Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Отметим, что вектор Р соотношениями (26. 2) определен однозначно; а величины Р, н и ю в (26.2) Пусть 7'(х~, 1) = Π— уравнение поверхности Е в системе координат (х"). Скорость Р перемещения поверхности Е в системе координат (х ) определяется соотношениями 26. Газовая динамика 263 и (26.3) определены с точностью до выбора знака у функции Дхь,1) в уравнении поверхности Е. При ил ~ О знак и зависит от выбора направления вектора и.
Если для находящегося на Е наблюдателя вектор п направлен в сторону натекающего на Е потока, то согласно (26.3) ил > О, а если и направлен в противоположную сторону, то ил ( О. Пусть значение некоторой скалярной, векторной или тензорной функ- Е ции Ф(хк,1) в точке М поверхности и Е со стороны области 1 равно Фы а со стороны области 2 равно Фз, см.
М рис. 26.1. Разность Фз — Фл принято 1 называть скачком функции Ф(х",1) на поверхности Е и обозначать символом [Ф]. Если (Ф] ф О на Е, то она называ- Ряс. 26.1. ется поверхностью сильного разрыва функции Ф. Поверхность Е называется поверхностью слабого разрыва функции Ф, если на ней (Ф] = О, а скачки ее частных производных какого-нибудь порядка отличны от нуля. На поверхности слабого разрыва параметров потока должны выполняться кинематические условия (26.4) где множители Л, 1л, о в общем случае являются функциями 1 и координат точки на Е. В областях 1 и 2, см.
рис. 26.1, характеристики течения должны удовлетворять соответствующей ~истеме дифференциальных уравнений движения. Из зтого требования следуют дополнительные ограничения на скачки производных на поверхности Е, которые называются динамическими условиями совместности.
Такие условия на поверхностях разрыва в невязких газах при адиабатических течениях предлагается получить в задаче 26.1. Глава б. Механика жидкости и газа Соответствующая этим случаям система уравнений движения может быть записана в виде До Ди — + и"— Д8 Дх'" Др о ДР + а Д~ Дха Дв Дв — +и— ДС Дх'* 1 + — ~7р= О, Р 2Ди +раз — =О, Дх'* (26.Б) =О, д р=1!Š—; =ядр/др),— р * . у« В настоя1цем параграфе рассматриваются только такие поверхности сильного разрыва характеристик течения, на которых отсутствуют внешние по отношению к газу поверхностные силы, источники силовых полей, массы, тепла и других видов энергии.
Условия на таких поверхностях, вытекающие из законов механики и термодинамики, имеют вид Рзидз = Р1ид1 Р1ид1(и2 и1) = (Р2 Р1)22 рзид2 е2+ — ) — рзиа2 = р1и11 (е1+ — ) — р1иа1, (26.6) 1 р1ид1(в2 — в1) > О, где индексами 1 и 2 отмечены значения величин на разных сторонах поверхности Е. Поверхность Е называется танеенииальным разрывом, если на ней Р = и„1 = и„2, и1 ф и2. Поверхности слабого и сильного разрывов, на которых Р = и„1 = и„2, и1 = и2, называют контактными разрывами.
Согласно определению и условиям (26. 6), на тангенциальных и контактных разрывах должны выполняться равенства Р = и„1 = и„з р2 = р1. Поверхность сильного разрыва, на которой скачки р, в и и отличны от нуля и удовлетворяют условиям (26.6), а термодинамические свойства проходящих через нее частиц при этом не изменяются, называется уДарной волной.
Иными словами, для ударной волны е2 и е1 в условиях (26.6) — — значения одной и той же функции при разных аргументах, причем е2 — е1 -+ О при (~21 в2) + (ды в1). 26. Газовая динамика 266 Если проходящие через волну частицы газа переходят со стороны 1 на сторону 2 поверхности Е, то принято называть сторону 1 фронтом волны, характеристики движения ры вм и1— состоянием перед фронтом, а рз, вз, из — состоянием за фронтом волны.
В задачах используются обозначения: состояние перед фронтом ударной волны — ро, во, ио, состояние за ее фронтом — р, в, и. В этих обозначениях условия на ударной волне можно представить в виде и~ и~о — = — = Л 3(и — ио) = (р — ро)в, го (26.7) е — ео — 0.5(р+ро)(Ъо — И) = О, в > во, а в случаях, когда и = оп, — в виде и ив ..3 р — ро — †.11 ) 1'о го — г (26.7') е — ео — 0 5(р+ ро)(ЪЪ вЂ” И) = О, в > во Подчеркнем, что условия (26.7) и (26.7') получены из условий (26.6) в предположении, что ) > О. Иначе говоря, вектор и выбран направленным в сторону состояний перед фронтом волны. Это надо иметь в виду при использовании (26. 7) и (26.7') при решении задач. Функцию Н(У,в, 1'о, во) = е — ео — 0 5(р+ро)(Ъо — $') называют функцией Гюгонио. При фиксированном состоянии (К>, ро) перед фронтом ударной волны уравнение Н(1' в(К р) 1'о:во("о Ро)) = О определяет в плоскости ($', р) кривую, которую называют ударной адиабатой или адиабатой Гюгонио.
Ударная адиабата— совокупность состояний (1~, р) за фронтом ударной волны, возможность реализации которых допускается законами сохранения. Согласно второму закону термодинамики за фронтом ударной волны могут реализовываться не все допускаемые законами сохранения состояния, а только те из них, для которых в > во. В ряде задач предлагается изучить вытекающие из этого ограничения следствия и свойства ударных волн, на которых условие в > во выполняется. 266 Одномерные адиабатические движения газа с плоскими волнами При исследовании одномерных адиабатических течений газа с плоскими волнами наряду с эйлеровыми переменными (х; С) используются лагранжевы переменные (С; С).
В задачах координата С выбрана так, чтобы дх/дС = $', а проекция вектора о на ось х обозначается через и. Системы уравнений движения в этих переменных имеют вид ди ди др др др а2 ди сЭл дл — +и — +1'" — = О, — +и — + — — = О, — +и — = О, (26.8) дС дх дх ' дС дх Ъ'дх ' дС дх сЭи др др сса с ди дл — + — =О, — +1 — ) — =О, — =О. (26.8) дс сЭ~ ' дс 1,$') дс ' дс Для системы квазнлинейных уравнений в частных производных первого порядка одно из принятых определений характеристическоео направленил формулируется следующим образом. Если из уравнений системы можно составить линейную комбинацию, в которую будут входить производные от искомых функций (или функции) только по одному направлению, то такое направление называется характеристическим.
Нетрудно проверить, что система уравнений (26.8) (система (26.8')) эквивалентна системе уравнений (26.9) (системе (26.9')), которую называют характеристической формой системы (26.8) (снстемы (26.8')) ди 1с /др (и+а) — + — ~ — + (и дх а ~,дС ди 1' /др (и — а) — — — ~ — + (и дх а ~,дС +а) — ) =О, сЭр~ дх) — а) — = О, (26.9) дл и — =О; дх ди а ди сс /др а др'1 — + — — + — ~ + ) дс Ъ' сЭс а ~,,дс Ъ' дс) ди ади 1с др адр =О 1 (26.9') — О, дС Ъ' дс а дС $' дс дл — = О.
дС ди — + дс ди — + дС дл — + дС Глава 6. Механика жидкости и газа 26. Газовал динамика 26Т Следовательно, у системы уравнений (26.9) (системы (26.9')) имеется три характеристических направления (26. 10) ((26. 10')) — = и+а, — = и — а. — = и, (26.10) — — — — — — = О, (26.10') В области плоскости (х; 1) (плоскости (С; 1)), где существует решение системы (26.9) (системы (26.9')), каждое из характеристических направлений определяет семейство линий, которые принято называть соответственно С+, С, Со характеристиками системы уравнений (26.9) (системы (26.9')). Если течение изоэнтропическое, в = сопв1, то Ъ' = Ъ'(р) и системы (26.9), (26.9') можно записать в виде д,)+ д1+ дТ дТ вЂ” +(и+а) — =О, — +(и — а) — =О, в = сопв1; (26.11) д1 дх ' д1 дх д3+ а д3+ д3 а д.1 — + — — = О, — — — — = О, в = сопМ, (26.11') д1 Ъ' д~ ' д1 $' д(' где функции э =и~/ — ар Т Ъ' а называются инвариантами Римана.
Движение газа называетсл автомодельным, если безразмерные характеристики движения зависят только от одной независимой безразмерной переменной и = ох 1", где о, т, п — постоянные. Если из постановки задачи для рассматриваемого газа следует, что из х,1 и размерных постоянных, входящих в начальные и граничные условия, можно образовать только одну независимую безразмерную переменную, то задача имеет автомодельное решение. Аналогичным образом формулируется определение автомодельного движения и условие существования автомодельного решения в переменных С' и 1. Глава 5. Механика жидкости н газа 268 Стационарные адиабатические течения Для стационарного в системе координат (х~) аднабатического течения газа система уравнений движения (26. 5') д« др а2 д«о дв г> — + Ъ'[7р = О, « — + — — = О, « = О (26.5') дхо дхо И дхо ' дхо имеет два интеграла (26.
12) ггг 2 — + Ь )р=сг(Ь), в=С,(л). (26.12) Первый из них — интеграл Бернулли. Из (26.5') следует, что Сг(1) и Сг(А) в (26.12) постоянны вдоль каждой линии тока. В общем случае энтропия, а следовательно, и Сг(Л) на разных линиях тока различны. Для непрерывных течений в тонких трубках тока, а также для одномерных непрерывных течений в сопле Лаваля, в каналах переменного сечения ныполняются соотношения «2 — + г(р, в) = сопвг, 2 г) = ~'Р = сопвг, в = сопвг, (26.13) где Г(х) -- площадь поперечного сечения; ) = )«(/Ъ' — плот- ность потока массы в этом сечении.
Параметры торможения. Критические параметры в„= вь = в, «„= О, )«ь! = аг = а(ры в). Энтаяьпия тарягожения г'„, называемая также полной энтальпией, определяется для рассматриваемого состояния движения соотношением „г г, = г (р, в) + —. 2 (26. 14) Каждому состоянию движения частицы, характеризуемому параметрами (р, в, «), можно поставить в соответствие состояние торможения (р„, в„, «,) и критическое состояние (ры вг, «ь). По определению 269 26. Газовая динамика По известным в и г„из уравнения (26. 15) определяется давление торможения р„а из уравнения (26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
