В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 13
Текст из файла (страница 13)
растягивающим или сжимающим. Пусть Рей†луч первого вида и пусть Д вЂ” его точка пересечения с поверхностью Ф, (рис. 11). Координаты точки Рис. 11 можно записать как х, = гти где г означает расстояние Рф а чс — единичный вектор направления РЯ. Тогда градиент скалярного поля и в точке Я определяется формулой дне = 2Тс1хс = 2гТс1тс = 2г Т1~'.
(5. 3) где Та — напряжение, соответствующее направлению т. Слева довательио, напряжение Т(И перпендикулярно к касательиой плоскости поверхности уровня Ф, в точке (с и направлено в тз полупростраиство, ограниченное этой плоскостью, которсе ие содержит точку Р. Отсюда сразу следует, что оси поверхностей напряжений совпадают с' главными осями иапряжеииото состояиия. Весьма просто можно получить модуль Ти! иапряжеиия Т'".1, заметив, что, согласно формулам (5.1) и (5.2), иормальиая составляющая напряжения, имеющая направление т, б: Гидростатика обратно пропорциональна квадрату расстояния РС~.
Из подобия треугольников РОВ и РАВ (рис. 11) следует, что величина Т1п обратно пропорциональна произведению йг,' где Ь вЂ” расстояиие точки Р от касательной плоскости к поверхности Ф, в точке Я, а величина г — расстояние РЯ. Подобиым же образом можно рассмотреть и тот случай, когда луч, имеющий направление »и пересекает поверхность Ф и Единственное отличие от только что полученных результатов состоит в том, что теперь напряжение Т~~ направлено, в то полупространство, ограниченное касательной плоскостью, которое содержит точку Р.
Если все главные напряжения положительны, то поверхность Фг представляет собой эллипсоид, а поверхность Ф мнимая; для отрицательных главных напряжений поверхность Ф, — мнимая. а поверхность Ф , — эллипсоид. Если главные напряжения отличны от нуля и имеют разные знаки, то поверхности Ф, и Ф,— гиперболоиды.
Образующие асимптотического конуса этих гиперболоидов определяют те направлеиия т, для которых нормальное напряжение (5.2) обращается в нуль. Следовательно. на элементы поверхности, которые перпендикулярны к этим асимптотическим направлениям, действуют только касательные напряжения. Для плоского напряженного состояния поверхности напряжений представляют собой эллиптические или гиперболические цилиндры, в зависимости от того, имеют ли оба не равные нулю главные напряжения одинаковые или противоположные знаки. В первом случае одна из поверхностей Ф, и Ф , — мнимая. Наконец, для одноосного напряженного состояния одна из этих поверхностей вырождается в пару параллельных плоскостей, в то время как другая становится миимой. 6.
Гидростатика. Как уже было аамечено ранее, для определения поля напряжений недостаточно только одних условий равновесия (2.7) и поэтому их необходимо дополнить другими уравнениями нестатического происхождения. В гидростатике такие уравнения следуют из предположения, что жилкость в состоянии покоя не имеет касательных напряжений.
Так как. согласно выражениям (3.11), (3.13) и (3.15), отличные друг от друга главные напряжения приводят к сушествованию касательных напряжений, то, следовательно, в любой точке покоящейся жидкости три главных напряжения Гл. П. Нанрясненное состояние должны быть равны друг другу. Их общая величина обычно обозначается через — р, и р называется гидроснгатичесниж давлением в рассматриваемой точке. Поле напряжений покоящейся жидкости задается формулой (6.1) т„= — рйы, где р)0 представляет собой скалярное поле, которое, согласно уравнениям (2.7).
подчиняется следующему условию равновесия: дяр = ррн, или йтад р = рР, (6. 2) где Р— удельная массовая сила, а р — плотность. Плотность р, давление р и абсолютная температура Рэ связаны уравнением состояния жидкости У(р,р.Е)-о. Например. для идеального газа справедливо уравнение (6.3) — ' =ге. Р (6.4) где 7Р— газовая постоянная. Вследствие уравнения (8.10) гл. 1 из условия равновесия (6.2) получаем, что соотношение го1 (РР) = 0 (6.5) Р Х ига д р — р го! Р = О. (6.6) Во многих приложениях удельные массовые силы Р обладают иотенйиаяояс У, т.
е. Р= — ятад У. 'Рак как ротор от градиента тождественно равен нулю. то в этом случае, согласно равенству (6.6), сила Р параллельна втаб р, т. е. поверхности уровня для плотности и потенциала совпадают. Тот же вывод можно получить следующим обравом. Если представляет собой необходимое условие для существования поля давлений, удовлетворяющего уравнению (6.2). С другой стороны, в п. 9 гл. ! было показано, что векторное поле при отсутствии вихря является градиентным полем. Поэтому условие (6.5) является не только необходимым, но и доста-. точным условием. Предоставим читателю показать, что оно может быть записано в виде д.
т идростатикл удельные массовые силы обладают потенциалом У. то условие равновесия (6.2) принимает вид йтад'р = — рйтад У. (6. 7) Отсюда следует, что для полей йтадр и ягад У векторные линии совпадают и поэтому совпадают ортогональные к ним поверхности уровня полей р и У. Следовательно, давление представляет собой функцию потенциала р (У), и отсюда следует соотношение стад р = — Р йтад У. (6.8) Подставляя последнее соотношение в уравнение (6.7). получаем равенство Р= др ди' (6. 9) т. е.
плотность также является функцией потенциала. Уравнение состояния (6.3) показывает тогда. что температура 6 также представляет собой функцию потенциала. В качестве примера рассмотрим равновесие атмосферы, предполагая, что воадух можно считать идеальным газом. Если высоту над уровнем моря обозначить через лз, то потенциал силы тяжести единицы массы будет иметь величину (6. 10) У=а,. где й — ускорение свободного падения.
Следовательно, в состоянии равновесия давление, плотность и температура зависят только От Высоты хз Предположим, в частности, что температура линейно убывает с высотой согласно закону Е = Е,(1 — л,)й). (6.11) где Ве — абсолютная температура на уровне моря. а й— высота, на которой был бы достигнут абсолютный нуль температуры, если бы формула (6.11) была справедливой без ограничений.
Принимая во внимание формулу (6.11). уравнение состояния (6.4) вапишем в следующем зиле: Р= ЛЕ,(1 л,Р) ' р (6. 12) 78 Гл. П. Налрнженнае 'состояние Подставив это значение плотности в условие равновесия (6.2), получим дифференциальное уравнение ар 8Р ахе )абае (1 — хв/а) (6.13) откуда путем интегрирования находим соотношение Р = Ро(1 — лзР~) (6.14) р Р(Р)= т (Р) (6,16) Так как нгаб Р = — 8таб Р = — йтад р, (6.16) гГР 1 ар Р (Р) то из условия равновесия (6.7) получим соотношение Р+и= йзп (6. 17) В частности, для несжимаемой жидкости с постоянной плотностью р справедливо следующее уравнение: Р+ рУ = сопз1.
(6.18) Уравнение (6.18) выражает принцип Паскаля: если в какой-либо точке несжимаемой жидкости, находящейся в равновесии, изменить давление на определенную величину, то давление в каждой точке изменится на ту же величину. где ре — давление на уровне моря. Если температура атмосферы предполагается постоянной, то обычно применяется термин изолгермичсское равновесие. Из уравнения состояния (6.3) следует, что в этом случае плотность является функцией давления р(р).
Выбрав некоторое начальное давление ре, вводим скалярную величину Глаза 1!! МГНОВЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ДВИЖЕНИЯ !. Скорость вращении и скорость деформации. При описании мгновенного состояния движения непрерывной среды применение термина, точка" легко может привести к заблуждению, поскольку этот термин может отноеиться как к фиксированной точке пространства, так н к материальной точке сплошной среды. находящейся в движении. Поэтому для большей ясности будем пользоваться термином „точка" при обозначении фиксированной точки пространства, а при обозначении материальной точки сплошной среды будем употреблять слово „частица'.
При описании геометрических объектов, например элементов линий или элементов поверхностей, применение прилагательных „пространственный" или „материальный" будет означать, что эти фигуры образованы точками или частицами соответственно. Мгновенное состояние движения непрерывной среды определяется своим полем скоростей и (х), которое задает компоненты о„ скорости произвольной частицы Р как функции текущих координат,хо хз, хз втой частицы.
Векторные линии поля скоростей называются линиями шока. Так как линии тока зависят только от мгновенного состояния движения, то в общем случае они не совпадают с траекториями частиц. Рассмотрим две соседние частицы Р и Р', мгновенные координаты которых равны ла и хз+ ахз соответственно. Согласно уравнению (8.3) гл. 1, скорость частицы Р' относительно частицы Р определяется следующим выражением: (1. 1) до„=Их д,о, где векторный градиент д,оа вычисляется для частицы Р.
Для дальнейшего анализа векторный градиент дгоз удобно представить в виде суммы антисимметричного и симметричного тензоров. Интерпретируя так же, как в п. 4 гл. 1 80 Гя Пй Меновенное состояние двое»енин круглые нлн квадратные скобки, заключающие индексы. относящиеся к различным символам, запишем равенство д1о» = д 1 о»1 + д <1»т»р (1.2) Этому разложению векторного градиента поля скоростей соответствует следующее разложение относительной скорости из формулы (1.1): Жо ="до*+йо», (1.3) где Но'=дх д 1о, ИО =Их д, о . (1.4) ! 1/ »1' Для изучения относительной скорости Фо*, заданной антнсимметричным тензором д 1,о»р обозначим вектор, двойственный атому тензору, через 2сои Таким обравом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
