Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Уравнения Максвелла 357 Векторы Р и М, называемые еенторазги поляризации и нажаеничиеания, могут отличаться от нуля только внутри среды. Множитель с введен в формулу (35. 5) для удобства. Используя (ЗБ.Б), можно переписать уравнения Максвелла в виде гог Н вЂ” — — = — уу Йч Р = 4ггрг 1дР 4я . сдг с ' — е (35.5) гоФЕ+ — — = О 1дВ с д1 ЙчР=О, (35.7) Р=Е+4кР, В=Н+4аМ.
(35.8) Чтобы использовать уравнения (35.5) — (35.8), нужно знать Н и Р (или Р и М) как функции других переменных. Во многих случаях можно считать, что Р = еЕ, В = рН, где е и р — константы. Более подробно о поляризации и намагничивании можно прочесть в книге Л.ДЛандау, К.М.Лифшица сЭлектродинамика сплошных сред".
Далее мы будем пренебрегать эффектами поляризации и намагничивания, т. е. считать, что Р=Е, В= Н,,у'=О, р',=О. Задачи 35.2 Можно ли при наличии тонкой непроводящей неподвижной пластинки (толщину пластинки затем можно устремить к нулю) создать стационарное электрическое поле, которое по разные стороны от пластинки имело бы разные ка~ательные к пластинке составляющие? Сравнить с результатами задачи 34.1. 35.1 Получить из интегральной формы уравнений Максвелла а) дифференциальные уравнения (35.3) и (35.4); б) соотношения на поверхности разрыва векторов электромагнитного поля, предполагая, что Е и В конечны и непрерывны по обе стороны поверхности разрыва; для р, и у на поверхности разрыва допускаются особенности типа б-функций, соответствующие поверхностным заряду и току.
358 Раева 9.:)лектродинамика сплошных сред 35.3 Записать уравнения движения и энергии для заряженной частицы в электромагнитном поле Е, В, воспользовавшись для написания четырехмерной силы антисимметричной матрицей Гь1, определенной формулами р 1з = В„газ = В„рз1 = В,, К' = Е с ' Показать, используя форму записи полученного уравнения, что матрица Е"1 представляет собой компоненты тензора (тензора электромагнитного поля).
Различное расположение индексов у В и Е существенно только в нелоренцевых системах координат и связано с тем, что В, в отличие от Е, — — аксизльный вектор. 35.4 Используя то, что Г 1 — тензор, см. задачу 35.3, поь казать, что преобразование электромагнитного поля, т. е. компонент Р~1, при частном преобразовании Лоренца, см. задачу 33.1, имеет вид / (Е+ ах В/с)з / / ( — их Е/с)с Е~~ — — Еер Ед —— , В'=ВО, В',= 1 — и /с 1 — о /с где индексы О и 1.
обозначают проекции соответствующих векторов на относительную скорость и и на перпендикулярную к ней плоскость. 35.5 Показать, что если Е 1 В и (Е) ~ )В~, то можно выбрать систему координат, движущуюся относительно исходной так, что в ней либо Е' = О, либо В' = О. Использовать это обстоятельство для анализа движения заряженной частицы в однородном электромагнитном поле. Найти угловую скорость вращения заряженной частицы в однородном магнитном поле при Е = О (лармороаская частота).
35л3 а) Записать дифференциальные уравнения Максвелла через тензор Рь1, см. задачу 35.3, и проверить тензорную природу левых частей этих уравнений. б) Рассмотрев случай движения нескольких заряженных жидкостей, проверить независимо от п. а), что величины, стоящие в правой части первой группы уравнений Максвелла, представляют собой компоненты 4-вектора (плотности „4-тока").
35. Уравнения Максвелла 359 в) Найти формулы преобразования 4-тока при частных преобразованиях Лоренца, написать нерелятивистские аналоги этих формул. Рассмотреть случай, когда р, = О, 1 ф О в неподвижной системе и объяснить, почему при этом р', ф О в движущейся системе. Откуда появится заряд? 35.7 Получить уравнение сохранения электрического заряда как следствие уравнений Максвелла.
35.8 Показать, что если уравнения йчЕ= 4яр, и йчВ = О выполнены при 1 = 8о, то при всех других 1 они являются след- ствием остальных уравнений Максвелла. 35.9 Исходя из выражений для силы и мощности, действующих со стороны электромагнитного поля на заряженную частицу, найти силу и мощность, передаваемые электромагнитным полем сплошной среде, находящейся в единичном объеме и содержащей заряженные частицы. 35.10 Проверить, что в силу уравнений Максвелла 4-дивергенция тензора В'", имеющего компоненты, определяемые через компоненты тензора электромагнитного поля по формуле и принимаемого в электродинамике в качестве тензора энергии— импульса электромагнитного поля (тензора энергии-импульса Максвелла), см.
задачу 34 7, равна плотности электромагнитной силы р,Е+ у х В/с (первые три компоненты) и деленному на сз притоку электромагнитной энергии у Е (четвертая компонента), взятым с обратным знаком. Выделить и выразить через Е и В тензор электромагнитных напряжений 5 д, плотность электромагнитного количества движения Я"4, плотность потока электромагнитной энергии (вектор Умова — Пойнтинга) сз54" и плотность электромагнитной энергии сз~4л 360 Глава 9. ')лектродинамика сплошных сред 35.11 Пусть в некотором объеме задана плотность электрического тока 1(1, х"), а на его границах — касательная составляющая электрического поля Е, = Е,(х, ~).
В начальный момент заданы электрическое и магнитное поля Е~ = Е,(*.), В~ = В.<*.), причем ди Ео —— 4кр,о, 41ч Во —— О, р,о — начальная плотность электрического заряда. Для уравнений Максвелла доказать единственность: а) решения сформулированной начально — краевой задачи; б) решения задачи Коши. 35.12 Решить задачу 35.11 с тем отличием, что на границе объема задана касательная составляющая не электрического, а магнитного поля.
35.13 Показать, что при лоренцевых преобразованиях координат и времени, см. задачу 33.2, только преобразование электромагнитного поля, задаваемое равенствами, приведенными в задаче 35.4, следующими из тензорного преобразования с ~э, обладает следующими свойствами: 1) решение уравнений Максвелла оно переводит в решение тех же уравнений, содержащих в правой части тот же вектор 4-тока, с преобразованными по векторному правилу компонентами; 2) нулевое поле переводит в нулевое; 3) не зависит от предыстории процесса. 36. Магнитная гидродинамика Магнигпния гидродинссника (МГД) представляет собой модель, которая служит для описания явлений в хорошо проводящих электричество жидкостях и газах, например в жидких металлах или плазме.
Высокая, электрическая проводимость обеспечивается наличием большого числа частиц с зарядами разных 36. Магнитная гндродннамнка 361 знаков. В типичных для применения модели МГД условиях маг- нитное поле ок зывается значительно баяьгис электрического. Связь электрического тока с другими характеристиками поля и движения среды — закон Ома — в простейшем варианте нахо- дится в задаче 36.2. В задаче 36.5 формулируются условия, при которых справедлива в нерелятивистском приближении модель МГД, и выводится система уравнений МГД.
В случае гладкости функций, характеризующих движение, система уравнений МГД имеет вид Нр . Ии 1 1 — + рг11чи = О, — = — — ягадр+ — гоьВ х В, дг дг р 4к д — — гоь1в х В) = — гоь1и ге В) — уравнение индукции, дг дв и,„дГ дГГ сз рТ вЂ” ' = — 1гоьВ)з, р = р~ —, Т = —, и аг 4к ' др ' дв ' 4кгг' где плотность внутренней энергии 11 -- известная функция, сГ = Цр,в); в -- энтропия; а — коэффициент проводимости; с — скорость света; и — коэффициент магнитной вязкости.
В случае несжимаемой жидкости следует добавить уравнение г11и в = О, давление не связано с Гг, ГГ = У(в), и уравение 3 д~1 р=р др должно быть исключено из системы, Задачи 36.1 Считая, что внутренняя энергия среды не зависит от электРомагнитного полЯ 1более точно, что энеРгиЯ системы ьжидкость — электромагнитное поле" равна сумме соответствующих энергий жидкости и поля) показать, что плотность производства энтропии и некомпенсированное тепло (гл.
3), называемое в рассматриваемом случае дэкоулевым теплом, отнесенное к единице времени и единице объема электропроводной невязкой У нетеплопроводной жидкости, равны соответственно у . ю™/Т и у' Е', где уч и Е' — ток и электрическое поле в системе координат, движущейся вместе с элементом среды. 362 Глава 9. Электродинамика сплошных сред 36.2 а) В условиях задачи 36.1, используя идеи термодинамики необратимых процессов, гл. 3, записать линейную связь между компонентами векторов 1' и Е' (закон, Ома): 1 I ь = осяЕы Коэффициенты орл являются компонентами тензора, называемого тензоро.и коэффициентов злсктропроводности. Показать, что если анизотропия связи 1в и Е' определяется только влиянием псевдовектора В',то ося = о(бы+ оЬ;Ьь+ де;ыЬ|), где Ь; = В';/)В); е; 1 — антисимметричный по всем индексам единичный псевдотензор.
В изотропном случае о = д = О, электропроводность определяется одним коэффициентом о и закон Ома имеет вид 1' = оЕ'. б) С помощью элементарных кинетических представлений оце- нить коэффициенты в выражении для оы, полученном в п. а). 36.3 С помощью уравнений равновесия для газа электронов и газа ионов найти распределение зарядов и электрического поля в плазме около плоской стенки, электрический потенциал которой задан. Потенциал на бесконечности считать равным нулю, а температуру — постоянной. Определить характерное расстояние 1,р от плоскости, на котором электрическое поле в плазме практически затухает (дсбасвская длина). 36э4 В однородной изотропной неподвижной среде, для которой справедлив закон Ома х' = оЕ, о = сопй, при ~ = О задано распределение электрического заряда р,~~-о = р,о(х, у, х). Внешнее поле отсутствует. Найти изменение р, со временем.
Объяснить кажущееся несохранение заряда. 36.5 Пусть в среде справедлив закон Ома х' = оЕ', или у = р,Е+ о(Е+ и х В(с). а) Считая, что значение о велико, найти, при каких условиях, наложенных на о, справедливы следующие утверждения, составляющие основу магнитной гидродинамики: 363 36. Магнитная гидродинамика 1) в уравнении Максвелла, в котором подставлено выражение для плотности тока из закона Ома, можно пренебречь током смещения дЕ/д1 и конвективным током р,и по сравнению с членом ггЕ и по сравнению с полным электрическим током,у; 2) при преобразовании к движущейся системе координат можно считать В = В; 3) электрической силой р,Е = Едги Е/4к можно пренебречь по сравнению с магнитной у х В/с, а приток джоулева тепла 1в Е считать равным уз/о = сз(гоаВ)~/16кгг. б) При выполнении полученных ограничений на величину электропроводности о, исключая вектор Е из системы уравнений, описывающих электромагнитное поле и среду, получить систему уравнений для поля и хорошо проводящего идеального газа (уравнения МГД).
36с6 а) В уравнении магнитной индукции, описывающем поведение магнитного поля в хорошо проводящей среде д — — гоС(и х В) + гоФ(р гог В) = О, дг где и = с /4кгг — магнитная вязкость, оценить величину отно— э щения второго и третьего членов (магнитное число Рейнольдса) или, что то же самое, величину отношения членов в выражении для электрического поля Е = (и гоФ — в х В)/с, см. решение задачи 36.6. б) Записать уравнение индукции в форме, аналогичной интегральной форме соответствующих уравнений Максвелла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
