теперь функция ф=ф(т), )() выбирается так. что (3.5) 92 Гн 1И. Меноеенное состояние донесения е „д мт, = йидтгос — дстор (3.13) Так как дивергенция дтмт, вихревого поля равна нулю, то, подставляя выражение (3.13) в (3.12), получаем следующую формулу: детос -.-. -е,редрУее. (3.14) является единственным условием интегрируемостн, налагаемым на вихревое поле. Согласно формуле (3.8), вектор ч имеет то же направление, что и 8таб у, а вектор ит, согласно формуле (3.7). является векторным произведением векторов йтаб ф и йтаб)( и поэтому рерпенднкулярен вектору йтаб )(.
а, следовательно. и вектору ч. Построенное здесь поле скоростей (3.8), обладающее заданным полем вихрей. имеет ту особенность, что вектор скорости и вектор вихря ортогональны, в то время как в общем случае для произвольного поля скоростей вихрь не перпендикулярен скорости. Отсюда следует, что для заданного поля вихрей построенное здесь поле скоростей может быть отнюдь не единственным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
