В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 2
Текст из файла (страница 2)
нельзя четко указать, когда символический метод оказывается уже нецелесообразным и когда становится предпочтительным общее или декартово тензорное исчисление. В механике такая граница проходит, несомненно, в области механики деформируемых сред. Символический метод дает 2. Преобразование координат ° возможность изящнО изложить механику системы точек и механику твердого тула. Указанный метод широко используется также в механике идеальной жидкости, хотя в этой области приложений прихолится пользоваться большим числом специальных алгебраических правил.
При изучении ньютоновой вязкой жидкости и в линейной теории упругости символический метод применяется реже. Однако даже самый ярый приверженец символического метода вынужден признать, что этот метод непригоден для описания конечных упругих деформаций, пластического течения и неньютоновых эффзктов. Так как данная книга посвящена основам всех названных областей, то символический метод и декартово тензорное исчисление будут в ней применяться совместно. Только после ознакомления с обоими методами читатель сможет в каждом отдельном случае сделать разумный выбор между ними.
2. Преобразование координат. Пусть на рис. 1 точка О представляет собой начало прямоугольных декартовых координат х: у. я. а Р— произвольная точка. Координаты этой Рис. 1 точки можно определить как проекции ОХ, ОУ, ОЛ направленного отрезка на координатные оси, причем проекции считаются положительными, если они имеют те же направления, что и соответствующие оси.
Из этого определенна ° Гл. Д Геометрические оскоем следует, что, например, координата х зависит только от выбора начала и положительного направления оси х, но не зависит от выбора направлений осей у или х при условии, что они ортогональны оси х.
Для определения координаты х' точки Р в другой прямоугольной декартовой системе координат х', у', г', имеющей то же начало, можно вместо отрезка ОР спроектировать на ось х' ломаную ОХР*Р, где Р' представляет собой проекцию точки Р на плоскость х, у. Тогда получится соотношение х'= х соз(х', х)+ усов(х', у)+ясов(х'. л), где, например, через (х',у) обозначен угол между осями х' и у. Добавляя к этому соотношению соответствующие формулы для у' н г', получаем формулы преобразования х = х сов (х, х)+ усов (х .
у)+хсоз (х, х). у' = х соз (у', х)+ у соз (у', у)+ я соз (у', «). (2.1) х = х соз (х, х) + у соз (х, у) + х соз (8 . х). Формулы для обратного преобразования получаются иа формул (2.1) путем взаимной замены штрихованных и нештрихованнык величин. При этом очевидно, что, например, соз(х',у)=сов(у. х'). Таким образом, находим соотношения , х = х' соз (х', х) + у' соз (у', х) + г' соз (х', х), у=х'соз(х',у)+у'соз(у',у)+х'соз(г',у), (2.2) х = х' соз (х', х)+ у' соз (у', «) + ло соз (х', х), Выведем необяодимую в дальнейшем формулу для косинуса угла между двумя направлениями р и т. С этой целью проведем из начала координат луч, имеющий направление р, и рассмотрим ту точку Р этого луча, расстояние которой от начала координат равно единице длины. Координаты этой точки в нештрихованной системе равны х = соз (р„х), у = соз (р.
у), х = соз (р, г). Если теперь совместить положительное направление х' с направлением ч, то координата х' точки Р, с одной стороны, равна соз(р, т), а, с другой стороны, величина х' определяется первой формулой (2.1), в которую нужно подставить 2. Преобразование координат 13 приведенные выше значения для х, у. г. Отсюда получим формулу соя(и, т) = сов (р. х) соя (т, х)+ сов(р, у) сов(т, у) + + соз (1а, 2) соз (т, а). (2.3) Заметим, что правая часть формулы (2.3) линейна и однородйа относительно направляющих косинусов каждого из двух направлений. Формулы преобразования (2.1) и (2.2) можно записать в компактном виде.
Вместо х. у, г или х', у', г' будем обозначать координаты через хр х, хз или х,', х'. х'. В дальнейшем условимся, что нижние латинские индексы будут пРинимать значения 1, 2 и 3, так что можно говорить о точке с координатами х, или х'. Наконец, обозначим через с! косинус угла- между направлениями х, и х'.. Тогда р формулы (2.1) и (2.2) можно записать в следующем виде: з х' = ~~'.~~ с, х,, (2.4) ! 1 з х, = ~~.", с,.х'. (2.5) ! ! х! сг/х! + сз/ха + сз/хз (2.6) в котором единственным сохранившимся буквенным индексом является индекс у. Придавая этому индексу значения 1, 2 и 3, получаем три искомых уравнения. Эти уравнения с точностью до обозначений идентичны формулам (2.1).
Индекс 1, по которому в формуле (2.4) производится суммирование, входит в одночлен, стоящий под знаком суммы дважды; то же замечание относится к индексу г' в формуле (2.5). Это обстоятельство (с которым мы будем часто встречаться в дальнейшем) позволяет записать формулы преобразования еще более кратко. Действительно, знаки суммы в формулах Каждое нз зтих соотношений эквивалентно трем уравнениям. Для того чтобы расшифровать уравнения, представленные формулой (2.4), необходимо в правую часть формулы подставить вначения индекса 1=1, 2, 3 и результат просуммировать. Тогда получим соотношение 14 Х'л.
д Геолегричееяие вемоам (2.4) и (2.5) можно опустить, если условиться, что дважды повторяющийся в одночлене нижний латинский индекс будет всегда означать суммирование по значениям 1, 2 и 3 этого индекса. Используя такую запись суммирования, формулы (2.4) и (2.5) можно представить в упрощенном виде х7= сцхм х! = сс/х7. (2.Л (2.8) Как видно из формулы (2.б), двойной индекс Х, входящий в формулу (2.7), после проведения суммировании исчезает, поэтому такой индекс называется немым индексом. Выбор той или иной латинской буквы для обоаначення этого немого индекса несущественен, если э данном одночлене не встречается другой повторный индекс. Например, формулу (2.8) можно записать в виде х! = Стаха. (2.9) В дальнейшем зта свобода выбора немого индекса будет часто использоваться.
Если, например, подставить выражение (2.8) для х, в формулу (2.7), то в правой части полученного соотношения индекс 1 встретится в одночлене четыре раза, так что возникнет неясность, как проводить двойное суммирование. С другой стороны, подстановка равенства (2.9) в формулу (2.7) приводит к зависимости х! = С1/стаха (2. 1О) которая ясно определяет предусмотренное суммирование. В формуле (2.10) индексы подчиняются следующему общему правилу: в корректно написанном соотношении нижний латинский индекс в каждом одночлене может встретиться не более двух раз. Если же обе стороны соотношения записываются как суммы одночленов и такой индекс встретится в одночлене один раз. то этот индекс войдет один раз и в любом другом одночлене.
Зависимость (2.10) дает повод ввести еще один важный символ. Так как х,', х', х' представляют собой независимые переменные, то соотношение (2.10) можно обратить з тожде-' ство х' = х'. Поэтому в соотношении (2.10) коэффициент 8. Скиляр и вектор с, с,„равен 1 при /='А и 0 при У Ф й. Определим так называемую дельту Кроненера следующии образом: ~1 при 1=/, й 10 при !+ /; (2.1 1) тогла.
очевидно, с, осе=о„. (2.12) Так как штрихованные и нештрихованные координаты могут меняться ролями, то можно также записать соотношение (2.13) с,с,=о а Чтобы уяснить краткость новой записи, заметим, что, например, соотношение (2.12) представляет шесть равенств. В нашей первоначальной записи эти равенства имеют зид созе(х', х)+сова(х', у)+сов'(х', х)=1, соз(х', х) соз(у', х)+ соз(х'. у) соз(у', у)+ +сов(х, з)соз(у.
х)=0, причем из каждой такой зависимости две другие получаются путем циклической перестановки х', у', з', 3. Скаляр н вектор. Выбрав соответствующие единицы измерения. мы можем определить расстояние между двумя точкамн в пространстве или кинетическую энергию материальной точки посредством некоторого числа, которое не зависит от выбора системы координат. Такие геометрические или физические величины называются сналлрама. В качестве примера векторной величины в п.
1 настоя щей главы была названа скорость материальной точки. Безотносительно к системе координат скорость можно охарактеризовать ее нодулем и ее направлением. Модуль скорости обозначим через о, а направление через ч. Если выбрать некоторый линейный масштаб, то скорость можно изобразить направленным отрезком. Проекция направленного отрезка на любое направление р интерпретируется в выбранном масштабе как величина скорости по направлению р и обозначается через о'"', Зта величина представляет собой скаляр; она опре- 16 Гл Д Геометрические основы деляет скорость перемещения рассматриваемой материальной точки в направлении р.
Очевидно, ею=псов(, р). В прямоугольной декартовой системе координат хн хт, хз, скорость определяется своими проекциями на координатные оси; эти величины называются компонентами скорости в рассматриваемой системе координат и определяются по формулам е, = е соз (», х,), е, = е соз (», хг), ез = е соз (», хг). (3.2) Ив соотношений (2.3), (3.1) и (3.2) получим выражение Ф"'= е, сов(р., х1)+ ег сов (р, хг)+ ез сов (р, ха).
(З.З) Таким образом, определив рассматриваемую скорость посредством проекций на координатные осн, можно с помощью уравнения (3.3) каждому направлению р сопоставить скаляр епо В результате приходим к следующему первому определению понятия вектора: для любого направления в пространстве каждому вектору можно поставить в соответствие сиаляр посредством линейного и однородного относительно направляюигих косинусов соотношения. Это определение вектора имеет то преимущество, что оно использует единственную координатную систему (относительно которой берутся направляющие косинусы). С точки зрения такого определения обычные характеристики вектора можно получить следующим образом.
Модуль вектора представляет собой максимальное вначенне среди всех проекций вектора на различные направления в пространстве; направление, которому отвечает этот максимум, есть направление вектора. Чаще встречается другое опрелеление понятия вектора. которое устанавливает, как меняются компоненты вектора при переходе от одной координатной системы к другой. Пусть, например, в выражении (3.3) величина р представляет собой направление положительной оси х, 'второй координатной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
