В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(4А) Из этих уравнений видно, что точка напряжений. соответствующая направлению ОЯ, занимает такое положение сс на ° Ф ° е полуокружности с диаметром А~Ац, что угол А~ВЯ равен 2у (рис. 8 а). Следовательно, точки напряжений для всех направлений, образующих с осью х, угол р, лежат на дуге окружности с центром в точке С, проходящей через точку сг . е В частности, точке пересечения 1~' этой дуги окружности с ° ° полуокружностью, имеющей диаметр А~Аць соответствует в первом квадранте плоскости ли ха такое направление ОЯ', ° Э которое образует угол е с осью хь Угол А~Щ', как и ° е угол А~ВЯ, имеет величину 2т.
. Пусть в первом квадранте плоскости хя,хз направление О)с обРазует с осью л угол 6. Тогда аналогично предыдущему Гл П. Напряженное состояние находим, что точка напряжений тс' для этого направления ° ° лежит на полуокружности диаметра АцАц, и угол АщСЯ равен 29 (рис. 8 а). Точки напряжений для всех направлений, образующих угол 9 с осью хз, образуют лугу окружности с центром в точке В. проходящую через й*. Точка пересечения й' этой дуги с большой полуокружностью диаметра А~Аш 'соответствует направлению ОЯ' в первом квадранте плоскости х,,х, которое образует угол 9 с осью х . Э Э Угол АпгРГг', как и угол АшСЯ, имеет величину 29. Рассмотрим теперь в первом октанте направление ОР.
составляющее углы р и 9 с осями х, и хз. Соответствующая этому направлению точка напряжений Р' лежит на пересечении дуг 1Щ' и тс"тг' . Такйю образом, диаграмма напряжений Мора позволяет графически определить нормальное и касательное напряжения для любого направления. если иввестны главные значения и главные оси тензора напряжений. В частности, как видно из рис. 8а, максимум величины Тз достигается при р = 9 = 45' (точечные линии), т. е.
соответствует направлению, которое делит пополам угол межлу положительнымн осями х, и хз. Величина этого мак- 1 симума равна — (Тт — Тц,), а соответствующее нормальное 2 1 напряжение Тн равно — (Т~+ Ттц). 2 Напряженное состояние называется папским, если одно— и только одно главное напряжение равно нулю. Тогда главные оси, относящиеся к двум другим главным напряжениям, определяют плоскость напряженного состояния. Напряженное состояние называется однополым.
если два и только два главных напряжения равны нулю. Главная ось, соответствующая ненулевому главному напряжению, называется осью напряженного состояния. Для графического представления плоских напряженных состояний, также удобно использовать видоизмененную диаграмму Мора, если рассматррвать только направления в плоскости напряженного состояния. Чтобы проанализировать это представление, примем Т, ) Тц, но не будем требовать, чтобы равное нулю главное напряжение Т,ц было меньше.
чем Тт или Тц. Точно так же не будем требовать, чтобы 4. Иэображение наиряэсеннмя состояний но снособу Мора 11 осн х, н хэ, лежащие в плоскости напряженного состояния. совпадали с главными осями. Так как все рассматриваемые направления лежат в плоскости напряженного состояния, то, следовательно, 8 — 90', и точка напряжений расположена на окружности с диамет- ° ° ром А.Ап. При изображении на диаграмме Мора пространственных напряженных состояний мы определяли только модуль Тэ касательного напряжения, но не определяли его направления.
Однако в случае плоского напряженного состояния касательное напряжение 'ту действует вдоль следа эле; мента поверхности в пло- н скости напряженного состояния, и его направление может Тэ быть установлено путем рассмотрения величины Тэ как l Рис. алгебраической величинй. Общепринятое определение знаков напряжений показано на рис. 9, где рассматриваемый элемент поверхности изображен в виде его следа на плоскости х,,хт.
Пусть вектор нормали ч к этому элементу образует угол а с положительной осью х,. Нормальное напряжение Ттт и касательное напряжение Тэ (рис. 9) представляют собой напряжения, действующие с незаштрихованной стороны элемента поверхности на заштрихованную. Нормальное напряжение Т,, как обычно, считается положительным, если оно совпадает по направлению с вектором т и, следовательно, представляет собой растягивающее напряжение.
Касательное напряжение Тз считается положительным, если его направление расположено по отношению к направлению т так же, как направление положительной осн х, к положительному направлению осн хт. Следует обратить внимание, что при таком правиле анаков Тэ= Тж при а=90' и Тз= — Ттт при а=0'. Так как величина Тэ теперь может быть отрицательной, то графическое изображение больше не ограничивается верхней полуплоскостью Т, Тэ н вместо верхней половины круга мы будем пользоваться полным кругом с диаметром А~Ап. На рис.
10, а показано несколько направлений в пло- скости х,,хз, а на рис. 1О, б — соответствующие им точки Гп П. Напряженное состояние круеи напряжений. Для простоты рассматриваются элементы поверхностн, проходящие черев начало координат. однако для большей ясности напряжения, действующие по этим элементам, изображены на рис. 10.
а на некотором расстоянии от начала координат. Отрицательные стороны элементов поверхности вдесь также заштрихованы. Введенный на рнс. 9 угол а между положительным направлением осн х, и нормалью ч может рассматриваться н как угол (т,-т„иг Рис. 10 между отрнцательным направлением осн хз н положнтельным направлением Тз на следе элемента поверхности. Это последнее определение угла а использовано на ряс. 10. Пусть элемент поверхности.
по которому действует главное напряжение Ть характеризуется значением а = а, (рис. 10, и); соответствующая точка напряжении на рнс. 10. б есть точка Аь При а=О соответствующая точка напряжений Х~ на круге Мора имеет координаты Тм — — Тц н Тз —— Ф = — Тм, а .величина центрального угла ХгВА~ равна 2аь Проведем через точки Х1 н А~ прямые, параллельные следам соответствующих элементов поверхности. Тогда точка пересечения этнх прямых Р" будет лежать на окружностн Ю. Поверхности нонрлисений Коши ° е ° напряжений, так как угол Х1Р А~ равен вписанному 'углу дуги Х1АР Точка Р называется лолнтсолс круга напряжений и, как видно из рис.
10, б, имеет координаты Тн, Тта. Вели заданы круг напряжений и полюс, то можно определить точку напряжений для элемента поверхности, перпендикулярного к плоскости напряжений. Для этого проведем через полюс прямую, параллельную следу элемента поверхности; тогда вторая точка пересечения этой прямой с окружностью напряжений и будет искомой точкой напряжений. Предоставим читателю подробно изучить рис.
10, а и 1О,б; ваметим только. что следы ОАь ОАц на рис. 10, а соответствуют главным нормальным напряжениям, а следы ОВт и ОВц — главныи напряжениям сдвига. Укажем также на то, что плоское напряженное состояние характеризуется кочпонентами напряжений Тц, Тэг и Тп, которые определяют Ф ° диаметр ХтХэ круга напряжений. Главные оси и ' главные напряжения плоского напряженного состояния могут быть графически определены прн помощи циркуля и линейки.
Однако аналогичная задача определения главных осей и главных напряжений пространственного напряженного состояния по компонентам тензора напряжений не имеет подобного графического решения, так как характеристическое уравнение (7.5) гл. 1 — кубичное и поэтому в общем случае не может быть решено графически при помощи циркуля н линейки. 6. Поверхности напряжений Коши. Коши' ) предложил другое геометрическое представление общего напряженного состояния. Хотя в количественном отношении оно менее полезно, чем предыдущее, оно позволяет более наглядно представить напряженное состояние.
Для исследования напряженного состояния Т, в точке Р континуума совместим начало координат х, с исследуемой точкой Р н рассмотрим скалярное поле у, определенное для фиксированных значений Т, формулой (5.1) э= Т, х,х. ') С а и с Ьу А. 1, Ехегсыез йе и1ащэшацииш, т. 2, Раг!е, 182у; р. 42. Ги П.
Напряженное состояние Поверхности уровня этого скалярного поля представляют собой полобиые поверхности второго порядка, которые имеют общий центр подобия и центр симметрии в рассматриваемой точке Р и называются поверхностями напряжений) Кожи. Выбрав подходящие единицы длины и напряжений, обозначим поверхности напряжений, заданные значениями потеициала в= 1 и <р= — 1 через Ф, и Ф, соответственно. Луч, А проведенный из точки Р в иаправлении единичного вектора ч, пересечет поверхность Ф, вли поверхность Ф ,, в зависимости от того, будет ли соответствующее вектору ч нормальное иапряжеиие Т„ = Ти.р, (5.2) положительным или отрицатель- иым, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
