Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Если эта функция одинакова для всех частиц среды, то движение называют баротропныж, а зависимость р = р(р) используют для замыкания системы механических уравнений. 2б. Механика сжимаемой жидкости 239 Сжимаемость частиц среды можно количественно описывать коэффициентом сжимаемости Й Величина й определяется не только свойствами среды, но и происходяшим в ней процессом. Если процесс можно считать обратимым и адиабатическим, то энтропия каждой частицы сохраняется и, используя уравнение состояния в виде р = р(р, а) н условие Ил/Й = О, получим где Величину а называют скоростью звука. Именно с этой скоростью звук, т.
е. малые периодические изменения давления, распространяются по частицам среды. Для баротропных процессов йрЮ Ир ~р1р1 Для величины ~ — часто используется обозначение а и условное название скорость звука. Для несжимаемой среды а = оо. Величина а, а также число Маха М о М=— н где о — величина скорости среды, играют важную роль в механике сжимаемой жидкости. В частности, при установившемся движении дозвуковые потоки 1о ( а, М ( 1) качественно отличаются от сверхзвуковых (о > а, М > 1). 240 Глава 5. Механика жидкости и газа Задачи Хравнения, описывающие движение и состояние сжимаемой жидкости или газа 25.1 а) Написать замкнутую систему уравнений, описывающих движение сжимаемой вязкой жидкости или газа.
б) Написать эту систему для линейно — вязкого теплопроводного совершенного газа в поле силы тяжести. Считать, что теплопроводность подчиняется закону Фурье, коэффициенты теплопроводности и вязкости постоянны, причем коэффициент объемной вязкости ~ = А + 2р/3 равен нулю. и = 1.45. 10 ~ м~/с, р = 0.125 кг/м, и= 0.025 Дж/(м с град), сг = уск =10 Дж/(кг.
град), а = 340 м/с, 7 =1А03, В = 287.14 м /с град. 25.3 Сравнивая порядки величин различных членов в уравнениях движения, написать условия на параметры потока, при которых в этих уравнениях силу тяжести можно не учитывать. Газ считать идеальным. 25.2 а) Для вязкого теплопроводного совершенного газа, сравнивая порядки величин членов уравнения притока тепла, получить условия, при которых можно в этом уравнении пренебречь работой вязких напряжений и притоком тепла за счет теплопроводности (и тем самым считать, что в каждой частице энтропия сохраняется). б) Провести конкретные оценки для стационарного обтекания тела потоком воздуха со скоростью 100 м/с и нормальной температурой и давлением. Линейный размер тела 10 м.
Считать, что для воздуха 25. Механика сжимаемой жидкости 241 25.4 Написать полную систему уравнений для определения скорости, плотности и давления в адиабатическом движении идеальной сжимаемой жидкости или газа в отсутствие массовых сил. Эту систему называют сисгаемой уравнений газовой динамики. 25.5 Для совершенного газа а) написать выражения для плотности внутренней знергии и, у = ~(ь7ъл. функций давления и плотности; б) написать замкнутую систему уравнений для определения скорости, плотности и давления при адиабатическом движении идеального совершенного газа. 25.6 При каких условиях адиабатическое движение идеальной сжимаемой жидкости или газа является баротропныму 25.7 Доказать, что при непрерывных баротропных движениях идеальной сжимаемой жидкости в поле потенциальных массовых сил циркуляция скорости по замкнутому контуру, проходящему через одни и те же частицы жидкости, со временем не меняется (теорема Томсона).
25.8 Доказать, что если в некоторый момент времени поле скорости идеальной жидкости во всем пространстве потенциально и в дальнейшем происходит непрерывное баротропное движение, причем массовые силы обладают потенциалом, то поле скорости остается потенциальным (теорема Лагранжа). 25.9 Написать систему уравнений для определения плотности и потенциала скорости для баротропного потенциального движения в потенциальном поле массовых сил. 25.10 Для иззнтропического (в = сопвЦ потенциального движения совершенного газа в поле силы тяжести а) написать интеграл уравнений движения — интеграл Коши— Лагранжа; б) получить уравнение, в которое входит только потенциал скорости. 242 Глава 5. Механика жидкости и газа Движение с малыми возмущениями. Распространение малых возмущений давления.
Скорость звука. 25.11 а) В идеальной сжимаемой жидкости или газе в отсутствие массовых сил при механическом равновесии, когда всюду « = О, давление и плотность заданы величинами р = ро = сопй, р = ро = сопв1. В результате малого возмущения возникло движение, в котором р = ре + р'(хе 1), р = ре + р'(хь 1), « = «'(хг, 1), причем р', р', «', а также их производные малы. Движение баротропно. Написать линеаризованную систему уравнений для функций р', р', «'. Показать, что функции р', р' удовлетворяют волновому уравнению. Вектор скорости «любого движения может быть представлен суммой « = «1 + «г потенциального («г — — игаса р) и соленоидального (йч «г = 0) векторов. Написать уравнения для «~ (и соответственно ~р) и «'. б) Какому уравнению удовлетворяют малые возмущения давления р' в однородной несжимаемой жидкости? 25.12 Найти связь между Й и ю, при которой функция цйг- О р= рое является решением волнового уравнения дг~р — — а Ьу=О.
щг Здесь уп = сопе1; м = сопаФ; г — радиус-вектор точки наблюдения; Й вЂ” постоянный вектор; г = ~/ — 1, Ь~р — оператор Лапласа. Такое решение называется монохроматической волной. Если ьг — действительное, то ~ре — амплитуда волны; )ьг~ — угловая частота; Й вЂ” волновой вектор; Л = 2к/(Й( — длина волны; 1" = Й г — м1 — фаза; ~ = сопз1 — поверхность постоянной фазы, 25. Механика сжимаемой жидкости 243 иногда называемая фронтом волны. Скорость перемещения поверхности постоянной фазы по нормали к ней называют джазовой скоростью. а) Найти фазовую скорость и связь между направлением волнового вектора и направлением перемещения поверхности постоянной фазы.
б) Показать, что звуковые волны являются продольными, т. е. перемещение частиц жидкости параллельно волновому вектору. 25.13 Рассматриваются одномерные движения с плоскими волнами, когда оя — — о, = О, о = о(х,1), где х — декартова координата. а) Найти общее решение системы, полученной в задаче 25.11, для функций р'(х,1), р'(х, с), о'(х,1), у(х, с). б) В начальный момент времени возмущение скорости о' всюду равно нулю, а возмущение давления р отлично от нуля только в слое ~х~ < 1, где оно равно р,', = р1(1 — хз/Р). Найти р'(х,1), р'(х,1), о'(х,1) при 1 = 21/а и при 1= 31/а. в) В монохроматической плоской звуковой волне частицы совершают колебания с амплитудой 0.25 мм. Частота колебаний 500 Гц. Найти длину волны, максимальную скорость частиц и максимальное относительное изменение плотности в волне, если она распространяется 1) в воздухе (а = 340 м/с); 2) в воде (а = 1400 м/с).
25..14 Скорость распространения малых возмущений давления ш у ь ° ° Ф р у ° ° =,/%~топ (см. задачи 25.12, 25.13) и определяется видом зависимости р = /(р). Найти выражение для скорости малых возмущений в совершенном газе с заданными теплоемкостями се и си в случаях изотермических возмущений (формула Ньютона для аг) и адиабатических возмущений (формула Лапласа для и,). Вычислить ат и а, для воздуха, у которого се/с„= 1.4 и В = 287.14 мз/(с~ град) Из измерений известно, что скорость звука в воздухе при температуре 15'С равна примерно 340 м/с.
Какая из величин вт или а, соответствует скорости звука7 Объяснить ответ, используя результат задачи 25.2. 244 Глава 5. Механика жидкости и газа 25.15 Для сферически симметричных одномерных движений (движений со сферически симметричными волнами) найти общее решение полученной в задаче 25.11 линеаризованной системы для функций р~(г,1), р~(г,г), у(г, 1), где г — расстояние от центра симметрии. 25,16 Получить линеаризованную систему уравнений для одномерных малых возмущений, зависящих от х и г, на фоне равномерного потока, движущегося с постоянной конечной скоростью У вдоль оси я. Показать, что для монохроматической волны ець '~ при заданной длине волны, т. е.
величине й, частота колебаний зависит от скорости У движения потока. 25.17 Источник малых монохроматических возмущений движется с постоянной скоростью У < а вдоль оси з в неподвижной сжимаемой жидкости. Возмущения, производимые источником, имеют вид плоских волн с фронтом, перпендикулярным оси я. Показать, что частота колебаний Ц в монохроматической волне, см. задачу 25.12, в системе неподвижного наблюдателя отличается от частоты еэ„в системе, движущейся с источником (эффект Допплера). 25.18 Однородный поток газа движется с постоянной скоростью П в направлении оси я. В момент времени ~ = 0 в точке О внутри этого потока начинает действовать источник малых возмущений давления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
