Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 56
Текст из файла (страница 56)
ЗЗс4 Проверить, что частные преобразования Лоренца образуют группу. Выразить через относительную скорость систем координат параметр группы, складынающийся при последовательном проведении преобразований Лоренца. Найти относительную скорость, соответствующую преобразованию Лоренца, являющемуся результатом двух преобразований Лоренца с относительными скоростями о1 и оз (ре ятивистское правило сложения скоростей).
33.5 Показать, что для двух 4-векторов и' и о', переходящих при общих преобразованиях Лоренца соответственно в векторы и" и о", имеет место равенство а о д;ио =д;и о где д11 — д22 — дзз = — 1, д44 = с, д~е = О при р ф д. 2 Проверить, что чисто пространственный вектор а, т.
е. вектор с компонентами а ф О, а = О, в лоренцевой системе координат и чисто временной вектор 6, у которого 6 = О, о4 ~ О, ортогональны, т. е. справедливо равенство д,ио =О. 11 33. !!р<к транство Минковского, 351 33.6 Показать, что общее преобразование Лоренца всегда можно представить как произведение частного преобразования Лоренца, поворотов трехмерного пространства и, возможно, отражения. 33.7 Проверить, что если определить тензор, компоненты которого в некоторой лоренцевой системе координат х =х,х =у,х =л,х 1 2 3 4 совпадают с д;,, причем 2 ды=д22=дзз= — 1, д44=с, дря — О природ то во всех других лоренцевых системах координат, получаемых из исходной преобразованиями Лоренца, этот тензор (метрический тензор) имеет одни и те же указанные выше компоненты.
По определению, этот тензор называется метрическим тснзором пространство Минковского. 33,8 В лоренцевых координатах в пространстве Минковского а) найти и изобразить преобразование базисных векторов на плоскости (х, 1) при частном преобразовании Лоренца; б) показать, что для любого вектора 1Ьх, <л11 на плоскости (х, 1) при Ьх/<М ~ хс найдется такая система координат !х<, 1'), что либо Ьх< = О, Ь!' = Ьт ф О (времениподобный отрезок; Ьт называется интервалом собственного времени), либо Ь1< = О, Ьх' = Ы ф О (пространственноподобный отрезок; Ы называет- ся собственной длиной); в) доказать инвариантность величины 4-объема, определенной как объемный интеграл дх Иудхд1, р!<) при преобразованиях Лоренца, сохраняющих ориентацию (без отражений). Предполагается, что интегрирование ведется по области, состоящей из одних и тех же точек (их координаты при преобразовании меняются); г) показать, что проекции произвольного элемента гиперповерх- ности на координатные гиперплоскости представляют ковари- антные компоненты вектора.
352 Глава 8. Специальная теория огносительности 33.9 Длина стержня в собственной системе координат, системе координат, связанной со стержнем, равна 1. Найти расстояние Е между начачом и концом этого стержня в системе координат „наблюдателя" в произвольный момент времени, если он движется с постоянной скоростью и параллельно своей оси.
Найти отношение этого расстояния к длине стержня 1 (коэффициент лоренцевп сокращения). 33.10 Пусть в системе координат, движущейся со скоростью и относительно наблюдателя, между двумя событиями, произошедшими в одной точке, прошло время т, называемое интервалом собственного времени. Найти время между событиями в системе координат наблюдателя. События с точки зрения наблюдателя происходят в разных точках. 33.11 Сколько времени прошло на ракете, которая с точки зрения неподвижного наблюдателя летела в течение времени Т(2 с постоянной скоростью щ а затем в течение такого же времени возвращалась обратно со скоростью ( — и). С чем связано неравноправие неподвижного наблюдателя и наблюдателя, находящегося на ракете? Найти изменение собственного времени на ракете, если ее скорость и = п(~) переменна.
Показать, что прямые на плоскости (х; ~) с точки зрения метрики Минковского являются геодезическими, на которых интервалы собственного времени максимальны. При решении использовать частное преобразование Лоренца, см. задачу 33.1. 34. Некоторые понятия релятивистской кинематики и динамики Поскольку в теории относительности вместо двух независимых метрик для пространства и времени вводится единая метрика, необходимо ввести четырехмерные векторы и тензоры и сформулировать динамические и кинематические соотношения механики в инвприпнтной четырехмерной Форме.
34. Понятия релятивистской кинематики я динамики 353 Задачи 34.1 а) Частица с массой покоя т движется с трехмерной скоростью и относительно системы координат (х ). В лоренцевой системе координат вычислить компоненты четырехмерной скорости и' и четырехмерного импульса р' частицы, определяемые равенствами Нх', Ы и' = — и р' = т — = т си', па Йт где йг = Па/с — дифференциал собственного времени, см. задачу 33.10. б) Проверить, что четырехмерная скорость — единичный век- тор в метрике Минковского, см.
задачу 33.7. 34.2 Показать, что при малых о/с первые три компоненты 4-импульса близки к компонентам трехмерного импульса, а четвертая компонента — к деленной на сз „полной" энергии частицы, равной сумме кинетической энергии и „энергии покоя" тсз. Найти следующие члены разложения этих величин по оа/сз. 34.3 Пусть частица массы (покоя) то, движущаяся со скоростью оо, получает заданное приращение 4-импульса. Найти ее новые массу (покоя) и скорость. Всегда ли решение задачи имеет физический смысл? 34.4 В неразрушимом ящике, не пропускающем никаких видов энергии, находится атомная бомба. Можно ли по инертности ящика определить, Взорвалась она или нет? 34.5 Записать уравнения движения частиц, считая известной производную четырехмерного импульса по собственному времени — четырехмерную силу.
Истолковать компоненты четырехмерной силы в нерелятивистском случае как трехмерную силу и деленный на сз приток энергии. Найти производную массы покоя по собственному времени и связать ее с притоком энергии в собственной системе координат. 354 Глава 8. Специальная теория относительности 34.6 Исследовать на плоскости (х; ~) движение частицы, ускорение которой в собственной системе координат постоянно.
34.7 Пусть матрица Т'~, г', й = 1,...,4, составлена для среды так, что Т л, о, д = 1, 2, 3, — трехмерный тензор потоков импульса, равный разности тензора потоков количества движения и тензора напряжений, Т 4 — плотность импульса, Тяд и Т44— деленные на с плотность потока энергии и плотность энергии. Показать, что Т™ представляет собой тензор в пространстве Минковского (тенэор энергии — импульса).
34л8 Написать тензор энергии — импульса движущегося идеального нетеплопроводного газа, воспользовавшись выражением тензора энергии — импульса в собственной системе координат. Плотность полной энергии газа в ней равна р(У+ сз), где У— внутренняя энергия, р — плотность массы покоя — плотность числа частиц, умноженная на массу покоя частицы. 34.9 При отсутствии внешних воздействий записать уравнения импульсов и энергии как равенство нулю дивергенции тензора энергии — импульса. Дополнить зти уравнения до замкнутой системы уравнением сохранения массы покоя, если изменениями массы покоя, которые могут происходить при ядерных или химических реакциях, можно пренебречь. Как частный случай рассмотреть пыль, для которой У = О, р = О.
Глава 9. Электродинамика сплошных сред 356 1=1 +У р =р,+р,. Здесь г' и р, '— связанные ток и заряд (скрепленные с частицей), а 11 и р1 — свободные ток и заряд. Обычно считается, что связанные токи и заряды не переходят в свободные, поэтому д с -сл + йч з' = О дс и полный связанный заряд рассматриваемого объема среды равняется нулю. Существование ненулевой плотности заряда р,' может вызываться смещением зарядов внутри частиц. Это позволяет написать уравнения р, = Жч Р, 1'' = — + сгогМ. дР дг (35.5) В случае, когда определены плотность электрического тока у и плотность заряда р,, имеют место равенства 1г = 1'„дЕ, еч = р,дК Е В этих уравнениях под 1г., еч, Е, В обычно понимают осредненные некоторым способом величины. Однако, если в зависимости величин 13 и еч от времени и поверхностей Е и 5 учесть дискретную природу зарядов, то они будут описывать истинное электромагнитное поле с учетом микроскопических флуктуаций.
Интегральная форма уравнений Максвелла позволяет получить соотношения на поверхностях разрыва, см. задачу 35.1, а также ди44ерснциальные уравнения Максвелла, в случае дифференцируемости векторов Е и В 1дЕ 4к гог  — — = — з, йч Е = 4кр„ (35.3) сдг с 1 дВ гог Е+ — — = О, йч В = О. (35.4) с дг Отметим, что следствием уравнений (35. 3), и точно также уравнений (35. 1), является уравнение, выражающее сохранение электрического заряда, см. задачу 35.7. Подчеркнем, что 1г. и еч — суммарные ток и заряд, учитывающие и наличие свободных носителей заряда (электронов и ионов), и распределение зарядов и токов внутри атомов и молекул, так что 35.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
