В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В качестве второй иллюстрации использования формулы преобразования (4.7) рассмотрим тензор й, который в системе координат хн хм .хз имеет компоненты (2.11). Из формул (4.7), (2.1!) и (2.12) следует соотношение Ьа = с/«с//й// = выси = Ь«р (4.8) Следовательно, тензор 8 в любой координатной системе характеризуется одной и той же матрицей й= О 1 О (4.9) Этот тензор называется единичным текло//ом Элементы первой строки представляют собой компоненты вектора Т, и т. д. Первый индекс злемента матрицы (4.6) указывает, как обычно принято, строку, а второй — столбец. В качестве первой иллюстрации использования формулы (4.4) исследуем влияние перестановки ннлексов й и ! в втой формуле.
Такая перестановка приводит к реаультату с Ты=сне «Т//. (4.6) 4. Текэвр (4.10) первый член в правой части является симметричным, а второй — аитисимметричным теизором. Следовательно, любой теизор можно представить в виде суммы симметричного и аитисимметричного теизоров. Предоставляем читателю показать, что это разложение является единственным. Слагаемые в правой части равенства (4.12) называются симметричной и аитисимметричиой частями тензора Т,. СОКРаЩЕННО ОИИ ОбОЗИаЧаЮтСЯ ЧЕРЕЗ Тыг~ И Т~~1 СООтВЕтетвенно. В символической записи равенство (4.12) принимает вид Т= — (Т+Т )+ — (Т вЂ” Тг).
(4.13) Строго говоря, для сложения двух тензоров и умножения теизора иа скаляр в формуле (4.13) следовало бы применить особые символы. Кроме того, если символическое обозначение тенаоров вводится независимо от декзртового, то для проверки равенства (4.13) необходимо доказать отдельно дистрибутивный и ассоциативный законы. Прежде чем определить дальнейшие операции с тензорами, введем обобщение понятия тензора, Тенаор ТВ называется симметричным, если ТВ= Тд, и антасимметричным, если Т, = — Тв (4.! 1) Предоставляем читателю с помощью формулы преобразования (4.4) показать, что эти свойства не зависят от системы координат и йоэтому не лишены смысла. В матрице, симметричного теизора элементы, расположенные симметрично относительио главной диагонали, равны друг другу; в матрице антисимметричного тензора такие элементы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку, а элементы главной диагонали равны нулю.
В силу этих свойств, симметричный тензор Т, определяется шестью компонентами Тп, Тж, Тю, Таз, Таз, Тзз, а актисимметричный тензор 8,~ †тре компонентами 81м В,з, Зю. В тождестве 1 1 Тц — — (Ты+Тг)+ — (Т — Т1, \(4.12) Гл А Геометрические осиоем 6. Обобщение. Первое определение понятия тенэора, данное в п. 4, получается из соответствующего определения понятия вектора путем замены слов „скаляр" и „вектор" словами „вектор" и „тензор" соответственйо. Это замечание наводит на мысль о возможности построения некоторой иерархии величин.
Для этой цели вместо использсв1нных выше терминов скаляр, вектор и тенэор удобно ввести новые термины „тензор нулевого ранга", „тензор первого ранга" и „тензор второго ранга" соответственно. Тогда для любого направления в пространстве теязору ранга и можно поставить е соответствие тензор ранга п — ! лосредстеом линейного и однородного относительно налраелявигих косинусов соотношения. Так как невозможно вводить особый типографский знак для каждого нбвого тензора более высокого ранга, то символическое обозначение приходится ограничить лишь случаями тензоров неснолькнх начальных рангов.
Относительно системы координат х~ тензор третьего ранга Й определяется при помощи трех, тензоров второго ранга, именно, своими проекциями Тп Тг, Тз на координатные направления. Значение а для направления р дается формулой ТЫ~=Т,соз(р, х,)+Тгсоз((с, х,)+Тесов(р., х,). (6П) Если направление р будет совпадать с направлением х, 'второй системы координат, то, вследствие равенства рт = сц, вначение тензора 7 по направлению х,' определяется равейством с Т~= сцТь (5.2) В нештрихованной системе координат тензор Т, определяется своими девятью компонентами, которые обозначаются через Т, . Аналогично, нештрихованные компоненты тенэоров Тг и Тг обозначаются через Тгуг н Тзуь соответственно. Двадцать семь величин Т~гг называются компонентами тенэора 7 в нештрихованной системе координат; компоненты Т,)е с етого тензора в штрихованной системе координат определяются аналогичным образом.
Рассмотрим теперь те компоненты тензорного уравнения (6.2), которые соответствуют направлениям хег и х„. В левой л. Обобщение I части мы получили Тьмл, а в правой части, согласно формуле (4.4), искомые компоненты тензора Т, определяются выражением с) с „Т,1». Таким образом, получим соотношение Ть = снег с» Т»7». (5.3) Р Тьлл = сис)мс»»7 »7» Эту формулу преобразования можно половить в основу нового определения понятия тензора третьего ранга. Формулу преобразования для тенаора 'гь ранга п можно получить аналогичным образом.
Определение, приведенное выше. немедленно приводит к результату l Кр — — сгрсТы (5.5)' где рукописные буквы означают тензоры ранга п — 1, а,T» и Тр представляют собой аначения тензора л. по направлениям х и х' соответственно. Переходя к компонентам этого р тензора в штрихованной системе координат и используя по-' лученную ранее формулу для преобразования компонент тензоров ранга и — 1, получаем формулу преобразования компонент тензора ранга и: Тее, ...
— — сгрс)»с», ° ° ° Тг)»..., (5.6) где п индексов в левой части входят как п вторых индексов при коэффициентах с в правой части, тогда как первые индексы при этих коэффициентах являются повторными индексами тензора Т. Формула преобразования (5.6) приводит к следующему' второму определению понятия тензора ранга и: е любой прямоуеольной декартовой системе координат тензор ранга и определяется 3" компонентами, которые при преобразовании координат (2.7) преобразуются по формуле (5.6). Заменяя в формуле (5.3) индекс 1 на 1, мы получим общую формулу преобразования компонент тензора третьего ранга .в виде (5.4) Гл й Геометрические основы Для освоения формулы преобразования (Ь.б) читатель может доказать теоремы, которые образуют основу 'следующих тенэорных операций' ).
1. УмнЬжеиие на сиаляр. Умножение всех компонент тензора на один и тот же скаляр дзет второй тензор того же ранга, который называется произведением первого тензора на скаляр. (В символическом обозначении Т, = )В, записы-. вается как Т = ).8.) 2. Сложение. Сложение соответствующих компонент двух тензоров одинакового ранга дает третий тензор того же ранга, который называется суммой первых двух тензоров.
(ТП вЂ” — ЙП+ Юы в символическом обозначении ваписывается как Т =Й+8.)' 3. Умножение -Совокупность всех произведений, содержащих по одной компоненте каждого иэ двух тензоров, образует третий тензор, называемый произведением первых двух тензоров'. Ранг этого'произведения равен сумме рангов сОмножителей. НапРимеР, пРоизведение Т, „=ЙПЯя тензоРа втоРого Ранга )сц и вектоРа Вя пРедставлает собой тензоР третьего ранга. В символическом обозначении ТП вЂ” — ир записывается в виде Т=нч и называется диаднмм произведением векторов и и ч. Следует заметить, что это произведение двух векторов, не включающее символ умножения, не обладает свойством )соммутативности: чц представляет собой результат Тг транспонирования тензора Т=пч. 4.
Свертывание. Приравнивание двух буквенных индексов тензора ранга а дает тензор ранга и †'2 и называется свертыванием исходного тензора по этим индексам. Например, свертывание тензора второго ранга ТП дает скаляр Ти — — Тп+ Тгл+ Тэз. который называется следом тензора Т, . В символическом обозначении след тензора Т записывается в виде БрТЯ). Скалярное произведение векторов а, и Ьу можно рассматривать как след тензора Т,у — — а,ЬГ Следующим примером свертывания служит образование целых положительных степеней тензора второго ранга. ') Так как прн рассмотрении тензоров третьего (н выше),ранга нельзя польэоватьса символической записью, то примеры с такой записью ограничиваются случаями тензоров рангов О, 1 и 2. Я) От слова Брнг (нем.) — след †Пр.
ряд. б. Обобщение КвадраттензораТуу определяется как тензор Т, Теу, куб — как Т, Т Т , четвертая степень — как Т, Т Т,Т,у и т. д. В символическом обозначении степени тензора Т записываются в виде Тз, Тз и т. д. Приведен другие примеры символической записи: п ° Т для вектора и Т н Т ° п для вектора Т, и, В ° Тдлятензора второго ранга 8, Т и $: Т или Зр(5 ° Т) для скаляра 8 Т Из этих примеров видно, как быстро увеличивается число операций при переходе к тензорам высшего ранга. Много- образке необходимых символов операций ватрудияет установление единых обозначений.
Например, если Б и Т представляют собой теизоры второго ранга, то обозначение ВТ используется одними авторами для тензора второго ранга 8, Т у, а другими — для тенвора четвертого ранга 8, Ты. 5. Образование изомерое. Перестановка двух индексов тензора дает другой тенаор того же ранга. называемый изомером первого тензора. (Результат транспонирования тензора второго ранга является единственным изомером этого тензора; тензор Т, „третьего ранга имеет. однако. нзомеры Тыу.
Ту,а, Т„н Т„,, Т„уи> Тензор называется симмеиуричным относительно двух индексов, если он равен своему изомеру, полученному при перестановке этих индексов. Если же тензор равен своему изомеру с обратным знаком, то он называется анигисиммеупричным относительно рассматриваемых индексов. Читатель легко убедится, что этн определения включают в себя определения, введенные в п. 4. В связи с этими понятиями часто применяется следующее рассуждение: если тензор 8р ц ., симметричен, а тензор Тремя„ антисимметричен относительно индексов р и а, то справедливо равенство 8 ц, .Тре „,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
