Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В этом суть метода конформных отображений. 22,20 Комплексный потенциал течения задается формулами И'(~) = Й'(Д~)), = й~+ й~+ —, Й'(~) = У ~+ — — гЪ' ~ — — + 1пс„ где У, 'е', Г, й и к1 — действительные постоянные, й > й1 > 0; йе — комплексная постоянная. Обтеканию какого контура на плоскости х соответствует этот потенциал? Чему равна скорость его обтекания на бесконечности в ? Где расположены критические точки? 22.21 Найти комплексный потенциал обтекания пластинки А длины 26 под углом атаки а. По- а и добрать циркуляцию Г по контуру, охватывающему пластин- х ку, так, чтобы скорость жидко- В сти на задней кромке в точке В Рис. 22.2. была конечной (постулат Жуковского — Чаплыгина). Найти распределение скорости на пла- стинке.
100 Глава 5. Механика жидкости и газа 22.22 Найти комплексный потенциал течения от источника с расходом Я, расположенного в точке А(хл; дл) а) в полуплоскости д > 0; б) внутри прямого угла х > О, д > 0; в) вне неподвижного круга радиуса а с центром в ле. В этом случае решение искать в виде комбинации потенциалов заданного источника, источника той же мощности, расположенного в инверсной точке, и стока в центре круга. 22.23 Найти комплексный потенциал течения от а) бесконечного ряда источников равной интенсивности, расположенных на равном расстоянии на оси х в точках (О; 0), (фа; 0), ф2а; 0), ...; б) бесконечного ряда вихрей равной интенсивности, расположенных в тех же точках; в) источника, расположенного в точке (а; 0) между двумя пластинами л = О, х = 6; г) вихря, расположенного аналогично источнику в пункте в).
Осесимметричные потенциальные движения Движение называется осесиммеп~ричным, если оно одинаково во всех плоскостях, проходящих через некоторую ось — меридиональных плоскостях. В таких течениях поле скоростей не зависит от координаты, определяющей положение мерндиональной плоскости. Если к тому же компонента скорости, соответствующая этой координате, равна нулю, то такое осесимметричное течение называется течением без закрутки, а если она не равна нулю, то это течение с закруткой, или винтовое. Осесимметричные потенциальные течения с однозначным потенциалом поля скорости являются течениями без закрутки. Направим ось л декартовой системы координат (х, д, л) по оси симметрии. Для течений без закрутки поле скорости можно представить в виде 191 22.
Динамика идеальной несжимаемой жидкости где ~(х,у,г) — функция тока Стокса; е — единичный вектор с началом в точке (х; у; х) и перпендикулярный плоскости меридиана; е направлен в сторону роста азимутального угла л, ~~с = у/х, О < с < 2х, определяющего положение плоскости меридиана. Для осесимметричных течений в системах координат х', хз, хз = н функция тока независит от хз, т. е. ф = ф(х1,хз). Задачи 22.24 Показать, что а) из уравнения неразрывности для осесимметричного движения следует существование функции тока Стокса; б) поверхности 4 = сопнФ являются поверхностями тока.
22.25 е1ерез функцию тока ф(х1, хз) выразить физические компоненты скорости и физические компоненты вихря скорости а) в правой ортогональной криволинейной системе координат х1,хз,хз = с, где х', хз — координаты в плоскости меридиана, е — угол, определяющий положение плоскости меридиана; б) в цилиндрической системе координат х' = г, х~ = г, хз = с; в) в сферической системе координат х' = Л, хз = д, хз = е.
22,2В Для потенциальных осесимметричных течений: а) доказать, что линии тока расположены в меридиональных плоскостях; б) написать уравнения для потенциала скорости р и функции тока ф в системах координат, перечисленных в задаче 22.25. 22.27 Выразить через функцию тока расход жидкости через поверхность, образованную вращением вокруг оси г криволинейной дуги, соединяющей лежащие в плоскости меридиана точки с цилиндрическими координатами (х~,. г,) и (хз, гз). 22.28 Потенциалы д" 1 з +1 д" а) ф= — —, б) ~р=1ь" дг" Л' дле й описывают осесимметричные течения несжимаемой жидкости, а Глава б. Механика жидкости и гази 192 соответствующие им функции тока имеют вид де+1 и д"+1 а) 4=, И, б) 16= — Нк+1 В д и+1 и + 1 дх~+1 г е я =,~Рт ась Р: — ч Проверить зто утверждение при п = О, 1, 2.
если доХ/две ив я 1. Потенциал ф при п, = О соответствует течению от источника с единичным расходом, помещенного в начало координат, а прн и = 1 — течению от диполя с единичным моментом и осью, направленной по оси х. 22.29 Найти потенциал и функцию тока обтекания твердого шара радиуса а однородным на бесконечности потоком со скоростью о относительно шара. Представить решение в системе координат а) связанной с шаром; б) в которой жидкость на бесконечности покоится. 22.30 Найти потенциал течения жидкости, заключенной между неподвижной сферической оболочкой н движущимся внутри нее твердым шаром, в момент времени, когда центр шара совпадает с центром оболочки, а его скорость равна У.
22.31 Найти потенциал и функцию тока течения вне неподвижной непроницаемой сферы радиуса но создаваемого расположенным на расстоянии 6 > а от центра а) диполем с моментом р и осью, проходящей через центр сферы и диполь; б) источником с расходом Я. Вихревые течения идеальной несжимаемой жидкости Течение жидкости называется вихревым, если 1 ьг = — гоС и ~ О. 2 Вектор иг называется векторож вихря скорости или завихренностью.
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 193 Теорема Стокса устанавливает связь между à — циркуляцией скорости по замкнутому контуру С и потоком вектора вихря через поверхность 5, натянутую на С, Г = ~ и. Л = / го$ и н ИЯ. В однородной идеальной несжимаемой жидкости в поле потенциальных массовых сил циркуляция скорости по жидкому замкнутому контуру сохраняется — не зависит от времени (теорема Томсона).
В этих же условиях вектор вихря удовлетворяет уравнению Гельмгольца йи — = (ьг '7)п. Й Задачи 22.32 При сформулированных выше условиях из уравнений Эйлера вывести уравнение Гельмгольца. 22.33 Показать, что в плоскопараллельных течениях вихрь перпендикулярен плоскости течения, ьг = юе и и = — Ьгб/2. 22.34 Доказать, что в плоскопараллельном течении идеальной несжимаемой жидкости в поле потенциальных массовых сил а) завихренность сохраняется в каждой жидкой частице, т. е.
справедливо уравнение Йо/ей = 0; б) в установившемся течении ь~ = ~е(гб), где гб — функция тока. 22.35 а) Доказать, что функция тока ф = А(хз/аз+ у~/б ) определяет плоскопараллельное течение внутри эллипса, имеющее постоянную эавихренность ьг = сопМ. б) Рассмотреть это течение относительно системы координат, вращающейся с угловой скоростью ьг. Найти поля скорости и вектора вихря относительного движения. Глава 5. Механика жидкости и газа 194 22.36 Закон Вио — Савара Г гахн / з с определяет распределение скоростей, создаваемое в неограниченном объеме Рис. 22.3.
несжимаемой жидкости изолированной вихревой линией С (бесконечно тонкой вихревой трубкой). Здесь à — циркуляция скорости по контуру, один раз охватывающему вихревую линию, см. рис. 22.3. Показать, что для прямолинейной вихревой линии С полем скорости является поле плоскопараллельного течения точечного вихря, см. задачу 22.16.
22.37 Жидкость заполняет двугранный угол, образованный взаимно перпендикулярными плоскими стенками. Найти траекторию изолированной вихревой нити, параллельной ребру угла. Считать выполненными условия теоремы Томсона. 22.38 Рассмотрим течение, в котором гоФ и велик всюду в тонком слое толщины б.
Поверхность, к которой стягивается этот слой при Б — + О, называется вихревой пеленой, если 11щ Б ° го1 и = 2Й, Б-+о где вектор Й ~ О конечен и лежит в плоскости, касательной к этой поверхности. Вектор Й называется плотностью поверхностного вихря. Вихревая пелена возникает при обтекании крыла самолета и других тел, имеющих малый размер в направлении, перпендикулярном скорости обтекания. Доказать, что а) если некоторая поверхность Я является вихревой пеленой, то на ней выполняется равенство 2Й х и = (и], где ~п) — скачок составляющей скорости, касательной к 5, при переходе через нее в направлении нормали и; б) указанное равенство справедливо, если 5 — поверхность тангенцизльного разрыва скорости.
Следовательно, вихревая пелена является поверхностью тангенциального разрыва скорости и верно обратное утверждение. 195 22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 22.39 Показать, что в произвольной цилиндрической системе координат х = х, х~ = г, х' = еч а) поле скорости произвольного осесимметричного винтового течения несжимаемой жидкости может быть представлено в виде в=го$~ ' ' )+ето(г,г,~), /еф(г, г, й)~ где е — единичный вектор координатной линии е, направленный в сторону роста с; б) физические компоненты вектора вихря могут быть определены из соотношений 1 Цгш) 1 д(гш) дав дз~/~ 1 дф 2ю, = —,, 2ш„=-- — 2ы,г = — + — — — —. г дг ' " г дх ' ' доз дгз г дг' в) в поле потенциальных массовых сил справедливы уравнения да, ди, ды, до, до, +на+ос~~'и+М' дг ' дг " дг ' дх " дг ' да г д „да),.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
