Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Механика жидкости и газа 232 24.18 Для плоских гравитационных волн малой амплитуды при учете поверхностного натяжения (задача 24.17) а) найти фазовую с = и/6 и групповую У = Йо/йй скорости; б) показать, что существует минимальное значение фазовой скорости с =— пцпс(й) = с(й„) и каждому значению с > с соответствуют две волны. Для одной из них й > к„, эту область значений часто называют капиллярной ветвью, для другой Й < й., ее называют гравитационной ветвью; в) показать, что для капиллярной ветви выполнено У > с, а для гравитационной выполнено 1! < с. 24.19 В потоке жидкости, движущейся с постоянной скоростью 1', имеется неподвижное препятствие (ступенька дна или неподвижное тело). Задача двумерная.
Если Р' превышает некоторое значение $:, то в системе отсчета, связанной с препятствием, наблюдается стационарная система волн, причем выше по потоку находятся короткие волны (рябь), а ниже по потоку находятся длинные волны. Найти $~„ и объяснить причину наблюдаемого явления. д~ д(6+ Ди~ д(6+ Цоз д1 дх' дхз (24. 1) ци д~ — +д — =О, а=1, 2. ц'1 дх~ (24. 2) б) Как упростятся эти уравнения, если 6 = сопя1, волны плоские, т.
е. из = О и д/дх~ = О, и амплитуда волн мала, ~ << 6 << Л? Какова скорость распространения .таких волн? 24.20 Если изучаются волны, длина Л которых много больше характерной глубины бассейна 6, т. е. Л » 6 (длиииые волны), то можно использовать так называемую теорию мелкой воды. В этой теории пренебрегают ускорением по вертикали и предполагают, что горизонтальная скорость однородна по вертикали. а) Показать, что в приближении мелкой воды возвышение свободной поверхности ь(х', х~,й) и горизонтальные составляющие скорости и (х', хз,1), а = 1, 2, удовлетворяют уравнениям Глава 5.
Механика жидкости н газа 234 24.25 Система уравнений мелкой воды, см. задачу 24.20, является гиперболической и, следовательно, допускает решения с разрывами. а) Написать условия на поверхности разрыва (скачке) скорости и глубины потока в предположениях теории мелкой воды. Такой скачок называется еидравлическим прылском пли борой.
б) Для прямого скачка (» перпендикулярна скачку) найти скорость Р его распространения, если известны глубины 61 и йя по разные его стороны и скорость н1. в) Показать, что относительно жидкости скачок движется всегда в сторону области с меньшей глубиной. 24.26 В предположениях теории мелкой воды, задача 24.20, рассмотреть движение жидкости в длинном канале произвольного поперечного сечения. а) Вывести уравнения для скорости и потока вдоль канала и площади сечения потока 5. б) Установить аналогию полученных уравнений с уравнениями, описывающими движение газа, см. 1 25.
Какая при этом должна быть зависимость р(р) в газе, если поперечное сечение канала: 2) треугольное? 1) прямоугольное; в) Чему равняется скорость с распространения волн малой амплитуды? г) Рассмотреть волны Римана, вывести условия их опрокидывания в зависимости от формы сечения канала. 24.2Т Уединенная волна на поверхности тяжелой жидкости имеет профиль я = Дх,1) с горизонтальной асимптотой (~ — ~ О при х -+ ~оо) и распространяется в слое постоянной глубины 6 со скоростью с относительно покоящейся на бесконечности жидкости. а) Найти количество движения жидкости ь„) и ее потенциальную энергию Е„, .
б) Прн о, = О и до /дх = О и ~/6 << 1 найти с и кинетическую энергию жидкости Е„„„. Сравнить Е„, и Е„„„. 235 24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 24.28 Из дисперсионного уравнения для гравитационных волн малой амплитуды на поверхности жидкости постоянной конечной глубины 6, задача 24.3, в первом приближении по 66 « 1 получить дисперсионное уравнение линейной теории мелкой воды а) для волн бегущих в разные стороны (разложением ю2(Й)); б) для волн бегущих в одну сторону (разложением м(к)).
Написать соответствующие этим разложениям дифференциальные уравнения для длинных волн малой амплитуды и сравнить с результатами задачи 24.20. 24.29 Найти следующее приближение в разложениях по а6 « 1, рассмотренных в задаче 24.28, и проверить, что им соответствуют дифференциальные уравнения д2~ д2~ 63 д4~ д~ (д~ 62 дз~'1 а) — = д6 —, + — —,; б) —, + ~/д6 — + — —, = О. д12 дх2 3 дх4' д1 1 дх б дхз) Первое называют линеаризованным ураоиением Буссииеска, а второе — линеаризованным уравнением Кортеоега — де Вриза. Эти уравнения учитывают дисперсию длинных волн. 24.30 Считая, что дисперсия и нелинейность независимо влияют на поведение волны, бегущей в одну сторону, и используя решение задач 24.24, 24.29, получить уравнение д1 дх 2 6 дх б дхз ' *!с=о' учитывающее дисперсию и нелинейность длинных волн с точностью до членов второго порядка по ~~6 — уравнение Кортевегаде Вриза.
24.31 Уравнение Кортевега — де Вриза (задача 24.30) имеет частные решения в виде уединенных волн — солитоноо, которые распространяются в канале постоянной глубины 6, не меняя своей формы. Найти такое решение, считая, что на бесконечности выполняются условия д~ ~д~ о =ио=О, Г = — = — =О. дх дх2 Показать, что скорость этой волны зависит от ее амплитуды и больше, чем со = ~/дЕ. 236 Глава 5.
Механика жидкости и газа 24.32 В расслоенных по плотности жидкостях могут распространяться волны на внутренних поверхностях раздела слоев (внутренние волны). Пусть имеется два несмешивающихся слоя несжимаемой жидкости разной плотности. В покое это слой О < л < 6~ с плотностью р, и слой О > г > — 6з с плотностью рз > ры где г = 61 — свободная поверхность; г = -6з — дно. Толщины слоев 61 и 6з малы, что позволяет использовать постановку мелкой воды, задача 24.20.
В рамках теории волн малой амплитуды найти соотношение между скоростями и амплитудами поверхностных и внутренних волн. Получить упрощенные формулы для случая близких значений величин р1 и рз. 24.33 При исследовании в линейной постановке устойчивости однородных стационарных течений рассматривается поведение во времени малых возмущений таких течений. Линейная задача для одномерных возмущений имеет решения вида ехр(йя — иЛ), где 6 и и связаны дисперсионным уравнением Р(ы, й) = О. Его корни и(к) при действительных значениях Й определяют поведение возмущений во времени.
Если при всех действительных значениях 6, для всех ь~(6) выполнено 1тпю(6) < О, то стационарное однородное течение устойчиво. Если найдутся действительные значения Й, для которых хотя бы для одного корня и(6) выполнено 1ть~(Й) > О, то течение является неустойчивым, так как соответствующие этим 6 возмущения растут во времени. В указанной постановке исследовать устойчивость течения с тангенциальным разрывом, разделяющим два плоскопараллельных однородных потока идеальной несжимаемой жидкости с плотностями р„и скоростями и; о = 1 для г > О и о = 2 для л < О. Учесть поверхностное натяжение и силу тяжести.
24.34 При изучении волн в бассейнах на поверхности Земли во многих случаях необходимо учитывать вращение Земли. а) Написать уравнения движения идеальной жидкости в декартовой системе координат, связанной с точкой поверхности сферы, вращающейся с угловой скоростью й. Ось я этой системы координат направлена по вертикали, а (я; у) — горизонтальная плоскость в рассматриваемой точке. Считать, что ускорение си- 24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 237 лы тяжести д зависит от географической широты места у так, что центробежная сила инерции включена в силу тяжести, б) Обычно для течений в океане о, « о, ою Оценить члены в уравнениях и написать приближенную систему уравнений для таких движений.
24.35 В северном полушарии Земли, в касательной плоскости на широте со в слое жидкости глубины и имеется плоская вертикальная стенка у = О. В приближении длинных волн малой амплитуды, см. задачу 24.20, найти поверхностную волну, амплитуда которой затухает при удалении от стенки.
Показать, что эта волна распространяется вдоль правой по ее ходу стороне стенки и в ней отлична от нуля лишь составляющая скорости, параллельная стенке (нолна Кельвина). Найти скорость распространения волны и коэффициент затухания ее амплитуды при удалении от стенки. Изменением широты пренебречь. Указание: а) рассмотреть частное решение ся = О; б) показать, что в этой постановке ся — О является общим решением. 24.36 В достаточно протяженном бассейне на поверхности вращающейся Земли могут существовать волновые движения, вызванные силой Кориолиса, траектории частиц при этом лежат в горизонтальной плоскости, о, = О,а колебания происходят во всей толще жидкости.
Эти волны наблюдаются в атмосфере и в океане. и называются планетарными волнами или волнами Россби. Найти периодические волны такого типа, распространяющиеся вдоль направления х параллели Земного шара в бассейне настолько протяженном, что необходимо учитывать переменность географической широты места ~о = ~р(у), где у — направление вдоль меридиана. Специальный выбор осей х и у — вдоль параллели, к востоку, и вдоль меридиана, к северу, соответственно, позволяет считать, что параметр Кориолиса ~ = 2йв1псо зависит только от у.
В первом приближении эту зависимость можно взять в виде у = Д + ~3у, где р" = ~~~/Иу = сопв$. Определить величину и направление скорости распространения волн; показать, что они обладают дисперсией. 9 зак. 23бВ 238 глава б. Механика жидкости в газа 25. Механика сжимаемой жидкости В этом параграфе, а также в ~ 26, рассматриваются эффекты, связанные со сжнмаемостью жидкостей и газов, т. е. с изменением их плотности при изменении давления. Во многих случаях даже для легко сжимаемых сред — газов изменение плотности при движении мапо и им можно пренебречь.
Условия, прн которых жидкости и газы можно рассматривать как несжимаемые, приведены в ~ 22. Здесь изучаются ситуации, когда изменение плотности не мало или когда оно мало, но именно это изменение составляет сущность явления, например, распространение звука. При описании движения сжимаемой жидкости или газа механических уравнений (неразрывности и количества движения) недостаточно. Даже если коэффициенты вязкости не зависят от температуры, эти четыре уравнения содержат пять неизвестных функций координат и времени: плотность р, давление р и три компоненты скорости е;. Поэтому для определения р, р и и обязательно использование термодинамических уравнений, выражающих первый и второй законы термодинамики, а также уравнений состояния среды (см.
гл. 3). Жидкости и газы обычно можно рассматривать как двупараметрические среды, термодинамическое состояние малых частиц которых определяется двумя параметрами, например плотностью р и температурой Т. В частности, давление р и плотность внутренней энергии и для каждой частицы сжимаемой жидкости суть функции р и Т р=р(р,Т), и=и(р,Т). Эти соотношения называют уравнениями состояния. Во многих случаях удобнее использовать в качестве параметра состояния вместо температуры Т энтропию и При некоторых условиях из термодинамических уравнений можно выразить давление как функцию одной только плотности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
