Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В силу уравнений движения среды И.в р — = р1л+ курбе;, Й где р = р" е,е — тензор напряжений, уравнение полного момента количества движения преобразуется в уравнение внутреннего момента количества движения (7.8) р — = рй+ яя" е; — ~~ '1 рб — р") (е, х е,) . осу Наличие внутреннего момента количества движения связано с тем, что сплошная среда с „микроскопической" точки зрения состоит из частиц, которые могут обладать согласованным моментом количества движения (например, за счет вращения), даже если макроскопическая скорость среды равна нулю, см.
рис. 12.1. Евб к=О Рис. 12.1. Внутренним моментом количества движения могут обладать гранулированные среды и суспензии, смеси с вращающимися частицами, среды с квантовыми н гнромагнитными свойствами, магнитные жидкости, жидкие кристаллы и другие среды. В систему уравнений механики сплошной среды необходимо включать определяющие уравнения для входящих в уравнения моментов количества движения величин. Глава 2. Общие законы н уравнения 12О По аналогии с теорией твердого тела вводят, иногда условно, угловую скорость Й внутреннего вращения такую, что Л = 1 Й, 1 — заданный тензор внутренних моментов инерции среды, рассчитанный на единицу массы.
Для сред с гиромагнитными свойствами М = 7 Л, где т — тенэор гиромагнитных коэффициентов, М вЂ” намагниченность среды. Вид массового момента сил зависит от физики явления. Например, рЛ = М х Н для намагничивающихся сред в магнитном поле Н, рЛ = Р х Е для поляриэующихся сред в электрическом поле, Р— вектор поляризации, Š— напряженность электрического поля. Тензор С~ может быть связан с тенэором градицитов ЧЙ, и, кроме того, с учетом упругости внутренних поворотов, с "7в„ где ин — три ортонормированных вектора, составляющих ортогональную матрицу внутренней ориентации. Примером сред с внутренней ориенитацией могут служить нематические жидкие кристаллы, в которых имеется достаточно упорядоченное расположение длинных молекул, см.
рис. 12.2. Иематнческий жидкий кристалл Твердый кристалл Изатропная жидкость Рис, 12.2. В моментной теории упругости тензор (3 считается зависящим от вторых производных вектора перемещений т7;Т7 юы например от ~7;(гоев),. Выделенное направление в нематическом жидком кристалле можно характеризовать одним вектором ориентации и, являющимся в общем случае функцией времени и координат, или, более точно, тензором пп с компонентами и;и,, если свойства жидкого кристалла в направлениях п и — в одинаковы. 12. Уравнения моментов количества движения 121 Существуют модели сплошных сред, в которых антисимметричная часть тензора напряжений р выражается через разность (й — ~и), где ш — вектор вихря среды. Отметим, что этот вектор не зависит от ~коро~ти вращения системы отсчета как абсолютно твердого тела, поэтому его присутствие среди аргументов функций, определяющих тензор напряжений, допустимо, не противоречит аксиоматическому принципу независимости уравнений состояния сплошной среды от выбора системы отсчета, движущейся как твердое тело, в том числе неинерциально.
Вообще говоря, тензор напряжений при наличии внутреннего момента количества движения и распределенных пар может быть и симметричным. Задачи 12.1 На основании закона сохранения момента количества движения произвольного индивидуального объема сплошной среды показать, что можно ввести тензор моментных напряжений Я = ф'е,е, такой, что Ч„= Ч'п„~' = ф~е;, где ׄ— поверхностная плотность моментов поверхностных пар, действующих на площадке с нормалью и. 12.2 Вывести уравнения моментов количества движения. 12.3 Получить из закона сохранения момента количества движения сплошной среды уравнения Эйлера для угловой скорости вращения твердого тела с одной неподвижной точкой в проекциях на оси координат, связанные с телом. Считать, что внутренний момент количества движения отсутствует.
12.4 В моментной теории упругости рассматриваются модели, в которых учитываются моменты распределенных поверхностных пар Я,о а внутренний момент количества движения и распределенные массовые пары отсутствуют. Для таких сред: а) с помощью уравнений моментов количества движения исключить из уравнений движения антисимметричную часть тензора напряжений; б) показать, что в случае однородного напряженного ~остояния, когда тензор моментных напряжений не зависит от координат, тензор напряжений симметричен. 122 Глава 2.
Общие законы и уравнения 12.5 Свободно подвешенный железный стержень, первоначально покоящийся и ненамагниченный, будучи помещенным в магнитное поле Н, параллельное его оси симметрии, одм1 1и нородно намагничивается до величины М. В процессе намагничивания М (~ Н. Стержень начинает вращаться вокруг оси с угловой скоростью щ (гиромагнитный эффект Энштейна— де Гааза). Известны масса стержня т и его момент инерции 1 относительно оси вращения. Используя закон сохранения полного момента количества движения, найти гиромагнитный коэффициент 7 = у',;/3, считая тензор гиромагнитных коэффициентов 7 шаровым. Задачи 12.6 — 12.16 посвящены установлению возможного вида. различных определяющих соотношений для сред с внутренним моментом количества движения.
12.6 Производная Яуманна от тензора Т, см. задачу 5.33, определяется формулой где е; — базис неподвижной пространственной системы координат; Тб — компоненты тензора Т в этом базисе, а величины м;, = 0.5 (анну — '7 н,) суть компоненты тензора вихря. Для абсолютно твердого тела, тензор моментов инерции которого относительно центра масс есть 1, показать, что 11,~1 = О. 12.7 Ротатором называется абсолютно твердое тело, тензор моментов инерции которого относительно центра масс имеет одно нулевое собственное число, а остальные два его собственных числа равны между собой.
а) Что представляет собой ротатор геометрически? б) Связать угловую скорость Й ротатора, считая ее по определению ортогональной его оси и, со скоростью изменения ориентации ротатора со временем Ии/Й. Векторы й, а и 6п(М образуют правую тройку. Проверить, что й не меняется при замене в на -п. 12З 12. Уравнения моментов количества движения 12.8 Показать, что если внутренний момент количества движения отсутствует, то момент количества движения ротатора К, см.
задачу 12.7, пропорционален вектору его угловой скорости Й с некоторым постоянным коэффициентом. Доказать, что этот коэффициент пропорциональности не зависит от времени. 12.9 Используя теорию тензорных функций, см. параграф 6, установить общий вид функции, определяющей зависимость намагниченности М нематического жидкого кристалла с вектором ориентации п от магнитного поля Н, от тензора пп и метрического тензора и. Считать, что функция М зависит от Н линейно и однородно. Найти произведение М х Н.
12.10 Найти обп1ий вид тензора моментных напряжений Я, зависящего от тензора ~7Й и от метрического тензора и. Считать зависимость Я от л7Й линейной и однородной. Разделить тензор с1 на симметричную и антнсимметричную части. 12.11 Найти общий вид тензора моментных напряжений Я как функции тензоров х7Й и пп, где и — вектор ориентации среды, а также метрического тензора и. Считать зависимость тензора Ц от 17Й линейной и однородной. Какие упрощения произойдут при замене ~7Й на 17п, если ~п~ = 1? 12.12 Для тензорной функции (3('7п,п,а,н), линейной и однородной по первому аргументу, найти скалярный „потенциал" Ц~7п,пп,д) такой, что справедливо равенство и бь Я = — р нЬ где сб" — компоненты тензора Леви †Чиви;~в~ = 1. 12.13 Используя теорию тензорных функций, установить общий вид антисимметричной части тензора напряжений р, по предположению, зависящей от вектора (Й вЂ” ю), тензора пп.
метрического тензора и и тензора Леви — Чивнта а, считал:юиисимость от (Й вЂ” си) линейной и однородной. 124 Глава 2. Общие законы н уравнения 12.14 В теории нематических жидких кристаллов используется вектор ориентации в, ~в~ = 1. Он имеет только две независимые компоненты, определяемые из векторного уравнения внутеннего момента количества движения. Считая, что имеют место определяющие уравнения, см. задачи 12.7 — 12.9, 12.13, Л = 10 = 1(в х — ), — = О, рЛ = М х Н, (3 = О, Ни~ Н й ' ~Й М = оН+ рв(в Н), рб — рн = 2ебь (ады+ 6иьн~) (й~ — щ~), для намагннчивающегося жидкого кристалла: а) составить уравнение внутреннего момента количества дви- жения; б) показать, что при а + 6 = 0 проекция этого уравнения на направление в является тождеством; в) выразить при 6 = — а антисимметричную часть тензора напряжений р через производную Яуманна И.в Ори= — — их п, Й где м — вектор вихря.
12.15 Массовая сила рР, действующая на единицу объема намагничивающегося тела, равна рР = 0.5(М ЧП, — НсЧМ,). Используя в случае намагничивающегося нематического жидкого кристалла с ориентацией п зависимость М = оН+Ди(в Н) намагниченности М от магнитного поля Н, найти силу рР, считая о и р' постоянными. 12.16 В модели нематического жидкого кристалла с ориентацией и симметричный тензор вязких напряжений т есть функция от тензора скоростей деформаций е, тензора пп и метрического тензора 3. а) Найти общий вид этой функции. б) Найти вид этой функции, если она линейна и однородна по е. 12.17 Между двумя параллельными пластинами, одна из которых движется с постоянной скоростью, а другая неподвижна, 12.
Уравнения моментов количества движения 125 огушествляется такое установившееся (сдвиговое) течение среды, что его компоненты скорости в декартовой системе координат, ось тз которой перпендикулярна пластинам, имеют вид г1 = 2ехз. вз = оз = О. е = соввФ. Среда представляет собой намагничивающийся нематический жидкий кристалл с ориентацией и. Система помещена во внешнее магнитное поле, индуцирующее однородное постоянное поле Н внутри потока. Используя уравнение внутреннего момента количества движения и определяющие уравнения д,п М=оН+~3п(п Н), Я = О, й= пх— р = — р8+ 2ре+ 0.5Лсбь(6~ — н п~)(й — оз )е'ез, где е — тензор скоростей деформаций, ы — вектор вихря потока, р — давление, найти допустимые стационарные однородные положения ориентации при: а) Н й' нз; б) Н 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
