Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Объем А заполнен совершенным газом в количестве одного моля при давлении ро и температуре То. Объем В откачан до глубокого вакуума, так что количеством остаточного газа и его давлением можно пренебречь. Далее перегородку разрушают и газ начинает двигаться внутри цилиндра. С течением времени движение газа затухает. Тогда получается, что газ заполняет весь цилиндр и покоится. Каковы конечные давление и температура газа? Каковы изменения его энергии и энтропии? 15.16 Бесконечная цилиндрическая труба заполнена покоящимся идеальным совершенным газом с плотностью ро и давлением ро.
Внутри трубы в некотором сечении расположен поршень, который в момент ! = 0 начинает двигаться вдоль трубы с постоянной скоростью оо. Показать, что формальным решением задачи о нахождении движения газа по обе стороны поршня как для области 1, куда движется пошень, так и для области П, откуда он выдвигается, может быть следующее: к поршню примыкают области, где газ имеет постоянные скорость, плотность н давление. Эти области с помощью разрывов (скачков параметров газа) соединяются с областями, где газ по-прежнему покоится. Найти это решение, если но — — 100 —, ро = 1013 10 м а Н с' м ро = 1.25'10 з -'-з-, се = 0.169 ~~, т = 1.4, см ' ' г град' Используя то, что прохождение через скачок является необратимым процессом, показать, что это решение для области 1 не противоречит, а для области П противоречит второму закону термодинамики. Условия на.
скачках в идеальном газе см. в задачах 18.10 и 18.11. 147 16. Ограничения на внд определяющих соотношений 16. Ограничения на вид определяющих соотношений, вытекающие из законов термодинамики и принципа Онзагера Задачи 16,1 Показать, что для сжимаемых жидкостей и газов внутренняя энергия в и давление р, рассматриваемые как функции плотности р и температуры Т, т. е. функции и = и(р, Т) и р = р(р, Т), связаны соотношением 16.2 Для упругой среды доказать формулы — = сс' — Т где и = и(еноТ) — внутренняя энергия единицы массы; через сс'" обозначены отношения р'"/р, где рея — компоненты тензора напряжений; см -- компоненты тензора деформаций в сопутствующей лагранжевой системе координат.
16.3 Показать, что если для некоторого идеального газа выполняется уравнение Клапейрона р = йрТ, то плотность внутренней энергии и этого газа и удельная теплоемкость при постоянном объеме се являются функциями только температуры Т. и для нахождения выражения для и достаточно задать се(7').
16.4 Показать, что выводы задачи 16.3 верны для любого идеального газа, в котором соотношение р = р(р, Т) имеет вид 16.5 Показать, что если плотность внутренней энергии газа есть функция только температуры, и = и(Т), то уравнение состоячня газа имеет вид р = Т7(р), где 7(р) — произвольная функция р. Глава и. Термодинамика сплошных сред 148 16.6 Считал, что удельная теплоемкость г; известна как функция от температуры, найти выражение для плотности внутренней энергии и энтропии идеального газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса ЛРТ р= — ар . 1 — бр где а и б — постоянные. 16,8 Показать, что модель совершенного газа, которая обычно вводится двуня соотношениями и = сеТ, р = КРТ, (16.1) полностью определяется заданием только одной функции х ~-1 ~-~о и(р, в) = ио ( Р-) е '~' ~,ро (16.2) т.
е. что соотношения (16.1) следуют из (16.2). 16.7 Из определения модели сжимаемой жидкости видно, что в качестве параметров, определяющих состояние частицы жидкости в общем случае можно вместо р и Т взять, например, любую из следующих пар: р и в; р и в; р и Т. Показать, что для задания конкретной модели вместо двух функций р(р, Т) и и(р, Т) достаточно задать лишь одну из функций и, У, ( или Ф, если параметры состояния выбраны соответствующим образом. Здесь У', г и Ф вЂ” удельные свободная энергия, энтальпия и термодинамнческий потенциал?'иббса соответственно, см. ~ 13.
Показать, что для жидкостей и газов функции и(р,в), У(Р,Т'), ((р,в) и Ф(р,7') являются термодинамическими потенциалами, т. е. выполняются соотношения 16. Ограничении па вид определяющих < оотношеиий 149 16.9 Показать, что если для упругой среды с конечными деформациями в качестве параметров, определяющих ее состояние, взяты е, и л, то: а) для компонент тензора напряжений р;, в сопутствующей лагранжевой системе координат и для температуры Т верны формулы ди(дсо еб, и) ди(дсо Ц, и) дд,; ' дл где д;, — компоненты метрического тензора лагранжевой системы координат в начальном состоянии; б) компоненты рб в эйлеровой системе координат и температура Т для изотропной упругой среды определяются формулами Мурнагана ,, ди(дб,с;,,и), ди(д,,с;,л) дел, дв Это означает, что для задания конкретной модели упругой сре- ды достаточно задать одну функцию и(д;,и...
л). 16.10 Показать, что для анизотропной линейной термоупругой среды, в которой р" = А" ыеы+Вб(Т вЂ” То), где еы — - малы, максимальное число независимых упругих коэффициентов Абы равно 21. 16.11 Показать, что коэффициенты вязкости линейно-вязкой изотропной жидкости, см. соотношения (13.32), должны удовлетворять неравенствам — ЗР: 2 16.12 Записать неравенство диссипации (неравенство Клаузиуса) (13. 20) для жидкостей и газов так, чтобы вместо внутренней энергии в него входили: а) свободная энергия У'; б) энтальпия и в) термодинамический потенциал Гиббса Ф. Глава 3. Термодинамика сплошных сред 150 16.13 Используя неравенство диссипации (неравенство Клаузиуса), показать, что из предположений, что состояние частицы вязкого теплопроводного газа определяется величинами и, р, ел и д~, и что давление р и температура Т не зависят явно от производных Ир/й и Ыл/Ю, следует, что плотность внутренней энергии газа и не зависит от параметров еь и д и что выполняются ь равенства зда ди /1 ь х ь р=р —, Т= —,, Тв;л=~~-г еь — — д и',Т й.
др' дл' ' ~,р рТ 16.14 При обработке экспериментов для некоторой среды-- жидкости с пузырьками пара — было получено, что состояние этой среды определяется температурой, плотностью и изменением плотности во времени; вязкостью можно пренебречь, а для давления выполняется соотношение ~2 Р=ро+Н ~з где р = сопвФ. Предполагая обратимость процессов деформирования этой среды, показать, чго а) функции и и л не зависят от пзр/й~; б) функция и зависит от вр/Й квадратично.
16.15 Длп сред, в которых рб = — рд'~, причем величина р и другие параметры состояния среды зависят от температуры, плотности и ее изменения во времени, показать, что а) если р зависит от первой производной по времени от р и не зависит от высших производных, то динамические процессы деформирования обязательно сопровождаются диссипацией, т.
е являются необратимыми, Нд' ф 0; б) если свободная энергия зависит от производных от р по 1 до п-го порядка включительно, а процессы деформирования происходят без диссипации, то давление должно зависеть от производных от р по 1 до (и + 1)-го порядка, причем от производной И"+'р/Й"+' давление должно зависеть линейно. 16. Ограничения на вид определяющих соотношений 151 16.16 Уточненной моделью упругой среды можно считать модель, в которой внутренняя энергия и напряжения зависят не только от е; и л, но и от ~уье; .
Зависимость от е;, есть зависимость от первых производных перемегцений по координатам; уточнение состоит в учете влияния и вторых производных. Показать, что в уточненной модели необходимо учесть добавочный приток энергии Нд'*, см. 1 13. Получить выражение для Нд**. Вывести формулы, связывающие напряжения с производными от энергии и обобщающие формулы задачи 16.9. 16.17 Показать, что уравнения состояния вида Рм = — Рпо+тб, Р=Р(Р,Т), т; = т;, + 2ре... т;, = сопя1 противоречат второму закону термодинамики, если рассматри- вается среда, определяемая параметрами Т, р и еб. 16.18 Для произвольной анизотропной линейно-вязкой жидкости т" = Ао"'(Т) еы. Подсчитать максимальное возможное число независимых коэффициентов вязкости А"ы.
Воспользоваться принципом Онзагера. 16.19 Для анизотропной среды с теплопроводностью, подчиняющейся закону Фурье, подсчитать число возможных независимых коэффициентов теплопроводности. 16.20 Скорость производства энтропии в необратимых процессах диффузии и теплопроводности в смеси двух не реагирующих между собой газов, например, азота и водорода, в условиях механического равновесия определяется формулой Ы;я и И~ — Иг р — ' = — — цгадТ вЂ” 7 игЫ нг Т' Т где индексы 1 и 2 относятся к первой и второй компонентам; и — векторпотокатепла: х = р~(в~ — в) — векторпотокадиффузии — потока вещества первой компоненты относительно смеси в целом; ц~ и цз — химические потенциалы компонент, являющиеся известными функциями температуры Т, давления р и концентрации компонент с~ и сз, определяемые как отношения р,/р, где р = р~ + рз.
Глава 3. 'Гермодинамика сплошных сред 152 Если градиент давления равен нулю, то соя ~сг т,я Принимая в качестве „потоков" векторы и и .7, а в качестве „термодинамических сил" величины — игам Т и игаса н1 — нз Тз и используя соотношения Онзагера, найти связь между коэффициентом, определяющим возникновение потока тепла за счет градиента концентрации с (эффект Дюффора), и коэффициентом, определяющим возникновение потока вещества (диффузии) за счет градиента температуры (эффект Соре). 17.
Термодинамика сред с внутренним моментом количества движения Задачи этого параграфа в основном посвящены установлению различных определяющих сооношений, согласованных с первым и вторым законами термодинамики, см. Я 13 — 16, для сред, обладающих внутренним моментом количества движения. В качестве примеров рассматриваются среды типа нематических жидких кристаллов, см. ~ 12, с единичным вектором ориентации в, определяющим скорость внутреннего вращения Й= ах —.
Иа ач ' Считается, что удельная внутренняя энергия среды имеет вид $ 1, 1 и = йвращ+ й(Р~ л~ Чб~ и ~ ~lсп )~ аврам = г11 = йЛ . 2 2 Здесь Е,р — энергия внутреннего вращения, причем И(й = 0; Гг = гй — вектор внутреннего момента количества движения; р — плотность среды; л — удельная энтропия. Взаимодействие среды с электромагнитным полем рассматривается как внешний фактор, поэтому в задачи специально не включена термодинамика процессов намагничивания и поляризации, см. лишь задачу 17.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
