Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 51
Текст из файла (страница 51)
28.29. нижняя границы свободны от напряжений. Рассмотреть: а) длинные волны, длина которых много больше 6, Л » 6; б) короткие волны, для которых Л « 6. Найти их скорости. 29 11елинейнан теория упругости 321 29. Нелинейная теория упругости Задачи 29.1 Нелинейная упругая среда задана свободной энергией У(Ц,Т) как функцией своих аргументов. Написать формулы для компонент тензора напряжений Пиалы-Кирхгофа.
29.2 Показать, что свободная энергия несжимаемой изотропной упругой нелинейной среды зависит лишь от двух скалярных инвариантов тензора деформации. 29.3 При не слишком больших деформациях нелинейные эффекты можно учитывать, сохраняя лишь первые (главные) нелинейные члены в разложении напряжений в ряд по деформациям. Написать общий вид функции свободной энергии У для такой среды, если она изотропна, а температура постоянна. Эту модель будем называть средой Мурнаеана. Сколько упругих констант определяет такую среду? Функцию роУ (Ц) при Т = сопя$ часто называют упругим потенциалом. 29.4 Среда задана упругим потенциалом Мурнагана раУ'(е, ), см. задачу 29,3. Написать выражения для компонент тензора напряжений Пиалы — Кирхгофа через компоненты тензора дисторсии в случае, если вектор перемещения зависит от одной пространственной координаты, яц = нц(х,1).
Ограничиться первыми нелинейными членами. 29.5 Нелинейная упругая среда, находящаяся в равновесии между двумя бесконечными плоскостями, сжимается равномерно распределенным по плоскостям давлением р. Найти напряжения я, и деформации в среде. Использовать модель пятиконстантной среды Мурнагана, см. задачи 29.3 и 29.4, Рис. 29.1.
ограничиться первыми нелинейными членами. Выяснить зависимость выпуклости графика ны Янц) от упругих констант. 322 рляна 6. Теория упругости 29.6 Написать уравнения, описывающие распространение одномерных нелинейных волн в среде Мурнагана, см. задачи 29.3, 29.4.
Показать, что в такой среде при отсутствии начальных деформаций могут распространяться лишь чисто продольные волны, а поперечные влны обязательно сопровождаются малым изменением продольной компоненты деформации ил —— длил/дя (квазипоперечные волны). 29.7 Показать, что в несжимаемой среде Мурнагана могут распространяться только чисто поперечные одномерные нелинейные волны. 29.8 Показать, что при распространении плоских одномерных нелинейных волн в изотропной несжимаемой упругой среде Мурнагана одна из поперечных волн обладает круговой поляризацией. другая плоскополяризована.
29.9 Волной Рижанц или простой волной, называют такое частное решение одномерных нестационарных уравнений, в котором зависимость всех искомых функций от я и 1 может быть представлена в виде зависимости лишь от одной комбинации х и ~ вида д = лу(я. л). Для уравнений нелинейных продольных волн в среде Мурнагана, см. задачу 29.6, найти решение типа простой волны (волны Римана). Определить характеристическую скорость и условие опрокидывания волны. Сопоставить условие опрокидывания с выпуклостью графика хы(л7лыл), полученного в задаче на одномерное растяжение-сжатие рассматриваемой среды, см.
задачу 29.5, 30. Моментная теория упругости и осреднение В задачах настоящего параграфа рассматриваются модели сред с моментными напряжениями, описание которых приводит к уравнениям с высшими производными. В частности, к моментной теории упругости мы относим модели сред, обладающих моментными напряжениями, связанными с внутренним вращением, см. Ц 12 и 17, дополнительно предполагая, что угловая 323 30. Моментная теория упругости и осредненне скорость внутреннего вращения Й совпадает с вектором вихря и = (1/2) гоФ в, где в — скорость частиц среды. Предполагается также, что удельная внутренняя энергия й (без кинетической энергии внутреннего вращения Е,р,,н —— и — й) зависит от энтропии л, компонент тензора деформаций и и от производных внутренней ориентации частиц среды, входящих через компоненты тензора з и= ~ в~„~~в~ П а=1 где в~ ~ — три ортонормированных вектора таких, что Ии" =с!,тй п(а), аг сбь — компоненты тензора Леви-Чивита.
Процессы считаются обратимыми, все производные вектора перемещений э — малыми, так что выполнены равенства Связь Й = м позволяет выразить определяющий тензор зс через вторые пространственные производные вектора перемещений в: ко = -~7~(~7'пу — 'у~ю'), 1 2 см. задачу 30.1, и, исключая Й и зс, свести теорию к уравнениям с четвертыми производными от в. Однако при этом возникает трудность, на которую следует обратить внимание,— трудность в однозначном определении уравнений состояния для тензора напряжений р и тензора моментных напряжений Ц как функций от аргументов внутренней энергии й. Предполагая, что некомпенсированное тепло отсутствует, и, в частности, выполнено Ид'/й = О, примем, что уравнение притока тепла в среде с внутренним вращением имеет вид пй дл;„Ид** Ии р — = рТ вЂ” + рг11~ и, + р ~ — — — Й й й '' ~Ж М' = рТ вЂ” + р'~~ и, + Ч (Ябй,) + р ~6' — — ) Й,.
324 Глава б. Теория упругости Тогда в силу уравнения для внутреннего момента количества движения Й р — = рЛ'+ КЯо — еб р,ь, где Л вЂ” удельные массовые пары, запишем Нй <Ь р — = рТ вЂ” + р(,) е; + Я "7 й, + р( ) с,„ь (11 — ы ), где р(,) и р(,) — соответственно симметричная и антисимметричная части тензора р; е;„= Яп + ~7)п;)/2. При Й = и получим Нй ~Ь р —.
= рТ вЂ” + р(,)е; + Я ~т7ы,. Й и'г Это уравнение, наряду с уравнением для Л и уравнениями движения Ып' р —, = ~,р*у+ р~', (30.1) очевидно, инвариантно относительно преобразований вида Я"~ = Яб+ 2дбЖ р =р +с ЦсУ, при произвольной функнии Х(я~,1), поэтому используя тождество Гиббса нельзя однозначно определить компоненты р" и ф~. Эта же трудность возникает и для моделей более общего вида с внутренней энергией й(в,с;,, ч7~7ью;) и р — = рТ вЂ” + ро ~.п; + ~1(тг о ~7ьп;) + Мо ~7 п;, где й и Мг) — заданы, а рб и Н~б подлежат определению. Вид последнего уравнения и уравнений (30.1) сохраняется при преобразованиях, см. задачу 30.2, +с ~РМ и =В +е Ж откуда следуют и преобразования ф~ = с',ь,тсао, где Ю'.~ = Ю о,'. Однозначно определить уравнения состояния при заданной внутренней энергии й можно, например, следующим способом. 30.
Моментная теория упругости и осреднение 325 Рассмотрим модель сплошной среды моментного типа, которая описывается уравнением притока тепла вида И~ р — ~й(л, е;, т7 Аы) + Лб(~7;и. — А; )1 = й = рТ вЂ” + р'Фо, + Ч ( 'й"" — ') + Мб — н (30.2) с той же функцией й от указанных аргументов. Независимыми характеристиками здесь считаются я, яв, А, А. Данный вид уравнения притока тепла (30.2) содержит теперь производные более низкого порядка, чем при предыдущем описании, поэтому в этом соотношении все производные сЬ ЫА" г(Аы сад й' '" й ' й' й можно считать независимыми, входящими в него линейно и од- нородно. Этот метод, после исключения величин А(; = С7;юз и Аб = — Чек3ь — Мз', дает дй , дй ( дй '~ . ..
дй т= —, р' =р — -У р -М', Кб'=р дя' де, 1 д~ь'7 ш;) ' дК~К;ш ' В частности, в рамках моментной теории упругости получим (30.3) при этом уравнение внутреннего момента выполняется автоматически. В предлагаемых ниже задачах линейной моментной теории упругости внутренний момент количества движения и массовые пары считаются отсутствующими, и = й; процессы изотермическими, Т = сопв1; гвободная энергия У = и — Тя — квадратичной функцией от компонент и и м; среда — однородной и 320 Глава б. '1вория упругости изотропной. Граничные условия в напряжениях требуют зада- ния на границе тела с нормалью и величин р„=р'пе; и 11 Я„= Ябп е;, Задачи 30.1 Пусть Ф = го1н1/2, Показать, что в линейном приближении ~Ф~ есть величина угла поворота против часовой стрелки частицы сплошной среды вокруг единичного вектора Ф/~Ф), а з т и 1 тии ля= 1 п1„~Ч~п~ ~е е е„= е 111Ф,е е е„= ат1 1 2 = — ~1(~7 Ь и — 1 "И )Е ЕЕ„.
где е, — базисные векторы. Отметим, что поскольку в уравнениях движения, наряду со вторыми призводными, присутствуют и высшие производные вектора перемещений, в уравнения линейной моментной теории упругости входят дополнительные константы порядка 1, имеющие размерность длины. Их присутствие может проявляться в масштабных эффектах, наличии пограничных слоев, явлениях дисперсии поперечных волн, отсутствующих в классической теории. Учет моментных напряжений необходим в задачах, где имеется достаточно малый характерный линейный размер Л, сравнимый с 1. Уравнения с высшими производными от перемещений по координатам возникают также при осреднениях разной степени точности или исследованиях длинноволновых асимптотик при приближенном описании сред, обладающих микроструктурой, например композитов, или вообще динамических дьскретных структур.
Некоторым вопросам, связанным с этим подходом к построению уточненных моделей сплошных сред, посвящены задачи 30.8 — 30.14. 327 3О Моментная теория упругости и осреднение 30.2 Показать, что выражения '!ур" и р" ~ и!+ 7 (К"оЧ~о!) инвариантны относительно преобразований !О !~ + !ы~ д!! П/еб Ньб + !Iс!у! где с!эь — компоненты тензора Леви-финита; !У'.! — произвольные функции координат. Найти закон преобразования моментных напряжений Яб = с!ь Ль ' !, доказать инвариантность соотношений ~7ЯО = е'ь р~! при этих преобразованиях. 30.3 Пусть свободная энергия среды У(с!~, м !",др ) в рамках моментной теории упругости есть скалярная функция, однородная и квадратичная относительно компонент тензоров и и я.
Установить общий вид функции У. Следуя изложенному во введении к этому параграфу методу, вывести формулы (30.3) для тензоров напряжений р и моментных напряжений Я. Вывести уравнения движения среды (30.1) в перемещениях. Объяснить, почему в эти уравнения не дает вклад часть членов, входящих в Я. Определить знаки коэффициентов свободной энергии .с, необходимые для ее положительной определенности по и и х. 30.4 В рамках линейной моментной теории упругости, используя результаты задачи 30.3, вывести уравнения для коэффициентов объемного расширения д = ~7,п!! и вектора поворота Ф = го$ и!/2, см. задачу 30.1, считать р = српвФ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
