Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Плотность свободной энергии тогда будет представлена функцией У' = У'(е;;, ~б, Ым, Т). Трпнгверсально газотропнал среда имеет ось симметрии бесконечного порядка. т. е. такую, что при повороте вокруг нее на любой угол среда совмещается сама с собой (по свойствам симметрии она относится к текстурам). Такая модель годится для многих слоистых и волокнистых материалов.
Свойства симметрии характеризук~тся некоторым выделенным направлением ! = (1;), причем важна лишь линия действия этого вектора, а оба противоположных направления вдоль нее равноправны. Для описания этого типа симметрии можно испольэовать симметричный тензор второго ранга И;„= 1,1, где 1, — направляющие косинусы оси симметрии. В декартовой прямоугольной системе координат выполняются равенства Иц=1, Но--О, пРи 17':1. 296 Глава 6.
Теория упругости Нелинейная теория упругости Кроме тен ора напряжений Коши р, его компоненты определяют вектор напряжений р„, отнесенный к площадке Е с нормалью и, в нелинейной теории упругости используют гаензор напряжений Паолы — Кирхгофа и, его компоненты определяют вектор напряжений 1г„„отнесенный к площадке Ео с нормалью по, которой была площадка Е в начальном состоянии. Если Р— поверхностная сила на Е в текущий момент времени, то Р; Е' Ео =р =р;'па, — =ив =я;'пой Тензор я', вообще говоря, несимметричен. Из тождества Гиббса ('3)в (* )т Функцию роУ' = Ф часто называют упругим потенциалом среды. При использовании тензора ~г уравнения движения в лагранженых переменных имеют вид д ш; д3Г~ Ро, = +РоК дР дхУ причем систему координат, связанную с начальным недеформированным состоянием, всегда можно выбрать наиболее удобным образом, например, декартовой прямоугольной или соответствующей симметрии задачи.
В этом подходе вместо компонент тензора деформации с„используют компоненты ~7; ш несимметричного тенэора, называемого тензором дистиорсии. В линейной теории упругости компоненты я,, и р„совпадают. При описании движения (равновесия) упругой среды в переменных Эйлера следует пользоваться внутренней (свободной) энергией, заданной в виде функции компонент деформации в эйлеровой неподвижной системе отсчета Цс,'у, л). Однако, в уравнениях состояния (27.3) дифференцирование ведется по компонентам е; в лагранжевом базисе. Поэтому в случае нелинейного деформирования при вычислении компонент напряжения р; по У(с'; ) следует производить соответствующий пересчет приращений деформаций, см. задачу 6.57.
В линейной постановке лагранжевы и эйлеровы компоненты с; совпадают. 28. Линейная теория упругости 297 28. Линейная теория упругости Задачи Определяющие соотношения 28.1 Призматический стержень из линейно упругого материала находится в равновесии под действием растягивающих усилий, равномерно распределенных по торцевым сечениям, и при свободных боковых гранях (простое растяжение). Найти компоненты тензора деформаций при заданной величине напряжений р на торцах.
Указать связь между упругими константами среды Е (модуль Юнга) и и (коэффициент Пуассона) и коэффициентами Ламе А и р. 28.2 Образец из линейно упругого материала находится между двумя парами параллельных жестких стенок, так что его поперечные размеры не могут меняться. На торцах образца действуют однородные сжимающие напряжения р. Найти напряжения и деформации в материале, считая, что между ним и стенками трение отсутствует. 28.3 Слой упругого материала находится между двумя бесконечными плоскостями, перпендикулярными оси у.
По плоскости у = 0 материал закреплен, на второй границе дей- у ствует равномерно распределенное касательное напряжение х р1з = т. Деформацию, новинка- г ющую при этом, называют простым сдвигом. Найти компо- Рнс. 28.1. ненты тензора деформации и величину у — изменение наклона волокна, первоначально параллельного оси у. Коэффициент С пропорциональности между у и т называется модулем сдвига. Найти его выражение через коэффициенты Ламе А и р.
298 Глава (>. Теория упругости 28.4 Найти относительное изменение объема среды В при деформациях. полученных в задачах 28.1 — 28.3. Обратить внимание. что при деформации простого сдвига, см. задачу 28.3. объем не меняется. 28.5 Напряженное состояние, описываемое шаровым тензоРом напРЯжений Рм — — — Рдб, наэываетсЯ ессстоРонниьч сз<сатиелс Определить компоненты деформации и относительное изменение объема В. Коэффициент пропорциональности между р и 0 называется «одуле,н объеьчного сжатия К. Найти выражение для К через Е и и и через коэффициенты Ламе Л и Гь 28.8 Используя предыдущую задачу, показать, что для несжимаемой упругой среды коэффицпенг Пуассона и равен 1/2.
28.7 Представить свободную энергию У при Т = сопМ в виде суммы энергий изменения объема, см. задачу 28.5, и энергии сдвига, см. задачи 28.3, 28.4. 28.8 Предполагая< что деформации с, и изменение температуры (Т вЂ” Те) малы, написать наиболее общий вид функции свободной энергии для: а) произвопьной линейно упругой среды; б) для изотропной среды. Пользуясь полученными выражениями для У и термодинамическими соотношениями, найти выражение для компонент тензора напряжений р, .
28.9 Выполнить задание задачи 28.8, если состояние среды определено ее внутренней энергией Цсб< в). 28.10 Для выяснения физического смысла коэффициента а при (Т вЂ” Те) в законе Гука для пзотропного термоупругого тела, см. задачу 28.8, р„. = ЛЯ<6;, + 21<в„. — а(Т вЂ” Те)6;„э< = еь решить задачу об опведелении деформапий, вызванных изменением температуры в отсутствие напряжений. Показать, что в этом случае тензор деформаций шаровой. Коэффициент пропорциональности «л между << Т = Т вЂ” Те и относительным изменением объема В назьгвают коз<6<йц«нс«тпоа тепловозо рас<аирения, 2Я..Чпнейнал теория упруго< ти 299 коэффициент пропорционалыьости се между ЬТ и относительным удлинением отрезков называется коэффициентом линейного теплового удлинения.
Найти выражение для коэффициента п через Л, р и а или через о и К вЂ” модуль объемного сжатия, см. задачу 28.5. 28.11 В иэотропной упругой среде по свободной энергии У с использованием результата предыдущей задачи можно вычислить энтропию дУ' роя = — ро —, = о(ЗЛ+ 2р)4+ 6(Т вЂ” Те)+ рево. дТ Для выяснения физического смысла коэффициента 6 рассмотреть термодинамический процесс в упругой среде, протекающий беэ объемной деформации (д = 12 — О). Показать, что 6 выражается через коэффициент теплоемкости при постоянном объеме с,, = (Йд(ЙГ) я=о. 28.12 Для линейной изотропной термоупругой среды написать выражение компонент тензора деформаций г; через компоненты напряжений р; .
28.13 Девиатором тензора напряжений называется тензор с компонентами рл = р„— 212(р)6„, где 12(р) = р . Написать выражения для инвариантов девиатора напряжении 1," и 12 и выяснить их знаки. Для линейно упругой среды Пука написать выражения для компонент девиатора напряжений через компоненты девиатора, деформаций г~. = г,. — д12(г)62 .
28.14 Изотропная упругая среда задана свободной энергией Л 2 6, 2 Рос = 1 + рь12 — аА(Т вЂ” То) — — (Т вЂ” То) . 2 2 Физический смысл термодинамических коэффициентов а и 6 выяснен в задачах 28.10 и 28.11. ЕЕайти при относительном изменении объема, равном д, изменение температуры (Т вЂ” 1е) при отсутствии теплообмена между частями среды. Написать зависимость напряжений от деформаций для процесса -диабатического деформирования. зоо Глава 6. 'реория упруго<тн 28.1б Закон Гука, выражающий связь между напряжениями и деформациями, устаноапен для изотермических процессов деформирования.
В связи с этим коэффициенты Л и <з и соответствующие им модули объемного сжатия 1~ и сдвига С называются изотермическими константами среды. Аналогично вводятся соответствующие коэффициенты пропорционалыюсти между р, и с; при адиабатическом деформировании, см.
задачу 28.14. Найти связь между изотермическими и адиабатическими коэффициентами Л, р, К. 28.16 В упругой среде, заданной свободной энергией У(~;,< Т), напряжения определяются формулой рб = р <',дУ/дс; ). Показать, что при наличии закона Гука существует термодинамическая функция Ф<р;,, Т), такая что ."„= р <',дФ(др;,). Указать ее вид. 28.17 Упругая среда задана свободной энергией У'(еб, Т). Найти условие устойчивости при Т = сопв$ однородно деформированного состояния с, = с,* при действии не меняющихся во времени внешних напряжений рб* = рдУ/дс,*у, заданных на границе.
Рассмотреть как частный случай линейную среду с ?2 + мэ 28.18 Написать выражение функции свободной энергии У (е;, 4,, Т) для линейной ортотропной среды. Сколько упругих констант входят в ее задание при Т = сопн$? 28.19 В линейном трансверсально изотропном материале ось симметрии принята за ось хз декартовой системы координат я;. Написать выражение для функции свободной энергии У.
Показать, что такую среду характеризуют пять упругих констант. Получить зависимость напряжений от деформаций, представляющую закон Гука. Использовать результаты предыдущей задачи; считать Т = сопв$. 28.20 Найти для трансверсально изотропной среды компоненты тензора деформаций при всестороннем сжатии напряжением р. Ось симметрии направлена по оси хз. Воспользоваться соотношениями между р,, и с;, полученными в предыдущей задаче. 301 28. Лин< йная т< ории упругости 28.21 Написать уравнения движения в пер< мощениях для трансверсально изотропной упругой среды. Ось хэ = г направить по оси симметрии материала; считать 1 = сопя1. Использовать выражение для У', полученное в задаче 28.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
