В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пусть главные напряжения не равны между собой и пронумерованы так, что Т, ) Тц ) Т>ц. и пусть единичные векторы >ь)П, р<п>, р',ць указывают соответствующие главные направления. Нормальное напряжение Т' , рассматриваемое как функция направления ч, остается стационарным при переходе от направления, соответствующего главному напряжению, к любому бесконечно близкому направлению. Поэтому величина Т, является максимальным напряжением из всех нормальных напряжений в рассматриваемой точке, а Т>ц — минимальным. Среднее главное напряжение Тц является седловым значением; оно будет наименьшим из всех нормальных напряжений для направлений в плоскости, определяемой векторами >ьд>> и р)ц>, и наибольшим из всех нормальных напряжений для направлений в плоскости, определяемой векторами р>ц> и рцтц с > Часто бывает полезно произвести разложение тензора напряжений, приводимое ниже.
Так как след тензора не зависит от координатной системы, то среднее арифметическое главных напряжений имеет следующее значение: Гл. 11. Нанряисенное состояние Если единичны» вектор 1ь, проведен по направлению главного напряжения, то, согласно уравнению (7.1) гл. 1, получим авеиство р (Ä— ТЗ„) р,= О, где Т означает главное напряжение, соответствующее направлению 1ьн Подстановка значения Т, иа формулы (3.2) в урав. пение (З.З) приводит к соотношению (Т;, — (Т вЂ”,Т) 3„1р, =О.
(3.4) которое показывает. что величина р, представляет собой также главное направление девиатора напряжений, главное значение которого для етого направления определяется фор- мулой Т' = Т вЂ” Т. Исследование общих свойств напряженного состояния в любой точке Р сплошной среды иногда можно упростить. если совместить оси координат хц хг, хз с главными направлениями, соответствующими главным вначениям Ть Тц, Тцц Тогда напряжение Т~'. действующее на элемент ь18 поверхности с вектором нормали т, имеет компоненты Тгчц Тц»г, Тцьч .
Так как в дальнейшем бУдет неоднокРатно использоваться нормальное напражение Т'""~, действующее на элемент д8, то сокращенно обозначим его через Тн. В силу формулы (1.3) получим соотношение Т вЂ” Т чг+ Т чг+ Т чг. (3.6) (3.5) Вектор напряжения Тсч можно рассматривать как результат сложения вектора нормального напряжении Тнч, действующего нормально к элементу Ю, н вектора иасаиьильного напряжении, действующего параллельно элементу ~Б.
Так как эти векторы перпендикулярны друг другуото модуль Тз вектора касательного напряжения определяется по формуле Т,'=Т'"' Теч — 7ан= = 7"~~~~~+ Тгцчгг+ 7чгнчзг — (Т~чь~+ Тцч~з+ Тшчзг)г (3.7) Поскольку соотношения (3.6) и (3.7) содержат только квадраты направяяющих косинусов, величины Тн и Тл имеют одинаковые значения для всех направлений, которые можно 8. Главные нормальные и «аоагельные нааряяеения 65 получить из направления ч путем отражения относительно координатных плоскостей. Поэтому в дальнейшем можно ограничиться рассмотрением первого октанта, в котором ьы 22, 22 неотрицательны.
Дла дальнейшего аналнва заменим величинУ 22 2в соотношении (3.7) величиной 1 — те в 222. Тогда получим следующее выражение: Т2 = 22(Т~ — Т2 )+ 72(Т2 Т2 )+ Т2 где 2, и 22 теперь можно считать, независимыми переменнымн. Следовательно, стационарные значения величины Тз соответствуют тем значениям 2, н 22, для которых производные правой части равенства (3.8) по этим направляющим косинусам равны нулю. т.
е. 2 (Т вЂ” Т )(T — Т вЂ” 2(22(Т вЂ” Т )+22(Т вЂ” Т )Ц=О, ч,(Тп — Т„,И Тп — Тп, — 2[22(Т, — Тп,) + 222(Тп — Тп,)Я = О; (3 9) Очевидно, эти уравнения будут удовлетворены, когда 2, = 22 = О. а. следовательно, 22 = 1. Из формулы (3.8) видно, что неотрицательная величина Тз равна нулю для этого главного направления, которое, следовательно. соответствует минимуму величины Тз. То же замечание справед. 2 ливо и для других главных направлений. Вторая возможность получить решение уравнений (3.9) состоит в том; что приняв, например. 22 —— О и тем самым удовлетворив первому уравнению, вычисляем ва.ем величину 22 нз второго уравнения. Таким образом, получим направления, определяемые следующими равенствами: г (3.10) Согласно формуле (3.8), соответствующее стационарное значение модуля вектора касательного напряжения выразится в виае Т, = — ~тп — Тп,~.
1 (3.11) Гл. П. Напряженное состояние Поскольку нумерация главных осей проиввольиа, находим, что направления (3.12) позволяют найти стацисиариое значение Тз — — ~ Т~ — Тп ~, 1 (злз) а направления 1 1 2 ~з О' з 2 (3.14) — стационарное зиачеиие 1 Т,= —, ~1Т,— Тш'1. (3. 15) Читатель может легко убедиться в том, что в случае различиых главных напряжений ие существует другой возможности удовлетворить уравнениям (3.9). Если. в частности, пронумеровать неравные между собой главные напряжения таким образом. что Т, ) Тц ) Тць то соотношение (3.15) дает максимальиое напряжение сдвига. Согласно формуле (3.14), соответствующий элемент цоверхиости содержит вторую главиую ось и биссектрису прямого угла между первой и третьей главными осями.
Величины напряжений Та, определяемые формулами (3.11), (3.13) и (3.15), называются глаенылеи касательными на- ' пряжениями. Предоставим читателю рассмотреть частные случаи. когда два или три главных напряжения равны между собой. В заключеиие определим модуль Те касательного иапряжеиия для элемента цоверхиости, имеющего ту же ориеитацию относительно главных осей, что и грань октаэдра отиосительио своих осей. Для грани октавдра, расположеииои 1 в первом октаите, имеем т, = из= ча†— = , и поэтому, соУз ' гласно выражению (3.7), получаем соотношение Т', = -'[Т', + Тп+ Тш — — '(Т, + Тп.+ Тш)'1. (3ПО) Приведенное выражение для квадрата оклгавдрическозо касательного напряжения можно упростить следующим образом.
Согласно соотношению (3.2). теизор напряжений отличается от девиатора напряжений только иа теизор К3,, Е. Иеобрахссние напряженных состояний по ' способа Мора 67 где Д" — второй основной инвариант девиатора напряжений. (и 4. Изображение напряженных состояний по способу Мора. Плоское напряженное состояние.
Предположим, что глзвные напряжения не равны между собой и пронумерованы так, что Т, ) Тц > Трл. Заменяя выражение в круглых скобках в уравнении (3.7) величиной Тсг и присоединяя к измененному таким образом уравнению (3.7) уравнение (3.6) и условие тгтг = 1, получаем систему уравнений, линейную относительно квадратов направляющих косинусов. Решение такой системы выражается следующим образом: (7ц тлг) (тщ тсг)+ уз (тц — т,) (тц, — т,) (тц, — т ) (т, — т ) + т' (4.1) тз (тц, — тц) (т, — тц) (т, — т,) (тц — т„)+ т', »зт 3 (Т вЂ” Т )(Т вЂ” Т ) Согласно Мору '), напряженное состояние для произвольного напРавления ч можно графически изобразить в виде точки на плоскости с абсциссой Тн и оРдииатой Т .
Так как, по определению. модуль вектора касательного напряжения Тз неотринателен, то зта пгочна напряжений не может лежать ') М ) О., 6) ~) г ~ ЯВ ЦВВ)) ))В который ставит в соответствие элементу поверхности с вектором нормали ч напряжение гT», нормальное к элементу. Таким образом, тенаор напряжений и девнатор напряжений дают одно н то же касательное напряжение для каждого злемента. Позтому в выражении (3.16) главные напряжения ) можно заменить главными значениями Т), Тц, Тш девиатора напряжений.
Тогда выражение в круглых скобках формулы (3.16) обращается в нуль и в соотзетствми с равенством (7.21) гл. 1 зта формула принимает следующий вид: 1 г )Я .х )Я 2 Тз = — [Тг + Тц + ТцД = — Д~ь (3,17) Га 11. Наяряженное состояние Аят С Л Р й А, Тя Рис. 8а Дадим теперь направляющему косинусу т некоторое фиксированное значение. т. е.
будем рассматривать элементы поверхности. касающиеся прямого кругового конуса, ось которого совпадает с третьей главной осью. Из третьего равенства системы (4.1) следует, что для таких элементов поверхности величины Тсг и Тз связаны одним уравнением. которое можно записать в виде .а+~Та-2(Т,+Тп)~ = — (Т вЂ” Т )'+т~(Т вЂ” Т )(Т вЂ” Т ).
(4.2) Ив этого соотношения следует, что точки напряжений. соответствующие фиксированному значению тз, образуют дугу окружности с центром в точке В. Радиус окружности равен корню квадратному из величины правой части формулы (4.2) 1 1 и поэтому ограничен значениями — (Т,— Тн) и к (Т~+Тп) — Тпп 2 соответствующими те=О и та=1. Эти границы изображены на диаграмме отрезками ВА~ = ВАп и ВАш, в частности, по- Ф е лукруг с диаметром А~Ап соответствует значению т =О. Главным направлениям соответствуют точки напряже° * Ф ннй Аь Ан.
Аш с координатами (Ть 0), (Тп, 0), (Тщ, 0); они будут называться главными осанками диаграммы на° Ф ° ° ° пряжений Мора, а середины отрезков А~Ан. АпАш,и АшА~ будут обозначаться буквами В, С и )2 соответственно (рис За) '6 Иеобрапсение налрлененнмл состояний но способу Мора 69 Аналогично точки напряжений, соответствующие фиксированным значениям е, или чм образуют дуги окружностей с центрами в точках С и О. радиусы которых ограничены отрезками САц (= САш) А,е и СА1 или ОА~ (=ОАп~) и РАц. В частности, полу- Ф Ф круги с диаметрами АцАгн й Ф Ф и А~А~и соответствуют зна- В ченням е,=О и т =О. Рассмотрим теперь в й .
р первом квадранте плоскости 0 ., лц хт направления ОЯ, образующее угол р с положительной осьюх, (рис. 86). Учн- Аг й тывая выражения направляющих косинусов через угол р е ч,=совр. ез=з1пр, чз=О и используя формулы (3.6) и Рис. 8б .(3.7). получаем соотношения 1 1 Тн —— Т1 соззР+ Тц з1пз У = — (Т~+ Тц)+ — (Т~ — Тц) соз 2Р (4.3) Та= Т(соз у+Тц з1п у — (Т| соя р+ Тцз1п ~р) = =~-2(Т~ — Тц)з1п29] .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
