В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 5
Текст из файла (страница 5)
— — О. В самом деле, сумма, определяемая немйми нндексамн р и а, содержит, например, член. соответствующий р= 1, а = 2, а также член, отвечающий р=2, а=1. Сумма этих двух членов равна нулю. так как 8ыц ...=8гыу ... и Тыто...= — Тю Используя это рассуждение, можно легко установить следующее тождество для произвольных тензоров второго ранга: 8цтуу = (агу>+8йуД (туг, + тыу~~ = 8щ~туу>+ 8~уу~туун (б.уу Гл Д Геометрические основы где применено обозначение, введенное в п. 4: Я~ц> предста- ' вляет собой симметричную, а Врц~ — антисимметричную части тензора Юц.
Рассмотрим в заключение удобный критерий для характеристики геометрических нли физических величин при помощи тензора. Пусть некоторая величина в прямоугольных декарс товых координатах м~ и хс определяется при помощи Зз Р чисел Аце и Аце соответственно, и пусть при любом выборе векторов п. ч, чч справедливо равенство Р / Ар ирпень = Ацеи~цеие. (5.8) с Тогда можно показать, что числа Аце и Ац» являются компонентами тензора третьего ранга относительно координатных систем х, и х, соответственно; Для доказательства выразим в равенстве (5.8) нештрихованные компоненты трех векторов через штрихованные компоненты, используя формулу (3.6). В результате получим следующее соотношение: с Р с с (Аре, — с~рс~есег Аце) ироете, = О.
(5.9) Левая часть этого равенства представляет собой трилинейную форму компонент векторов и, ч и чг, которая тождественно обращается в нуль только тогда, когда обращаются в нуль все коэффициенты, т. е. когда для всех значений индексов о, д н г равно нулю заключенное в скобки выражение в формуле (5.9). Зто условие устанавливает тот факт, что величины Аце н Аца представляют собой компоненты тенвора третьего ранга относительно нештрихованной и штрнхованной систем координат. Аналогично можно показать, что величина А, представляет собой тензор третьего ранга, если известно, что А~ В~ есть вектор прн любом выборе тензора второго ранга Вц.
Для краткости мы рассмотрели лишь тензор третьего ранга, но легко получить обобщение для тензоров любого ранга. Зто предоставляется сделать читателю. Общая форма' обсуждаемого критерия носит в тенворной алгебре название теоремы деления тензоров. 8. е-тепзор. Пусть ир о, чи представляют собой векторы, проведенные из начала координат О в точки У, 'р' и (р'„ Предполагается, что четыре точки О, У. У. (р' не лежат 6. »-тензор ' и, о< <в, из с<г <вз (6.1) иь 'з п<з определяет объем параллелепипеда. причем величина 0 положительна тогда и только тогда, когда координатная система и система векторов и<, ч<р м<» имеют одну и ту же ориентацию, т.
е. обе являются правосторонними или левосторонними. При фиксированных векторах ио пр м<ь, объем параллелепипеда не зависит от системы координат и, следовательно, является скаляром. Однако детерминант О меняет внак при переходе от правой системы координат к левой. Такие величины называются псевдоскалпрами. Любое требование о различии истинных скаляров и псевдоскаляров и вообще тензоров н псевдотензоров, несомненно. приведет к усложнению рассуждений. Чтобы обойти это затруднение, в дальнейшем е втой книге всюду будут при- в одной плоскости и никакие три из них не лежат на одной прямой.
В плоскости ОУ<' направления векторов и, и о1 определяют направление вращения: направление второго вектора получается из направления первого вектора путем поворота на угол, меньший 180'. Это направление вращения и направление компоненты и<», ортогональной плоскости ОУЪ', соответствуют направлению вращения и поступательного перемещения винта с правой или левой наревкой. В первом случае система векторов ио ор и<» называется праеосторонней, а во втором — левосторонней. Следует заметить, что для этого определения существенны только направления, но не величины трех векторов. Применяя указанное определение при рассмотрении положительных направлений осей координат, можно различить право- и лево- стороннюю системы координат. Если большой.
указатель«ый и средний пальцы правой руки расположить так. чтобы они образовали прямой угол. то направления пальцев укажут положительные направления осей правосторонней координатной системы. Рассмотрим параллелепипед с ребрами ОУ, ОУ и ОЮ. Из аналитической геометрии известно, что абсолютная величина детерминанта Ге.
Д Геометрические осноем .меняться только нравосторонние системы координат. Так как детерминант Р не меняет знака при переходе от одной правой системы к другой, то это условие придает детерминанту Р характер истинного скаляра. Вообще ограничение, касающееся использования только правосторонней системы координат, снимает необходимость рассмотрения истинных тензоров н псевдотензоров. Для компактной записи детерминанта Р введем следующую величину: 1 образуют четную е = 1 в зависимости от б , „ „ перестановку О не образуют (6.2) Заметим, что следствием этого определения будут следующие соотношения: еца = е1и = 'ец = — ер» = — Це) = — 'ер (6 3) При помощи вновь введенной по формуле (6,2) величины выражение (6.1) можно записать в виде Р = ецеиРгеве (6.4) Действительно, используя определение (6.2) для величины е, е, читатель легко убедится в том, что входящая в правую часть формулы (6.4) тройная сумма, определяемая немыми индек- сами 1.
/, й, представляет собой явную форму записи детер» минанта (6.1). При любом выборе векторов ии юр ша в формуле (бей) детерминант Р представляет собой скаляр. Тогда, согласно критерию. установленному в конце предыдущего пункта, величина еце есть тензор третьего ранга. Он называется е-тензором. Для лучшего понимания свойств этого тензора читателю предлагается доказать справедливость следующих равенств: е,в,=6, ееегееег = 26ц' (6.6) ерцерю = быйн — 'А» Посредством зависимости ~8 а уев (6,6) вектору Г, ставится в соответствие любой тензор второго ранга Т)е. Этот вектор С который имеет компоненты ~, = Тгз — Тт, Гг — — Тз1 Т1з Уз = Т1г — Тги (6.7) называется вектором, двойственным тензору Т.
Иа соотношений (6.7) следует, что вектор, двойственный тензору второго ранга, зависит только от антисимметричной части этого тензора. Вектор, двойственный симметричному тензору, равен нулю; обратно, равенство нулю двоиственного вектора указывает на симметрию тензора. Из выражения (6.6) н последнего нз равенств (6.5) слеДУет, что е,генг —— Т) — Тер ПоэтомУ если тензоР Т антнсимметрнчен, то соотношение, обратное формуле (6.6), можно записать единственным образом в виде 1 Т)» = 9 'ч А.
(6.8) С другой стороны, соотношение (6.8) можно рассматривать как определение (антисимметричного) тензора, двойственного данйому вектору. ПРоизведение иго» двУх вектоРов и1 и ое ПРедставлвет собой тензор; двойственный ему вектор (6.9) евг = ег)еиуо» называется векторным произведением векторов и и о„. Выражение (6.9) символически записывается в виде ж = н Х ч. Скалярное умножение векторного произведения на один из входящих в него сомножителей, например, на ио приводит х соотношению и,тв, = е, еи,и)ое. (6.10) евгсв, = егуешгиуое В правой части этого соотношения множитель ег)е антисимме тричен, а множитель и,и) симметричен относительно индексов 1 и /. Следовательно, скалярное произведение и;св, (а также о,тв,) равно нулю, т. е. векторное произведение тч = и )г, ч ортогонально к своим множителям и и ч.
Умножив обе части уравнения (6.9) на величину тве получим равенство 32 Гм Л Геометрические основа Согласно формуле (6.4), правая часть уравнения (6.10) представляет собой алгебраическое значение объема параллелепипеда, построенного на векторах агг, ир ае. Так как левая часть уравнения (6.10) представляет собой сумму квадратов к потомУ положительна, то вектоРы агп иГ ое обРазУЮт правую систему. Кроме того, ребро игг параллелепипеда ортогонально основанию, образованному векторами и и ае, поэтому объем параллелепипеда равен произведению длины аг этого ребра на площадь основания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
