В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 6
Текст из файла (страница 6)
С другой стороны, согласно формуле (6.10), этот объем равен агз. Отсюда следует, что модуль аг векторного произведения иг = и Х ч равен площади параллелограмма, определяемого множителями п и ч. Если обозначить молулн и направления векторов и и ч через и, о и р, « соответственНо, то для величины векторного произведения получим выражение в = комп(р,«). Зная эту величину и учитывая то, что вектор иг ортогонален векторам и и ч, а векторы иг, и и ч обрззуют правую систему, мы можем определить векторное проивведение независимо от системы координат. В частности, векторное произведение равно нулю, если его множители параллельны друг другу, и обратно, когда векторное произведение ненулевых векторов равно нулю, зти векторы параллельны.
Для освоения понятия векторного произведения читателю рекомендуется использовать определение (6.9) для установления следующих соотношений: Л (п Х ч) = (Ли) Х « = и Х (Лч), гХ(и+«)=гХи+гХч, (6.11) иХч= — чХи; 1Х(иХч)=и(1 «) — ч(1 и), (е Х 1) ° (и Х ч)= (е и)(1 ° ч) — (е ° ч)(1 и), (6,12) (е Х 1) Х (и Х «) = 1[е (и Х ч)1 — в[1.(и Х «)[. В последнем нз этих равенств круглые скобки в правой части можно устранить, так как знаки умножения, обозначенные с помощью точки и крестика, например е и Х ч, можно комбинировать только в виде е.(иХч). Используя тензор, б. а-тенгор ай=(х — х<з>) Х Р. (6.14) В декартовых координатах это определение записывается в виде М~ — зыа (хт — х)') Ра. (6.16) Силы Р~"'.
приложенные в точках хн'. образуют равновесную систему. если их сумма, а также сумма их моментов относительно начала координат равны нулю ~~~~.Рея=О, ~хгв Х Ро'=О. (6.16) Из формулы (6.16) следует, что для равновесной 'системы сумма моментов сил относительно любой точки равна нулю.
Другое важное приложение понятия векторного произведения относится к кинематике. Рассмотрим мгновенное вращенке твердого тела относительно осн, проходящей черев точку х<з>. угловую скорость эь направление оси вращения н направление поворота можно определить при помощи вектора ю с модулем и. Этот вектор параллелен оси вращения и направлен в сторону движения правого винта, который вращается вместе с телом. Скорость точки х твердого тела можно выразить так: ч=ю Х (х — х<э>), (6.17) или о,=з, „и (ха — ха"~). Испольвуя тензор 1 (з а — еыамн (6.16) (6.19) в.
пг ° в двойственный одному ив сомножителей (см. формулу (6.8)1, векторное произведение можно записать следующим образом: зг „г/» = ггегг Га = 2ггТΠ— — гг (Т Тд) (6 13) В формуле (6.13) при переходе к последнему вырансению для векторного произведения использована антисимметричность гдойственного тензора. В заключение этого пункта рассмотрим примеры использования векторного проивведения, встречающиеся в механике.
Пусть сила Р приложена в точке с радиусом-вектором х. Момент этой силы относительно точки хвв определяется как вектор Гл. й Геомегрикеск«е основы двойственный вектору ми выражение для скорости можно записать в форме о, = 2Явг(хв — хе~д~). (6.20) 7. Главные осп симметричного теизора второго ранга. В этом пункте устанавливается соответствие меясду векторами и направлениями в пространстве при помощи симметричного тензора второго ранга. Направление, определяемое единичным вектором рн называется главным нанравлением симметричного тензора Т, второго ранга, если соответствующий вектор Т,р, параллелен вектору р« т. е.
если этот вектор можно записать в виде . Т1кр где величина Т вЂ” скаляр. Строго говоря, здесь следовало бы исключить случай Т = О, так как направление вектора с нулевым модулем иеопределепно. Чтобы избежать этого исключения, условимся, что направление р~ будет считаться главным направлением также тогда, когда соответствующий. вектор Тыц, равен нулю.
Тогда для главного направления р, симметричного тензора Т, справедливосооткошеяие Тр, — Тр = О, или (ТΠ— ТЬО) р, = О. (7.1) Приведенное соотношение представляет собой линейную однородную систему трех уравнений относительно компонент единичного вектора рг Будем искать решение этой системы, отличное от тривиального решения р, = О, несовместного с равенством р,р, = !. Условием существования такого решения являетсв равенство нулю детермиканта, составленного из коэффициентов уравнений. Обозначая детерминант его типичным членом, запишем указанное условие в следующем виде: 1҄— Т7О1 = О. (7.2) Прежде чем обсуждать это соотношение. покажем, что ояо получается и в связи с другой задачей.
Направлению р, соответствует вектор Т,ро его проекция на направление р равна Т~~"~'=Т,рр и казывается нормальной составляюгаед тенвора Т, для направления рг Рассматривая величину Ты" как функцию компонент ри мы попытаемся определить р, таким образом. чтобы прп переходе к смежным маправлв- 7. Главные оги симметричного тгнгоро второю ранга 35 киям величина Твю оставалась стационарной. Это означает. что мы ищем стационарные значения <҄— Тй„) ррр (7.3) учитывая дополнительное условие ргр, = 1; алесь Т вЂ” множитель Лагранжа. Чтобы определить производную выражения (7.3) по какой-либо составляющей вектора р, например по составляющей рг, заметим, что производная от величины р, пв р равна й,р. Приравнивая нулю производную выражения (7.3) по рг, получим соотношение <Т, — Тй...)(3 р +Ргй )= (à — Тй )р + <Т, -Тй, )р, = <), которое путем подходящего выбора немых индексов н использования симметрии тензоров Т, и 3, можно преобрааовать к виду (7.1).
Легко видеть, что входящий в формулу (7.3) множитель Лагранжа Т представляет собой стационарное значение нормальной составляющей Т'"о'. В самом деле, умножив соотношение (7.1) на рр получим равенства Т ю=Т от =Тй,ртр =Т, (7гй) так как рг — единичный вектор. Если развернуть входящий -в формулу (7.2) детерминант, то получим кубическое уравнение для величины Т; оно называется характеристическим уравнением симметричного тензора Т,1 и записывается в виде Т -,Т„,т —,Тейт —,Т1ю = О. (7.3) Так как корни этого уравнения представляют собой стационарные значения нормальной составляющей 7"в"~, не вавися щей от системы координат. то коэффициенты д й1 д Ю гТ(з1 также не должны зависеть от системы координат.
Следовательно, эти коэффициенты должны быть скалярамн. Назовем их осногнггми ингарианглами симметричного тензора Т йр Первый из этих инвариантов Т<„= Тл <7.б) Равен сумме элементов главной диагонали матрицы тенворз Т . йр Второй основной инвариант Т,з1 равен сумме миноров элт- Гл. й Геометрические оеиоеы ментов главкой диагонали, взятой со внаком минус '). Так как минор элемента ТО выражается в виде 1 1, = — йее .Т„Тем (7. 7) то в силу третьего уравнения (6.5) получим следующее соотношение: 1 Т1ю = — 1л = — (҄҄— Тит„); (7.8) Наконец, К<а1 представляет собой детерминант матрицы Т,; его можно записать в виде 1 т7 1з) = — еОэ е, Т„Т!е Те ° (7.9) или 1 К<а1= — (2Т Т Тэ, — ЗТ~ Т Те„+ТиТ Т е), (7.10) ') В тензорной алгебре второй инвариант обычно определяется ках сумма диагональных миноров.
Так хак в механике сплошной среды эта сумма, хак правило, используется со знаком минус, то приэедеиное выше определение яваяется более удобиым. Тот факт, что в выражениях (7.6), (7.8) и (7.10) встречаются тОлько иемые индексы, свидетельствует, независимо от приведенных выше соображений, о скалярном характере осиовных иивариантов.
Корни не зависящего от системы координат характеристического уравнения (7.5) называются главиыми значениями симметричного тензора Т,. По крайней мере, одно иа этих главных вначений является действительным. Обозначим действительное главное значение через Тп При Т = Т~ система уравиенвй (7.!) определяет по меньшей мере одно главное направление р',. Если это направление принять за ось х, 'вовой системы координат, то составляющие вектора Т р,' = Тр|. в новой системе имеют вид Т;, = Тп Т; = Т', = О.
Вследствие симметрии тензора Т;,, 7. Главные оси еиимегригного генгора второго ранга 37 характеристическое уравнение этого тензора в новой системе принимает следующую форму: т,— т О 0 О Т' — Т т' о т' т' — т или (т! — Т) [7' — (Тгг+ тю) т+ тытм — Т231 = О. (7.11) Следовательно, два других главных значения Тп и Тщ являются корнями квадратного уравнения, получающегося путем приравнивания нулю входящего в формулу (7.11) выражения в квадратных скобках.
Дискриминант этого уравнения (Ты+ Тгг) — 4 (Тытзг — Тм) =(Тж — Тгз) + 4ты (7.12) представляет собой сумму квадратов и потому не может быть отрицателен. Поэтому корни Тп и Тщ квадратного уравнения всегда действительны, и мы приходим к следующему результату: симметричный тензор имеет только действительные главные значения.
Если единичные векторы р," и р',н определяют главные направления. соответствующие главным значениям Тп и Тщ, то уравнение (7.1) приводит к следующим вавнсимостям: (Тц — Тпйг)) Ргн — — О, (Тц — Тд~|ц)Р',и = О. (7 1З) умножая зтн уравнения на величины рн' и рп соответственно ! 1 н производя вычитание, получаем равенство (тн тн,)Р,Р, =О. (7.14) откуда следует, что при Тпчьтщ главные направления Р)' и р)н ортогональны. Таким образом, главные направления. еоответствуюигие различным главным значениям, являются ортогональными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
