В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Важное следствие иа етого результата состоит в том, что если главные значения Ть Тп н Тщ являются различными, то главные направления определяются однозначно. Действительно, допустив многозначность, получим, что каждое первое главное направление должно быть ортогонально каждому второму и третьему главным Гл. й Геометрические основы направлениям, а кажлое второе главное направление — ортогонально ка дому третьему. Э от вывод противоречит тому. что в трехмерном пространстве не может быть более трех вааимно ортогональных направлений, ТенвоР с Различными главными значениамн Тн 7'ц, Тщ и с оответствующими главными направлениями р,', рц рц1 можно записать в виде т„= т,р,р, + тир, ру + тц,р, „, .
Т В самом деле, тенвор (7.16) ставит в соответствие напра. влению р,' вектор Тр'.. который имеет то же направление; аналогичное замечание относится к направлениям рц и рщ. с Если координатные оси выбрать по главным направлениям. то тензор (7.16) определится диагональной матрицей т= о тп о (7. 1'6) Обратно, трн взаимно ортогональные оси называются главными осями симметричного тензора второго ранга, если матрица этого тензора принимает диагональную форму. В случае не равных между собой главных значений существует только одна система главных осей. С другой стороны, если Тц = Т ц, то днскрнмннант (7.12) обращается в нуль, т.
е. Т', = Т' и Т' = О. Приравнивая нулю выражение в квадратных скобках в формуле (7.11), получаем квадратное уравнение, корни которого имеют внд Тц — — Тщ — — Т' = Т, '. Матрица рассматриваемого тензора имеет диагональную форму независимо от выбора осей х' и х', если направление осн х' ,совпадает с первым главным направлением р,'. Предыдущие рассуждения показывают, что симметричный тензор второго ранга имеет ио крайней мере одну систему глазных осей. Пусть р,', р",, рн' — единичные векторы по главным направлениям, соответствующим значениям Тн Тц, Тцн Выше было показано. что если главные значения различны.
то главные осн определяются однозначно. Если 7. Главные оси симметричного тенгора второго ранга 39 два главных аиачеиия, например Тц и Тцп равны; ио отличны от третьего главного значения Ть то из линейности уравиеиий (7.13) следует, что любой едииячиый вектор, получаемый путем лииейиой комбинации векторов р" ,и р,'", определяет главное направление.
Так как любое главное направление, соответствующее величине Ть должно быть ортогоиальио ко всем главным направлениям, полученным таким путем, то существует только одна главиая ось, соответствующая главному зиачеиию Тп Следовательно, мы имеем одиопараметрическое семейство систем главных осей, которые можно получить одну из другой в реаультате поворота вокруг первой главной оси. Вели, иакбиец, все три главных значения равны. то любой единичный вектор, представляющий собой линейную комбинацию векторов р',.
1гц и р,'". определяет главное иаправлеиие. г(ругами словами, любое направление в пространстве будет главным иаправлеиием и любая система ортогоиальиых осей — системой главных осей. Приведение матрицы симметричного теизора второго ранга Т,7 к диагональной форме (7.16) позволяет дать простое определение степеиям такого теизора.
В п. 6 был введен теизор Т Т как квадрат теивора Ттр а теизор Т,рТргТг — , как куб и т. д. Легко показать, что из симметрии теивора Тг) следует симметрия всех теизоров. представляющих собой его степени. Если матрица теизора Т имеет относительно системы главных осей вид (7.16), то матрица теизора Т относительно той же системы осей имеет вид Тг= 0 Т"и 0 (7.17) где и — целое положительное число. Так как матрица (7.17) имеет диагоиальиую форму, то теизоры Т и Т" имеют одни и те же главные оси.
Каждое из трех главных зиачеиий Тц Тц и Тщ теизора Т, должно удовлетворять характеристическому уравиеиию (7.6). Гл. й Геометрические основа Учитывая формулу (7.17), эти три условия можно скомбиии-. ровать следующим образом: Т =,Тп)т'+ Т„)Т+,Т<з)8, (7.18) Уравнение (7.18) иавывается уравнением Галсилвтона— Коли. Оио выражает теизор Тз в виде линейной комбинации теиворов Т'. Т и 6.
Если каждый член уравнения (7.18) умножить иа теизор Т способом, обозначаемым через Т, то получим равенство Тч=Т<,)Тз+Т<,)Тз+Т,ю)Т. Воспользовавшись формулой (7.18), получим соотношеиие Тч = (Аз) ~ ~а)) Тз+ (Х())сТ(з) +,T(з)) Т+ ~))) Я(з) 8. (7.19) Продолжая действовать таким образом, можно получить более высокие степени теизора Т в виде линейных комбинаций теизоров Тз, Т и 6. Ковффициеиты этих линейных комбинаций представляют собой полииомы относительно основных иивариаитов,Т<)), су )з), д')з). Заметим, далее, что в силу соотношений (7.6), (7.8) и (7.10) основные инварианты можно выразить черев следы теизоров Т, Тз, Тз в виде ЗРТ Т) ЗРТз Т))Т) ЗРТз Т Т кТв (7 20) Эти зависимости становятся особенно простыми для девиа- тори, т.
е. для симметричного теивора второго ранга, след которого равен нулю. Если обозначить основные инварианты девиатоРа 0 чеРез Яц). Яы), Я1з), то полУчим соотношениЯ Я()) = Зр 0 = 0 Я)з) = )/з Зр 0з Ясз) = )/з Зр 0з (7 21) 8. Теизориые поля. Пусть каждой точке Р конечной области К пространства соответствует теизор Й ранга л, компоиеиты которого представляют собой непрерывные фуикции положения точки Р. Тогда говорят, что в области К определеио иепрерывиое тензорное ноле ранга и.
В прямоугольиой декартовой системе координат х, непрерывное тензорное поле, например поле второго ранга, задается девятью иепреРывиыми фУнкциЯми кооРдинат Т)7(х), хм ха). В дальнейшем для обозначения координат хм хз, хз используется буква х и 41 д. Твнзорныв полл компоненты тензорного поля Тц (х,, хз, хэ) записываются в виде Т, (х). Если не будет оговорено обратное, то в дальнейшем будем считать, что все функции координат существуют н являются непрерывными. Дифференциальный оператор д1дх будем сокращенно записывать как д, оператор дз/(дх'дх ) — как дрв и т. д. Действие этих дифференциальных операторов будет распро.
страняться только на непосредственно следующие за ними символы'), если при помощи скобок не указаны какие-либо другие операции. В произвольной точке х)з' области )с имеет место разложение в рял Тейлора Тцв .: (х) = Тцв ... (х~ ) +(хр — хзрл) дрТцв ... (х1")+ ..., (8.1) где точки в конце правой части обозначают члены более высокого порядка и остаточный член. Каждый член разложения (8.1) представляет собой тензор ранга и.
Так как, независимо от выбора вектора х — х<э>, это относится и р к последнему нв явно. записанных членов, то, согласно теореме деления тензоров. величина дрТц» „, представляет собой тензор ранга и+ 1. Таким образом, при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой оператор д ведет себя как вектор, оператор дрв — — д дев как тензор второго ранга и т. д.
Если, например, о представляет собой векторное поле, то дро является тензорным полем, а его след д и — скалярным йолем. В символической записи оператор д представляется посредством символического вектора 7, который называется „набла". Скалярное поле у(х) можно геометрически представить при помощи его поверхностей уровня у =' сопз1, а векторное поле оа(х) — в известной мере при помощи его векторных линий.
Векторная линия представляет собой ориентированную кривую; в любой ее точке единичный вектор касательной указывает направление вектора поля в втой точке. 11ля полного геометрического представления векторного поля ') В механике сплошной среды авторы, ограничивающиеся использованием прямоугольных декартовых координат, часто записывают производные дрТц н дрвТцкак Тцр н Тц, рв соответственно. Гл. /, Геометрические основа наряду с векторными линиями необходимо рассматривать поверхности уровня величин векторов поля. Градиент скалярного поля р(х) представляет собой вектор де~/; в символическом обозначении он записывается как 7у нлн йтаб р.
Прн перемещеннн иа точки Р поля на бесконечно малый отревок дв в направленни единичного вектора р значение р изменяется на величину г/фю=ргдрде=р йтаб одв. Таким образом, градиент скалярного поля р ставит в соответствие каждому направлению р скаляр г/ргю/де, который называется скоростью изменении ~/ в налравлении р. Прн этом градиент рр указывает направление наибольшей скорости нзменення, а модуль 7р представляет собой величину этой скорости наменення.
Если единичный вектор р касается поверхности уровня р, проведенной через точку Р, то скорость изменения у в направлении р равна нулю, т. е. скалярное произведение векторов р и йтад р обращается в нуль. Следовательно, направление градиента р в точке Р совпадает с направлением нормали к поверхности уровня р в точке Р. Применяя оператор д/ к векторному полю и„, получаем тенаор второго ранга д/пе, который называется векторным градиентом данного векторного поля. При перемещении из какой-либо точки Р поля на бесконечно малый отрезок Ие в направлении еднннчного ввктора р значение пе изменится на величину деевы =Р д/и де. Праваа часть УРавнениЯ (8.3) записывается символически в виде (р 7)чда нлн (р йтаб)чс/е.
След векторного градиента д/пе представляет собой скаляр д/и/, который называется дивергенцией векторного поля о (х) н символически обозначается через 7 ч или череа йчч. Выполняя суммирование, определяемое немыми индексами для величины д/а/, находим следующее равенство: Йч ч = — '+ — '+ д — '-. (8.4) Вектор е,/ед/пе, двойственный векторному градиенту д/па, называется вихрем нли ротором векторного поля тг (х) н ' 8. Тенаорные «оля символически записывается в виде Р Х ч или го1 ч. Его ком- поненты выражаются следующим образом: див дез дэ, дез (го1 ч), = — — —, (го1 ч) = — — —, ихз дхв ' дхз дх, ' дев дэ, (8.5) (го1 ч), = — ' — — '. дх, дх Свертывание оператора д, приводит к оиеришоуу Лаиииси д' д' дз ди = — + — + —.
д', 'д, 'д", (8. 6) Символически этот оператор записывается как чз или как Ь. При использовании символической записи необходимо помнить большое число правил дифференцирования произве- дений различного вида. Ниже приведены некоторые примеры таких правил: йч(рч)=рйчч+ч атаб р, йч (п Х ч) = ч ° го1 и — п ° го1 ч. го1(п Х ч)=(ч ° йтаб)п — (п атаб)ч+пйчч — чйчп, агап (и ° ч) = (и ° 8габ) ч+(ч йтаб) и+и Х го1 ч+ ч Х го1 п. (8.7) С другой стороны. эти правила непосредственно следуют ив координатной записи левой части равенств (8.7) и из соотно- шений (6.5) н (6.13).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
