Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 58
Текст из файла (страница 58)
36.7 Показать, что если Е = — и х В/е, т. е. электрическое поле в собственной системе координат для элемента среды равно нулю (идеально проводящая среда), то поток магнитного поля через любую жидкую поверхность сохраняется (свойство вмороженности маенитноео поля). 36.8 Пользуясь вмороженностью, см.
задачу 36.7, найти магнитное поле, если в начальный момент времени оно задано и известно перемещение точек среды. 364 Глава 9. Электродинамики сплошных сред 36.9 а) Привести плотность силы Лоренца к виду (у х В)' (госв х В)' дт ' с 4гг дх~ ' где Т ' = В В'/4х — б 'Вз/8х — тензор магнитных напряжений, ср. с задачей 35.10. б) Выписать суммарный тензор напряжений Т. ' для идеального газа и магнитного поля. Пользуясь результатами задачи 36.6, найти зависимость тензора напряжений от тензора градиентов перемещений среды в случае идеальной проводимости. Записать уравнения движения идеально проводящего газа с использованием тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа.
в) Показать, что при Е = — в х В/с поток электромагнитной энергии через площадку, представляемый нормальной компонентой вектора Умова — Пойнтинга, равен сумме работы магнитных напряжений на этой площадке и потока энергии магнитного поля, вмороженного в среду. 36.10 Написать соотношения на поверхностях сильного разрыва в МГД в идеально проводящем газе, допускается разрыв магнитного поля, связанный с наличием поверхностного тока на поверхности разрыва: 1) соотношение, вытекающее из интегральной формы уравнения индукции, см.
задачу 36.6, а также соотношения, выражающие непрерывность потоков: 2) массы; 3) импульса; 4) энергии. Под потоком импульса понимается разность потока количества движения и вектора напряжения на поверхности разрыва. 36.11 Лннеариэовать около однородного состояния покоя одномерные уравнения магнитной гидродинамики в идеально проводящей среде, см. задачу 36.5, и исследовать линейные волны. 36.12 Пусть на границе полупространства х > О, заполненного неподвижной средой с известной проводимостью о = сопвС, при — сю < С < оо задано магнитное поле В = Во сйп гоС в,.
Найти ВСх, С) при х > О. Считать )В! -+ О при х -+ оо. Оценить глубину б проникания магнитного поля в проводящую среду (толщину „скин-слоя"). 36. Магнитная гидродинамнка 365 36.13 Пусть в слое О < х < 1 неподвижной среды с проводимостью о = сопя1 задано начальное магнитное поле В = Ве(х)в„ а на границе слоя В = О. Оценить характерное время Т затухания магнитного поля при болыпих 1, рассмотрев собственные функции задачи (убедиться в их полноте).
36.14 а) Исследовать стационарное течение вязкой несжима- емой электропроводной жидкости в непроводящей цилиндриче- ской трубе произвольного поперечного сечения в однородном внешнем магнитном поле В = Вее,, полагая, что и = и(у,я), ия — — и, = О, д= д(у,г), где ~р — электрический потенциал. Считать, что На =: ВоЬ/~/4тгри,„>> 1. Здесь На — число Гартмана, Ь вЂ” диаметр трубы, р — динами- ческий коэффициент вязкости жидкости, и,„= сз/4яо.
— коэф- фициент магнитной вязкости. б) При произвольном числе Гартмана На исследовать плоско- параллельное течение и = и(г), ия — — и, = О вязкой несжимаемой жидкости с постоянной электропроводностью между неподвижными стенками г = ~Н в магнитном поле В = В(л) при наличии градиента давления вдоль оси х и при Н условии, что суммарный ток по оси у равен нулю, ) )яду = О, — Н а внешнее поле однородно, В = Вое, (задача Гартмана). 36.13 Рассмотреть стационарные течения несжимаемой идеально проводящей жидкости при условии В = ки.
а) Найти влияние магнитного поля на распределение давления при течениях идеальной жидкости. Рассмотреть отдельно случай й~ = 4хр. С помощью преобразования Галилея найти движения (волны Альфвена), для которых п = й ~В+сопв1, причем на бесконечности выполнено В = Во = сопе1, и = О. б) Найти стационарное обтекание тела вязкой жидкостью при В ф О, если для В = О считается известным его обтекание при произвольном числе Рейнольдса. Рассмотреть случаи к~ < 4яр и кз > 4я.р.
!3 зак. 2368 36О Глава 9. Электродинамика сплошных сред 37, Электрогидродинамика Модель злектрогидродинамики (ЭГД) применяется для описания течений жидкостей, когда важен учет влияния макроскопического электрического заряда. Если нет сильного внешнего магнитного поля, то электрическое поле оказывается много больше магнитного, см. задачу 37.1. Если среда содержит только заряды одного знака, то электрический ток оказывается пропорциональным плотности электрического заряда, см. задачу 37.2, где обсуждается простейший закон Ома для ЗГД. Для того, чтобы заряды достаточное время оставались в жидкости и были бы существенными для процесса, необходима достаточно низкая электропроводность среды, см. задачу 37.4, где в простейшем случае оценивается влияние электропроводности среды.
В задаче 37.3 выводится система дифференциальных уравнений ЭГД, имеющая в рассматриваемом простейшем случае вид др , ди дре — + р д'1ч и = О, р — = — игад р+ Р,Е, ' + д1ч г' = О, аг аг * ' аг 2 дгч Е = 4кр„гоь Е = О, 1 = р,(и+ ЬЕ), РТ вЂ” = Р,ЬЕ . Более сложные модели, не рассматриваемые здесь, связаны с введением в закон Ома дополнительных членов, описывающих, например, диффузию заряженных частиц.
37.1 а) Используя преобразование Лоренца, найти магнитное поле равномерно движущегося заряда, пренебрегая величиной иг/сг по сравнению с единицей. б) Показать, что в нерелятивистском случае магнитное поле, создаваемое системой движущихся зарядов одного знака, по порядку не превосходит величины Еи/с, при условии, что Е/Т «с, где Е и и — — характерное электрическое поле и характерная скорость движения зарядов; Т и Ь вЂ” характерные время и пространственный масштаб.
в) Проверить, что в рассматриваемом случае с ошибкой, не превышающей по порядку величины и~/с', электрическое поле не изменяется при преобразованиях Лоренца: Е' = Е. 37. Электрогидродннамика 367 37.2 С помощью элементарных кинетических представлений оценить порядок величины коэффициента подвижности 6 в законе Ома 7 = р,н + р,6Е, справедливом при наличии в среде носителей заряда одного знака. Указать условия, когда вторым членом можно пренебречь по сравнению с первым (е,аороэкенность электрическоео заряда). 37.3 а) Выяснить, при каких условиях плотность электромагнитной силы может выражаться в виде (Е Рч б1Е2~ 71 Е~ ~~я ( 4к 8к ) б) Записать уравнения, описывающие поведение среды (уравнения электрогидродинамики) в предположении, что условия п.
а) удовлетворяются, выполнен закон Ома в виде у = р,(и+ 6Е), внутренняя энергия среды зависит от р и э, вязкость и теплопроводность отсутствуют. 37.4 В неподвижной среде, в которой и' = р,оЕ+ эЕ, при ~ = О имеются заряды одного знака с достаточно большой плотностью заряда ар,(х') » а. Оценить время и область выполнения неравенства у » аЕ. Считать, что все величины зависят от декартовой координаты х и времени 1, а при х = хоо электрическое поле не зависит от времени и электрический ток равен нулю. 37.5 Считая, что все величины зависят только от одной декартовой координаты х, у = р,и + р,6Е < О, р, < О и скорость жидкости и = иеее, и = сопеФ, исследовать функцию, представляющую электрический потенциал у(х) при следующих граничных условиях: у = О, Е, = Ео < О при х = О; у = рп при х = 1, Ео — электрическое попе, обеспечивающее выход электронов из электрода.
Рассматриваемое течение может использоваться с целью превращения электрической энереии е механическую и обратно в насосе или в генераторе электрической энергии. Найти кпд соответствующих устройств. Глава 10. Анализ размерностей и моделирование 38. Основы теории размерности Использование метода размерностей позволяет во многих случаях усовершенствовать постановку задачи, установить важные особенности и вид искомых решений, а также обеспечить грамотную постановку физических опытов, связанных с определением экспериментальных зависимостей и моделированием. Целью исследования обычно является отыскание связей между численными значениями искомой характеристики а (определяемого параметра) и численными значениями независимых друг от друга характеристик, называемых определяющими паранетраии аы аз, ..., а„, т.
е. зависимостей вида а = 1(аы аз,..., а„). (38.1) Численные значения определяемых и определяющих параметров зависят от выбора основных единиц, т. е. единиц измерения характеристик, численное значение которых находится путем непосредственного сравнения с объектами той же природы. Такие характеристики называются первичными величинами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
