Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Найти распределения температуры Т и потока тепла и. Чему равно Ид'*/й2 Здесь ио, с, д, 1 и х — постоянные. а) Используя уравнение для внутреннего момента количества движения, второй закон термодинамики и соотношение Глава 4. Поверхности разрыва в сплошных средах 18. Условия на поверхностях разрыва Поверхность разрыва — это изолированная поверхность, на которой терпят разрыв параметры, описывающие движение и состояние среды (тогда она называется поверхностью сильного разрыва), а также поверхность, на которой сами параметры непрерывны, но их производные терпят разрыв (поверхность слабого разрыва).
Величины всех скачков параметров при переходе через поверхность разрыва не могут быть произвольными: в каждой точке поверхности они оказываются связанными некоторыми соотношениями, которые называются условиями на поверхности разрыва. Часть этих условий следует непосредственно из законов сохранения массы, количества движения, момента количества движения, энергии. Это условия (7.11) — (7.15), приведенные в ~ 7. На поверхностях слабого разрыва скачки производных получаются связанными в силу того, что по разные стороны поверхности параметры удовлетворяют некоторым системам дифференциальных уравнений (динамические условия). Другим типом условий на поверхности разрыва являются кинаматические условия, не связанные ни с законами сохранения, ни с видом уравнений по разные стороны поверхности.
Кинематические условия на поверхности слабого разрыва следуют из того, что сами параметры на этой поверхности непрерывны. Кинематические условия на поверхности сильного разрыва представляют собой чисто кннематические связи между скоростями (перемещениями) поверхности и среды, или среды по разные стороны поверхности. В этой главе скачок величины ~р на поверхности разрыва обозначается [ р). Глава 4. Поверхности разрыва 160 Задачи 18.1 Уравнение поверхности в эйлеровых переменных имеет вид /(х', хз, хз, ~) = О. Найти скорость движения этой поверхности по нормали к ней, направленной в сторону, где / ) О.
18.2 Величина и(х, ~) зависит от одной пространственной переменной х и времени 1, непрерывна и дифференцируема всюду, кроме точек плоскости Е, уравнение которой /(х, ~) = О. На Е величина и(х, 1) также непрерывна, но ее первые производные разрывны, то есть Е есть поверхность слабого разрыва для и. Найти связь между скачками ди/д1 и ди/дх на Е, вытекающую нз непрерывности функции и (кинематическое условие на поверхности слабого разрыва).
18.3 Плоскость Е, задаваемая уравнением /(х,~) = О, есть поверхность слабого разрыва для и1(х,~),...,и„(х,1). Дополнительно известно, что всюду, кроме точек плоскости Е, функции и;(х,1) удовлетворяют системе уравнений ди; ди — +а" — з+Ь =О д~ од где а„.=а; (и,,х,Х), Ь;=Ь;(и,,х,й), а, 1' = 1,...,и. а) Найти вытекающие из этого условия связи между скачками ди,/д~ и ди;/дх на поверхности Е (динамические условия на поверхности слабого разрыва). б) Показать, что скорость Р перемещения слабого разрыва есть собственное значение матрицы Оа, й.
18.4 Одномерное адиабатическое движение идеального совершенного газа описывается системой уравнений, см. Я 25, 26, др дри — + — =О, д1 дх дн ди 1 др — +о —, д~ дх р дх' — — +и — — =О, 18. Условия на поверхностях разрыва 161 где 7 — постоянная; х — декартова координата; р — плотность; р — давление; о = о, оя — о, = Π— компоненты скорости. Пусть плоскость х = Х(с) есть поверхность слабого разрыва параметров р, р и ш а) Написать кинематические и динамические условия, выполняющиеся при х = Х(1).
б) Выразить скорость 1) = ЫХ/Й движения поверхности слабого разрыва через значения р, р, о на ней. 18.5 а) Используя законы сохранения массы, количества движения, момента количества движения и энергии вывести соотношения (7. 11) — (7. 14) на поверхности разрыва. б) Написать их в системе координат, относительно которой поверхность разрыва движется с заданной скоростью,0 = Оп. 18.6 Тангенциальным разрывом называется поверхность разрыва, через которую вещество не протекает, например, граница раздела двух сред.
а) Получить условия на тангенциальном разрыве из общих условий (7.11) — (7.14) на поверхности разрыва при отсутствии на ней внешних воздействий. б) Записать эти уравнения для случая, когда на поверхности разрыва непрерывен вектор скорости (тогда она называется контактным разрывом). 18.7 Пусть уравнение поверхности Е в эйлеровых переменных имеет вид Дх', 1) = О и известно, что среда не протекает сквозь эту поверхность. Написать условие, связывающее поле скорости среды и функцию Дх',1) = О.
18.8 Написать условия, связывающие компоненты тензора "7,пр по разные стороны от поверхности разрыва, выражающие непрерывность перемещений ю = пре на этой поверхности. Связать изменения ~;пр с изменением вектора скорости среды в случае ненулевого потока массы через поверхность разрыва. Получить из этих условий соотношения для компонент тензора малых деформаций. Глава 4. Поверхности разрыва 162 18.9 Поверхность Длз, 1) = О разделяет две среды и является тангенциальным или контактным разрывом.
Написать условия на этой поверхности, следующие из законов сохранения (динамические условия) и условия непротекания среды сквозь нее (кинематические условия), если по разные стороны от этой поверхности находятся: а) идеальные жидкости; б) с одной стороны идеальная, а с другой — вязкая жидкости; в) вязкие жидкости; г) с одной стороны вязкая жидкость, с другой — упругое тело; д) упругие тела.
Для вязкой жидкости и упругого тела записать эти условия через тензоры деформаций и скоростей деформаций, считая, что среды изотропные и подчиняются законам Навье — Стокса и Гука соответственно, см. (13.32),(13.35). 18.10 11олучить условия на поверхности сильного разрыва для идеальной жидкости, следующие из (7.
11) — (7. 15), полагая в этих соотношениях, что — рп, Й О, С~„= О, Считать, что внешние воздействия на поверхности разрыва от- сутствуют, то есть т=О, Я=О, М=О, И'=О. 18.11 Идеальный совершенный газ, в котором р = рКТ, и = с„+ сопе1, протекает сквозь поверхность разрыва, на которой нет внешних притоков массы, импульса и энергии.
Считая потоки тепла д„1 и д„з равными нулю (адиабатичность), а значения р = ры р = р1 по одну сторону поверхности разрыва известными, найти: а) рз как функцию рз, где индекс 2 относится к величинам по другую сторону поверхности разрыва (адиабата Гюгонио); б) изменение энтропии лз — л1 как функцию рз.
в) В каких случаях справедливо соотношение лз — л1 = О? 163 !8. Условия на поверхностях разрыва 18.12 Пусть несжимаемая упругая среда движется так, что все величины зависят от одной декартовой координаты я и времени 1 и не зависят от у и г (движение в виде плоской волны). Считая, что компонента ю, вектора перемещений равна нулю, записать условия на разрыве х = Х(г) для среды, в которой касательное напряжение т = р „является функцией только у = дыа/дас т = тЯ. Выразить скорость разрыва относительно среды перед разрывом через скачки [г) = уз — у1 и [т] = тз — тм Найти скорость разрывов с бесконечно малым изменением величин. Указать условия, при которых конечный разрыв догоняет движущие~я в том же направлении бесконечно малые разрывы перед ним и движется медленнее бесконечно малых разрывов за ним — условия зволюционности разрыва.
О понятии эволюционности см. ~ 25. Найти общее выражение для зависимости внутренней энергии указанной среды от ч и энтропии ю Выписать условие не- убывания энтропии на рассматриваемом разрыве. 18.13 Исследовать соотношения на поверхности „идеального пропеллера" в совершенном газе, т. е. на поверхности разрыва, на которой имеется внешний приток импульса к газу, равный з на единице площади поверхности разрыва, а движение считается обратимым с притоками тепла и массы, равными нулю. Показать, что при заданном течении газа с одной стороны от разрыва существуют два течения с другой стороны, удовлетворяющих условиям на разрыве; одно из них — дозвуковое, другое — сверхзвуковое. Чтобы выбрать одно из этих течений, рассмотреть вместо разрыва непрерывное одномерное течение газа в поле некоторой силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
