В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В самом деле. так как ротор градиентного поля тождественно равен нулю, то вместо поля (3.8) можно получить другие поля скоростей с заданным вихрем путем суперпозиций поля (3.8) и градиентных полей. Чтобы получить условия интегрируемости компонент скоростей деформаций У1» — — Уег, будем исходить из тоигдества дев, = д<еое1+ д(етт,), котоРое, в соответствии с Равенствами (1.7) и (1.11).
запишем в виде (3. 10) Правая часть равенства (3.10) представляет собой тензорное поле, которое для краткости можно обозначить через Те,. Необходимое и достаточное условие того, что девять компонент этого поля, заданного в односвявной части пространства выражением Т,= д и,, можно вывести из трех компонент скорости, имеет яяд дрТе, — деТр, — О, или (3.1 1) Заменив в атом равенстве величину Т, выражением из равенства (3.10), получим соотношение есредр$ ее+ е,реееесдреос = О. (3; 12) Воспользовавшись соотношениями (6.3) н (6.6) гл. 1, найдем равенство а. аггловия иигвгрируемогги Применяя еще раз рассуждение, использованное в связи с равенством (3.10). находим формулу е, з „др,Уг,—— О.
(3.15) Полученная формула представляет собой искомое условие для компонент тензорного поля скоростей деформаций. При выводе этого условия наряду с тривиальными преобразованиями было использовано только известное необходимое и достаточное условие интегрнруемости (3.11). Поэтому нет надобности в особом доказательстве того, что необходимое. как это очевидно„ условие (3.15) является также и достаточным. Заменяя последовательность немых индексов р, д, г,.з последовательностью г, з, р, о и пользуясь симметрией оператора д, и тензора У ,, легко показать, что соотношение (3.15) симметрично относительно индексов 1 и у и, следовательно.
определяет шесть уравнений. Запишем два типичных уравнения из их числа, полагая 1 =/ = 1 и 1= 1, /= 2 соответственно: дюУю+ дззУю — 2дюУю = О, (3.16) дз (дгУтз+ дгУзг дзУгД джУзз = 0 (3.17) Приведенные два соотношения и четыре других соотношения, получаемые ив ннх посредством циклической перестановки индексов, называются условиями совместности для компонент скоростей деформаций. '.
Для плоского состояния движения, заданного соотношениями (2.2), выведенные выше условия интегрируемости значительно упрощаются. Согласно формулам (2.3), вихревое поле плоского движения имеет вид гп! гвз О' ~з тзэ (лп лз)' (3.18) Поскольку любое векторное поле такого вида удовлетворяет условию (3.1), функция тоз(лн хе) в соотношениях (3.18) не подчиняется никаким условиям интегрируемости. С другой стороны, Уп.
)гш, Уьт являются единственными ненулевыми компонентами тензора скоростей деформаций. притом не зависящими от лз. Таким образом, условия (3.16) и.(3.17) удовлетворяются тождественно. Из остальных четырех условий совместности, которые получаются иа соотношений (3.16) Гл. Ш. Мгновенное состояние движения н (3.17) посредством циклической перестановки индексов, три условия также удовлетворяются тождественно, а единственное оставшееся условие совместности имеет вид дсс)с"ж+ дтс)ссс — 2дга)г,т = О.
(3.19) Вернемся к общему виду условий совместности (3.16) и рассмотрим поле симметричного тензора 1с0 второго ранга, определенное в односвязной части пространства и удовлетворяющее уравнениям (3.16). Если это поле рассматривать как поле тензора скоростей деформации сплошной среды, то можно показать, что соответствующее поле скоростей сплошной среды определяется с точностью до поля скоростей твердого тела. В самом деле, если отличающиеся друг от друга поля скоростей о,' и о, дают одно и то же поле тензора скоростей деформаций, то разность асс =о',— о, удовлетворяет соотношению дсо)+ джесс = О. (3.20) в котором а, — постоянный вектор, а Ь„, — постоянный тензор второго ранга.
Наконец, подставляя выражение (Зс22) в соотношение (3.20), обнаруживаем. что тензор Ьы антисимметричен. Таким образом, согласно формуле (6.20) гл. 1, соотношение (3.22) определяет поле скоростей твердого тела: вектор ас представляет собой вектор скорости начала координат, а Ьяс — тензор. двойственный вектору угловой скорости. Дифференцируя это соотношение по ха и затем умножая результат на тензор ес„, получим равенство дс (е, даос) = О, (3.21) т.
е. ротор поля ос постоянен во всех точках рассматриваемой части пространства в данный момент времени. Так как, например, первую составляющую даоз — дзпа этого ротора, в силу соотношения (3.20), можно записать как 2даоа, то из уравнения (3.21) получим, что все вторые производные от компонент о по координатам равны нулю. Следовательно, имеет место соотношение ос —— ас+ 2Ьягкь (3.22) 4. Матеров»»на» скоро»го изменения 4. Материальные скорости изменения. Предшествуюшие пункты этой главы были посвяшены мгновенному полю скоростей о» (х). Установив зависимость этого поля от времени г.
мы получим обшее описание движения среды посредством уравнения (4.1) о = о»(х, г). (4.2) а„= о)д)о»+ две». В символической записи это соотношение имеет вид а=(т атай) т+ — „ дт (4.3) Первый член правой части формул (4.2) или (4.3) можно рассматривать как ту часть ускорения, которая обусловлена движением частицы в мгновенном поле скоростей, а второй член — как часть ускорения, обусловленную зависимостью поля скоростей от времени. Эти члены называются нонвенвгоаной и локальной частями ускорения соответственно. Чтобы вывести часто применяемое другое выражение для ускорения, прибавим к правой части соотношения (4.2) выражение отд»от в о)д»о, тождественно равное нулю.
Тогда получим равенство о» = и! (д)о» вЂ” д»с~у) + о)д»о) + дои».' (4 4) Здесь, как и раньше„буква х означает переменные хо хг, хг; частную производную по времени будем обозначать оператором дв, а частную производную по координате х, как н прежде, — оператором др Вычисляя частную производную две» в точке Р для времени г, мы сравниваем значения скоростей о» (х, г) н о (х, г+Ж), наблюдаемых в моменты времени г и г+дг в фиксированной точке Р пространства. Следовательно, производная две», вообще говоря, не определяет ускорения частицы, находяшейся в данный момент в точке Р.
Для определения этого ускорения следует учитывать, что за промежуток времени ог рассматриваемая частица перемещается из точки Р с координатами х) в бесконечно близкую точку Р' с координатами х'=хг+о.йг. Таким образом, ускоре- 1 ние а» этой частицы находится из уравнения а» ог = =о»(х', г+ог) — о„(х, г), т. е. оно равно Гл Ш.
Мгновенное состояние деитсения В этом равенстве выражение в скобках можно записать /! в виде 2д!7о 1, а второй член правой части в виде де ~ — о1о7). Таким образом, согласно соотношениям (1.7) и (6.3) гл. 1, получим окончательно уравнение /1 ае = 2ее,гмггог + д» Р ег,п!) + двое. где первый член правой части представляет собой удвоенное векторное произведение вектора вихря н вектора скорости. Символически уравнение (4.6)сзаписывается следующим образом: (4. 6) а=2иг Х ч+пгай(от/2)+дч'1д1. Используя терминологию, примененную в связи с выводом соотношения (1.10), можно называть ускорение ае материальной скоростью изменения тГ вектора скорости о.
Те соображения. которые привели к выражению (4.2), можно легко перенести на другие величины. Если, например, задано зависящее от времени поле температур 1! = с1(х. Ф) сплошной среды, то температура произвольной частицы изменяется со скоростью 6' = и д7ет + дз6, ' (4.7) 'Ф.' где правая часть определяется для рассматриваемого моменга времени 1 н мгновенного положения х частицы.
Соотношение (4.7) останется справедливым, если функ. ция В вместо температуры будет означать какое-нибудь другое скалярное свойство сплошной среды. Аналогичным образом, тензорному свойству Ты...(х, !) соответствует материальная скорость изменения Тес, =о;дгТы..,+деТег (4.6) Рассмотренные до сих пор скорости изменения относятся к свойствам сплошной среды, определенным для какой-либо отдельной частицы.
Однако не все важные понятия механики сплошной среды можно определить таким образом. Так, можно говорить о плотнохти сплошной среды в какой- либо отдельной частияе, но нельзя говорить о массе втой частицы, так как слово частица означает точку, а не элемент объема сплошной среды.
97 4. Материальные скорости иаиененил Масса, содержащаяся в момента в области У пространства, определяется величиной интеграла нг = ~ рг7У, распространенного на объем У, где р = р (х, 7) — поле плотности сплошной среды, которое в общем случае зависит от времени. Материальная скорость изменения такого интеграла по объему должна определяться таким образом, чтобы, например. сохранение массы выражалось соотношением «г = О. Рассмотрим интеграл по объему (4.9) где Тлг „.
(х, 1) — тензорное свойство сплошной среды, а интегрирование распространяется на такую часть сплошной среды, которая в момент времени г заполняет ограниченную регулярной поверхностью область У пространства. Произвольная частица, занимающая в момент 7 положение хр в момент с+И зайиет положение х' = х7+тг Ж. В частности, Рис.
13 те частицы, которые в момент 7 лежат на граничной поверхности 8 объема У, в момент 7+И будут заполнять смежную поверхность 5', ограничивающую область У' пространства (рис. 13). Тогда материальная скорость изменения 1 опредеЛяется следующим соьтношением: Г и=~те,, (х', С+а) У' — ~ Т ц, (х, 7) ЮУ. 7 в. Пратер 98 Гя. сг!. Меновенное состояние овиснения Воля элемента объема Л'о который принадлежит как объему 1с, так и объему У', в величине Г равна, очевидно.
д,Тес„. вгЪ"ь где частная производная определяется в момент времени 1 и для положения рассматриваемого элемента объема ~ЛГп Заштрихованный на рис. 13 элемент объема сглаз принадлежит объему е", но не принадлежит объему Р. Элемент объема НУз заметается частицами влемента ФЮ поверхности о, когда этот элемент Ио получает перемещение о л1с. Если «1 в еди/ ничный вектор внешней нормали к поверхности я,то сйг = =п1ч1ИЯЖ. Доля этого элемента объема в величине Г будет, следовательно.
Ты охчхс(о. Такое же выражение получим для доли элемента объема, принадлежащего объему ' У, но не принадлежащего Ъ" (левый нижний заштрихованный объем на рис. 13). В самом деле, для такого элемента скалярное произведение о1ч1 отрицательно, что соответствует отрицательному внзку интеграла, распространенного на объем У в выражении для г". Подводя итог, получим соотношение Г= / Тн, цч1 сБ+ ~ доТнс ... с(е'. (4 10) Преобразуя первый интеграл в выражении (4.10) по теореме Гаусса и принимая во внимание формулу (4.8), 'получаем равенство Г = ~ [доТнс„, + д)(о1Тнс...)]гйс = =~~т„,...+Ты„.буо,г И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
