Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 35
Текст из файла (страница 35)
221 2:б. Динамика вязкой не< жимаемой жидкости пение для 1(бС). Какие граничные условия следует ставить для ? (бС)? Найти касательное напряжение г на пластинке. Эта задача называется задачей Блазиуса. 23.54 Вывести из уравнений Прандтля интегральное уравнение количества движения ди! д б" и — ~ = — / (1б' — и)ду+ ду „=0 дс 0 д д д ) 1( — ° бб д1б' д(иЯ вЂ” и)) д(0(сб' — и))б дх дх ду 0 23.55 Толщине вытеснения ос и толщина потери импульса о в пограничном слое определяются формулами б = С (1 — †" ) бу, б = С бб. 0 о Показать, что интегральное уравнение количества движения, см. задачу 23.54 для пограничного слоя на непроницаемой стенке, можно записать в виде ди д(Убб) дсб" д(1б'зо) бб — = + Убс — + — 1б'о 23.56 Профиль скорости в пограничном слое задан соотношениями 1б'вбп(блу) при О < оу < —, 2' и= Сб' при оу > -,.
2 здесь ее = бл(х), сб' = сопвс. Найти толщину вытеснения бс и толщину потери импульса о, см. задачу 23.55. 222 Глава б. Механика жидкости я газа 23.57 Использовать профиль скорости задачи 23.58 и интегральное уравнение количества движения для приближенного вычисления величины касательного напряжения т на поверхности обтекаемой пластинки в задане Блазиуса. Сравнить полученное значение т с величиной 0.332 найденной при численном решении уравнения для /(О), см. за- дачу 23.53.
23.58 а) Показать, что если вне пограничного слоя скорость имеет вид У = Сз, х > О, где С > О, тп — постоянные, то течение в пограничном слое имеет функцию тока вида б) Получить из уравнений Прандтля уравнение для /(О). в) Обтекание каких тел описывает данный класс течений? г) Какие следует ставить граничные условия для функции /(и)? 23.59 а) Чему равен вихрь на свободной поверхности, которая ограничивает плоское установившееся течение вязкой жидкости? б) Показать, что в пограничном слое на свободной поверхности вязкая добавка и' к скорости 1? потока идеальной жидкости является малой величиной порядка П/~/йе при йе -+ оо (что неверно для пограничного слоя на твердой поверхности). 23.60 Показать, что определение вихря в плоском погранич- ном слое на свободной поверхности у = О сводится к краевой задаче дм дь~ дУ дм д'ьз — +У вЂ” — у — — =и —, д~ дз дя ду дуя ' 2ы = (го1в)„а)„о = КУ, м)„+ -+ О, где К = (Нт/дз, в) — кривизна линий тока на свободной поверх- ности, т = е„, в — единичные векторы касательной и нормали, внешней к жидкости.
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 223 23.61 а) Используя результаты задач 23.59 и 23.60, получить следующую краевую задачу для определения вязкой добавки и' в пограничном слое на свободной поверхности у = О: ди',дУ ди' дУ ди' дэи' — + и' — + У вЂ” — у — — = и —, дя дх дх дх ду ду' ' ди' ~ — = — 21(П, и' = О при у -+ оо. ду ~я=о б) Показать, что полученное линейное уравнение пограничного слоя на свободной поверхности асимптотически при Ке — ь оо совпадает с уравнением Прандтля. 23.62 Сферический газовый пузырь радиуса а движется в вязкой жидкости с постоянной скоростью У. а) Вычислить диссипацию энергии в жидкости, считая движе-, ние потенциальным.
Определить погрешность этого приближения при йе » 1. б) Вычислить силу вязкого сопротивления при йе >) 1. Турбулентные движения Если для некоторого течения характерные скорость о, линейный размер Ь и вязкость и таковы, что число Рейнольдса Яе = оЬ/ь больше некоторого критического значения Йе,р, разного для разных классов течений, то течение является турбуленпаным. Поля всех механических и термодинамических величин в турбулентном потоке обладают хаотическими пульсациями на фоне средний значений характеристик.
Нетурбулентное течение называется ламинарным. Точное описание турбулентных течений представляет собой чрезмерно трудную задачу. На практике часто нужно уметь рассчитать лишь средние значения характеристик. Для этой цели применяются так называемые полуэмпирические теории турбулентности, которые обычно строятся следующим образом. Исходные величины а, характеризующие течение, представляются в виде а = а + у', где а — среднее значение, а' — пульсация. Определение среднего а может быть различным 1среднее 224 Глава 5.
Механика жидкости и газа по времени, по объему, в смысле вероятности и т.д.), но предполагается, что выполняются следующие правила: дп да дп да — — — — и+ Ь = а+ Ь, аЬ = аЬ+ а'Ь'. д1 дЬ' дх дх' Далее проводится осреднение исходной системы уравнений с использованием этих правил, в результате получается система, в которую входят средние скорость и, давление р, плотность р и т.д., а также — в качестве новых дополнительных неизвестных — средние значения произведений пульсаций этих величин.
Для получения замкнутой системы необходимы дополнительные уравнения или соотношения, определяющие упомянутые новые неизвестные. Эти дополнительные соотношения постулируются в некоторой форме, затем их коэффициенты определяются путем сравнения рассчитанных и измеренных в эксперименте величин. В настоящее время предложено много различных полуэмпирических теорий для описания различных классов турбулентных течений (течения в пограничных слоях, в трубах, турбулентность в океане и атмосфере и т.д.).
23.63 Известно, что при отсутствии специальных условий течение турбулентно: — в открытых каналах глубины 6 при о6/и > 500; в круглых трубах диаметра д. при нд/и > 1300; — в потоках у поверхности обтекаемых затупленных тел с радиусом затупления носика г при ог/и > 10в. Является ли турбулентным течение а) воды в равнинной реке (и = 1 м/с, 6 = 5 м,и = 0.01 смз/с); б) воды в водопроводной трубе (о = 2 м/с, Н = 2.5 см); в) воздуха около возвращающегося в атмосферу космического аппарата при 1) о=?км/с, Н=75км: 2) о=2км/с, Н=40км? Здесь Н вЂ” высота над поверхностью Земли; для стандартной атмосферы р = ро ехр( — 0.142 Н), где ро = 1.225 10 з г/см; и = д/р; р = 1.3 10 4 г/см с соответствует температуре 200К; г = 1 м.
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 225 23.64 Осредняя уравнения неразрывности и движения для несжимаемой однородной вязкой жидкости, получить уравнения Рейнольдса Йи и = О, р — = — 17;р+ Я~то. + Ч'т;., где тб — — средние вязкие напряжения, тт = — ри,'и,' называются турбулентными напряжениями Рейнольдса. Какому условию удовлетворяет О на непроницаемой границе з? 23.65 Показать аналогию механизмов турбулентной вязкости и обычной (молекулярной) вязкости газов, связав напряжения тт с переносом хаотически движущимися частицами количества движения через площадки, движущиеся со скоростью среды й.
23.66 Предполагая, что тт = 2рите; '(гипотеза Буссинеска), и считая коэффициент турбулентной вязкости гт постоянным, оценить его величину, проведя расчет течения в реке типа Волги: перепад высот истока и устья 300 м, длина 3000 км, средняя скорость 1 м/с, глубина 5 м, см. задачу 23.20.
23.67 При изучении морских течений в океане часто используется модель турбулентности, в которой для тт принимается гипотеза Буссинеска, см. задачу 23.66, с двумя разными по величине, но постоянными кинематическими коэффициентами турбулентной вязкости Ли и Аа: производные от средней скорости по вертикальной координате входят в тт с коэффициентом А„, по горизонтальным координатам — с Ль, причем Аа на несколько порядков больше Л„, что связано со стабилизирующим влиянием силы тяжести и меньшей вертикальной протяженностью океана.
Пользуясь этой моделью, написать уравнения турбулентного движения в океане, считая жидкость идеальной, несжимаемой, однородной. 23.68 Рассмотрим турбулентный поток однородной несжимаемой жидкости вдоль бесконечной неподвижной плоскости у = 0 в отсутствие массовых сил — ветер над поверхностью Земли. Предполагается, что все средние характеристики течения зависят только от у, йя — — й, = О, 0 = о(у). На границе у = 0 задано касательное напряжение то = сопаФ. Для т, принимается Глава 5. Механика жидкости и газа гипотеза Прандтлл: тт„= ри "(ЫО/Иу), где коэффициент турбулентной вязкости ит = нлуз(аб/бу), ж = 0.4 — эмпирическая константа.
Найти О(у) в области у > б > О, в которой можно пренебречь молекулярной вязкостью по сравнению с турбулентной. 23.69 Логарифмический профиль скорости й(у), полученный в предыдущей задаче, не удовлетворяет условию прилипания на поверхности у = О. Для продолжения решения вплоть до границы у = О вдоль нее вводится тонкий ламинарный поделай О < у < б, в котором турбулентные напряжения меньше вязких, поэтому учитываются только последние.
Найти О(у) для всех у > О, стыкуя при у = б найденное в предыдущей задаче решение с решением для ламинарного подслоя. Величину б найти из условия й~(„л — — —— 1. О(Б) б и 23.70 Найти О(у) в задаче 23.68 с помощью теории размерности, ~ 39, и не используя гипотезу Прандтля. 23.71 Осредняя уравнение притока тепла для несжимаемой идеальной теплопроводной жидкости, получить уравнение для средних характеристик. Члены ду = рсТ'о,' называются компонентами вектора турбулентного потона тепла. 23.72 Найти профиль средней температуры Т(у) в течении, рассмотренном в задаче 23.68, считая, что на у = 0 задав поток тепла уо, вектор турбулентного потока тепла пропорционален градиенту средней температуры, ду = йт(дТ/дх'), коэффициенты турбулентной вязкости и и теплопроводиости Й~ пропорциональны, Йт = оит, о — размерная постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
