В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 14
Текст из файла (страница 14)
можно записать равенство 1 1 1 тв~ — — — з~1»д 11о»1 —— — ей»др» — — — (го1 т)п (1.5) илн подробнее 1 1 1 ео1 = — (дзоз — дзМ »нз = (дзчт1 ~го») »вз = (дтоз 'дзо1) 2 2 2 (1.6) Согласно формуле (6.8) гл. 1, обращение равенства (1.5) приводит к соотношению д 11о»1 —— е,1 шн (1.7) Доля антисимметричной части векторного градиента поля скоростей в относительной скорости (1.3) определяется, следовательно, соотношением Но*„= е»,7»в, Фх . (1.8) Сравнение правой части формулы (1.8) и выражения (6.18) гл. 1 показывает, что относительная скорость Фо* соответствует мгновенному вращению окрестности частицы Р как твердого тела вокруг оси, проходящей череа Р. Вектор (1.5) определяет величину угловой скорости. направление осн вращения и направление вращения таким образом, как это изложено в п.
6 гл. 1. Этот вектор называется вихрем поля скоростей, а векторные линии вихревого поля называются вихревыми линиями. Д Скорость ерагценил и скорость деформации . 81 Если симметричная часть векторного градиента дгю» для частицы Р равна нулю. т.
е. если векторный градиент анти- симметричен, то в данный момент окрестность частицы Р движется как твердое тело. Докажем теперь обратное: окрестность частицы Р может двигаться в данный момент как тверлое тело только тогда, когда симметричная часть векторного градиента до» равна нулю. С этой целью рассмотрим в окрестности частицы Р, кроме введенной выше частицы Р'. еще частицу Р", координаты которой отличаются в рассматриваемый момент от координат Р на дифференциалы Ьхр По аналогии с формулой (1.1), скорость частицы Ре относительно частицы Р запишется в виде йо» = йх д1ю», (1.9)- т. е. это выражение представляет собой скорость, с которой в данный момент изменяется разность координат ох». Поэтому в рассматриваемый момент времени скалярное произведение сгх» йх» изменяется со скоростью (агх» йх») = до» йх» + ггх» йо» вЂ” — д!о» Их! йх»+д!чг» Нх» йх! —— = (дР»+ д»Ю)) С(Х1 аХ» = 2д < го»> С(Х! аХ».
(1.10) Здесь и в дальнейшем точка, используемая в качестве верхнего индекса, означает материальную скорость изменения, т. е. скорость изменения какой-либо величины. определенной для фиксированной частицы движущейся сплошной среды, Если окрестность частицы Р движется в данный момент как твердое тело, то материальный треугольник РР'Р' не меняет своей формы. Вследствие этого выражение (с(х» ох ). равно нулю при любом выборе частиц Р' и Р" в окрестности частицы Р.
Чтобы рассматриваемая окрестность двигалась в данный момент как твердое тело, последний член равенств (1.10) должен обращаться в нуль при любом выборе векторов гзх) и ох», т. е. тенвор У!» — — д1,о» > (1.1 1) должен равняться нулю. Как было покааано в предыдущем абзаце, это необходимое условие является также и достаточным для мгновенного отвердевания окрестности частицы Р. Симметричный тензор )г называется тензором скоростей деформаций окрестностй частицы Р. б в.
Пвьгье 82 Гл. 'П!. Мюшвеннее свсголнив двихенил Чтобы выяснить механическое значение компонент теизора скоростей деформаций, обозначим мгновенную длину материальных линейных элементов РР' и РР" через дз и Ь соответственно. а угол между ними через 6. Тогда получим соотношение 01х„бхь)' = (г!г Ь соз 0)' = = ~ ~ — + — ~ соз 6 — 6' в!и 8 ~ Иг Ь. (1.12) г (из)' (зз)' т — 1лз за 1 Полагая Фха — — рада и Ода =»аЬ, где ра и»а — единичные векторы направлений РР и РР', сравним соотношения (1.10) и (1.12), приняв во внимание формулу (1.11). Тогда мы получим следуюшее равенство: — + — ~созΠ— О'я~О =2У „р» .
(1.13) (лз)' (Ь)' т лз зз ! Если же частица Р' совпадает с частицей Р", то это равенство прикипает вид = У7ар7рь (1.14) т. е. отношение скорости изменения фз) длины материального линейного элемеита РР' к его мгновенной длине зависит только от направления этого влемеита и не зависит от его длины. Такое отношение называется скоростью удлинения по направлению РР'. Как видно нз формулы (1,14), скорость удлинения в направлении р представляет собой определенную в п, 7 гл.
! иормальиую компоненту симметричного тензора У по иаправлеиию р. Поэтому, в частности, величины Уп, Узз, Уз» представляют собой скорости удлинения по координатным направлениям. Для выяснения механического смысла остальных компонент теизора скоростей деформаций выберем элемент РР" перпендикулярно элементу РР'.
Тогда,'согласно уравнению (1.13), мгновенный прямой угол между материальными линейными элемеитамн РР' и РР" уменьшается со скоростью — 0 =2У7ар»а. (1.15) Правая часть выражения (1.15) в технической литературе обычно называется скоростью сдвига для направлений р и».
Если совместим, например. направления р и» с положитель- С Скорость вращения и скорость деформации ными направлениями осей х, и хг соответственно,то скорость сдвига для этих координатных направлений определится выражением 2Уж — — 2Уг,. Так как, разумеется, удобно иметь название для самих компонент тензора, а не для их удвоенных значений, то поэтому в современной математической литературе термин „скорость сдвига" употребляется обычно для обозначения половины скорости, с которой уменьшается мгновенный прямой материальный угол. В дальнейшем будем применять этот способ выражения, т. е. компоненты тензора Угг Угь Угг Угя 1 м —— 1 ж будем называть скоростями сдвига для трех пар координатных направлений. Исследуем теперь подробнее долю «о симметричной части векторного градиента д)оь в относительной скорости (1.8).
Подобно тому, как величина «о*, в силу равенства (1.8), описывает мгновенное вращение окрестности частицы Р, рассматриваемая величина «грь* характеризует мгновенную чистую деформацию этой окрестности. Для изучения этой чистой деформации положим, как и выше, «х! — — р)«е; тогда из формул (1.4) и (1.11) получим равенство «о;*= У„р, «е. (1.16) В окрестности частицы Р выберем такую частицу Р', чтобы направление РР' было главным направлением тензора скоростей деформации Угь.
Тогда скорость «и" частицы Р' относительно частицы Р направлена вдоль РР', т. е. при мгновенной чистой деформации материальный линейный элемент РР' не изменяет своего направления. Следовательно. как было показано в п. 7 гл. 1, частице Р соответствует по крайней мере одна тройка взаимно ортогональных материальных направлений.
которые не изменяются в результате мгновенной чистой деформации. Если величины рп р", р,'и представляют собой единичные векторы этих направлений, а Уп Уп, Уш — главные значения тензора У,р то из формулы (7.15) гл. 1 следует соотношение Уц = УРь!»7+ Уп!ьь р7н+ Ушр~спР';" (1 17) Величины Уь Уп, У!и называются главными скоростями удлинения. Если только один или только два члена в правой части равенства (1.17) равны нулю, то тензор скоростей 6» Гя.
Ш. Мгновенное состояние движения деформаций (1,17) называется плоским или одноосным соот-ветствеиио. Общий теизор скоростей деформаций (1.17) можно рассматривать как наложение трех одиоосиых теизоров скоростей деформаций с взаимно ортогоиальиыми осями. При мгиовеииой чистой деформации материальные линейные элементы, имеющие направления р~, рп, рш, обладают в данный момент главными скоростями удлинения ргь Ъ"и. 'рш соответствеиио. ио ие подвержены вращеиию.
Предоставим читателю распространить иа скорости дефор'маций дальнейшие результаты. полученные ранее в п. 7 гл. ! и пп. 3, 4, 5 гл. 11. Ограничимся лишь следующими замечаииями. В окрестности главных направлений скорость удлинения, рассматриваемая как функция направления, имеет стационарный характер. Главные скорости удлинения являются корнями характеристического кубичиого уравнения 17 — У ц,)Р— 2 „,) — 7 <з> = 0, (1.18) в котором величины 1 2 ( 0 й н !7)' 1 6 адлере,)'грЧ~е)'е = 1 — (2)Р0)',Р— 3)7,7~;,~„+ ~',К7717„) 7 иб= (1. 19) р' <з>= представляют собой основные иивариаиты теизора скоростей деформаций.
По аналогии с выражениями (3.1) и (3.2) гл. 11 средняя скорость удлинения определяется по формуле 3 (1.20) а девиатор скоростей деформаций — по формуле Уг7=)гг7 — р йг7. (1.21) ' Этот девиатор имеет те же главные направления, что и теизор скоростей деформаций, ио его главные зиачеиия меньше главиых скоростей удлинения иа величину ун. В п. 3 гл. П напряжение, действующее иа элемент паверхиости, было разложено иа вектор нормального иапрй- 1, Скорость вращению и скорость деформации 63 » юоь У ° =ть — = У)еЬча.
(1.22) т. е. этот модуль представляет собой скорость сдвига для перпендикулярных друг к другу направлений р н ч. Поэтому рассматриваемые векторы можно назвать соответственно вектором сноросгли удлинения и вектором скорости сдвига для направления р. Из аналогии этого разложения с разложением, рассмотренным в п. 3 гл. 11, следует, что модуль Уе вектора скорости сдвига оказывается стационарным в окрестности следующих трех направлений (оси координат совпадают с главными осями тензора скоростей деформаций): рг 1ьг 1 з з 2' р,,=о, 1!2 1ьг 1 г 2' рз — — О, (1.23) ' 1' Рг=о.
Рз — 2 1 рг=— ! 2 ' Эти направления называются главными направлениями снорости сдвига, а соответствующие стационарные модули вектора скорости сдвига называются глаенмма снорови!яма сдвига и определяются по формулам ~е=-2 ~~и-~п!1, 1 1 ~з= — % — У 1. 2 1 ~з= 2 !Ун! — )Ч (1.24) жения, перпендикулярный к этому элементу, н на вектор напряжения сдвига, касательный к нему.
Подобно этому представим вектор сЬ /де, равный отношению скорости (1.1б) к длинен. как сумму двух векторов, из которых первый имеет . направление рь (или противоположное),а второй перпендикуляренкэтомунаправлению. Тогда,согласноформуле(1.14),модуль Ун первого вектора равен абсолютной величинескорости удлинения в направлении р. Направление второго вектора зададим единичным вектором ть; тогда модуль второго вектора выразится в виде йб Ге.
Ш. Мгновенное еосгояные деижения Графическое представление напряженного состояния по способу Мора можно без труда приспособить к изображению скоростей деформаций; подобное же вамечанне справедливо > по отношению к поверхностям напряжений Коши. Отметим, что этн геометрические представления относятся только к мгновенным скоростям чистой деформаплн, но не дают никаких сведений, касающихся мгновенных скоростей вращения.
Как будет показано в следующем пункте, метод изображения плоского напряженного состояния при помощи кругов Мора можно перенести на плоское состоянне движения н видонаменнть его так, что изображение будет давать как угловую скорость, так и скорость удлинения любых матернальных линейных элементов в плоскости движения. 2. Плоское состояние двпження. Мгновенное состояние движения навывается одноосныег. если существует прямоугольная декартова система координат, в которой поле скоростей имеет внд (2.1) , (хг), Так как в этом случае скорости сдвига )гз, и Узз тождественно равны нулю, то в каждой точке поля направление хе является главным направлением тензора скоростей деформаций н соответствующая главная скорость удлинений равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
