Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В ньютоновской механике такими законами являются: — закон сохранения массы; — закон сохранения количества движения; — закон сохранения момента количества движения; — закон сохранения энергии (первый закон термодинамики); — закон сохранения энтропии (второй закон термодинамики). Эти законы обычно формулируются (постулируются) в интегральной форме, для конечных индивидуальных объемов сплошной среды.
Для движений, описывающихся гладкими функциями, законы сохранения приводят к дифференциальным уравнениям, выполняющимся в каждой точке области, занятой средой. Если в этой области имеются поверхности разрыва параметров среды, то в силу законов сохранения эти разрывы параметров связаны между собой некоторыми соотношениями, называемыми условиями на поверхности разрыва. Ниже приводится краткая сводка общих законов и уравнений механики сплошной среды. Более подробно они рассматриваются в следующих параграфах этой главы, а также в главах 3 и 4.
7. Сводка общих законов -„~+ рд)н« = О; Н Ж (7.6) 2) уравнение движения р — „"=рг+Tр"е;; дг (7.7) 3) уравнение моментов р — = РИ + ~7Ябе; + (е; х е,)р"; (7.8) 4) уравнение энергии Рд1 2 + и = (г ' «)Р+ т~~(Р «~) + Р ~ ~19'~; (7.8) 5) уравнение энтропии дв дявнао- 17 1 + див Рд1 Р д1 ' Рд1' †' — > О.
д1 (7.10) В соотношениях (7. 1) — (7. 8) использованы следующие обозначения: е' — индивидуальный объем; Š— граница объема $', в — внешняя нормаль к до; 1 — время; р и « — плотность и скорость среды соответственно; лг — массовая плотность внешних по отношению к объему $' массовых сил, действующих на среду; р„— поверхностная плотность поверхностных снл, действующих на границе Е; г -- радиус — вектор точки; Й вЂ” массовая плотность внутренних моментов количества движения; Ь и ߄— массовая и поверхностная плотности моментов внешних массовых и поверхностных пар; и и в — массовые плотности внутренней энергии и энтропии; о„' и Ид„'„,/д1 — поверхностная и массовая плотности притоков энергии в единицу времени за вычетом работы макроскопических сил; д,Я/Ж вЂ” приток энтропии к объему Р' извне в единицу времени; д;Я/д1 — производство энтропии в единицу времени.
Подробно все зти понятия рассматриваются в следующих параграфах. Для гладких движений эти законы эквивалентны следующим дифференциальным уравнениям: 1) уравнение неразрывности Глава 2. Общие законы и уравнения 88 (7.11) Ргигп = т+ Рги2п1 В+Ргп — Ргиг иг =Ргп — Ргигпиг,' (7.12) М+ Я~п Ргйгигп = Ягп Ргйгигп; (7.13) 2 ,2 ~'+Р,п иг — Р,( —,+иг)гьп — В,п = г = Рг иг — Рг ~ — + иг) игп — Чг„; (7.14) Ргиг вг — Ргигпвг + вги,' — вгиу = 2 3 (7.16) Здесь индексами 1 и 2 отмечены значения параметров по разные стороны поверхности разрыва Ев; 22 — единичный вектор нормали к Ев, направленный в сторону 1. Условия (7. 11) — (7.
15) написаны в „собственной" системе координат, относительно которой величина скорости поверхности разрыва для данной точки поверхности в данный момент времени равна нулю. Через т. 22, М и И' обозначены поверхностные плотности на Ев внешних для среды притоков массы, количества, движения сил. момента количества движения и энергии, 11 — плотность распределения на Ев изменения энтропии за счет внешних притоков тепла и массы, а также роста энтропии за счет необратимости процесса перехода через скачок (в единицу времени).
Если на Ев нет внешнего притока тепла и массы, то согласно второму закону термодинамики й > О. В уравнениях (7. 6) — (7. 10) использованы следующие обозначения: ро) — компоненты тензора напряжений; Tу — ковариантная производная: е, — векторы базиса; ()" — — компоненты тензора моментных напряжений; д*' — — компоненты вектора потока энергии (без работы макроскопических сил); ву — компоненты вектора потока энтропии; РИ,в„„„/Й вЂ” 1(гувг — приток энтропии извне к единице массы в единицу времени; 4в/й — массовая плотность производства. энтропии в.единицу времени.
В каждой точке на изолированной поверхности разрыва Ев, как вытекает из универсальных законов сохранения (7.1)— (7.5), выполняются следующие соотношения, называемые условиями на поверхности разрыва: 8. Уравнение неразрывности 8. Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности Уравнение неразрывности есть следствие закона сохранения массы. Оно может быть записано в разных формах. При зйлеровом описании движения используются формы (8.1) или (8.2): др — + Жч рн = О, дС ор — +рйтн= О. оС (8.1) (8.2) При лагранжевом описании можно использовать одну из форм (8. 3) — (8.
7): — + р с)'1т и = О, др дС (8.3) где Жч н определяется через производные по сопутствующим лагранжевым координатам ~', рбеС!) —" .(! = Ро, (8.4) где ро, р — плотности, х', я' — пространственные координа- ты индивидуальной точки в начальном и конечном (текущем) состояниях, я, '= х'(йз, С): Ръуд = РоЛ (8.8) Ро (8.6) (8.7) 1 — 21с(й) + 41з(й) — 81з(й) где 1ь(й), 1ь(й) — инварианты тензоров деформаций Грина й и Альманси е, определяемые формулами где д = сСеС Од;Д, д = с)еС'Од, О; дб, д;, — компоненты метриче- ских тензоров в лагранжевой системе координат в начальном и конечном состояниях; Глава 2. Общие законы и уравнения 90 11ри использовании в качестве тензора деформации других тензоров соответственно получаются другие формы уравнения неразрывности.
Для несжимаемой среды по традиции уравнением неразрывности называют условие несжимаемости Йчи = О, с1еС)( —..)! = 1, ь/д = ~/д, и т.д. (8.8) Закон сохранения массы для несжимаемой среды дает — "'=О, р(Е,С)=р.Ю. (8.9) Задачи 8.1 Вывести формулу дифференцирования по времени интеграла по подвижному объему $' — А ИР = — ~Л'+ Ап„йт, (8.10) где о„ вЂ” проекция скорости точек поверхности Е, ограничива- ющей объем $', на внешнюю нормаль к Е. 8.2 Написать закон сохранения массы для конечного неподвижного пространственного объема, через который протекает среда. 8.3 а) Вывести уравнение неразрывности в переменных Эйлера из закона сохранения массы индивидуального объема.
б) Написать его в декартовой системе координат, раскрыв выражения пр/йС и Йч и. в) Вывести заново зто уравнение, рассматривая баланс массы для малого объема в виде прямоугольного параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям: изменение массы в неподвижном пространственном объеме равно величине массы, притекаюгцей через его поверхность. 8. Уравнение неразрывности 8.4 Доказать, что йч и (= ~7,о') равна скорости относительного изменения объема в малой окрестности рассматриваемой точки среды, движущейся со скоростью н.
8.5 Движение называется потенциальным, если существует функция ~р такая, что н = нгаб ~р. Написать уравнение неразрывности для потенциального движения сжимаемой и несжимаемой среды в виде уравнения для потенциала ~о. 8.6 Вывести уравнение неразрывности в переменных Эйлера а) в цилиндрической системе координат; б) в сферической системе координат, рассматривая баланс массы для злементарного координатного объема, см. рис.
8.1. я О 'р Р ,де ~ б) а) Рис. 8.1. 8.7 Записать уравнение неразрывности в переменных Эйлера в произвольной криволинейной ортогональной системе координат, используя физические компоненты вектора скорости. Вывести из него уравнение неразрывности а) в цилиндрической системе координат, б) в сферической системе координат. 8.8 Зависать уравнение неразрывности для одномерных движений с плоской, цилиндрической и сферической симметрией.
При таких движениях все параметры зависят лишь от одной пространственной переменной г и времени 1, причем поверхности г = сопМ в первом случае — плоскости, во втором — цилиндры, в третьем — — сферы; кроме того, для скорости отлична от нуля только составляющая вдоль координатной линии г. Э2 Глава 2. Общие законы и уравнения 8.Э Используя условие равенства массы любого индивидуального объема в начальном и конечном состояниях, вывести уравнение неразрывности в переменных Лагранжа в формах (8.4) и (8.5), приведенных в начале этого параграфа. 8.10 Вывести уравнение неразрывности в переменных Лагранжа в формах (8. 6) и (8. 7), связывающее изменение плотности с инвариантами тензоров деформации.
Показать, что они совпадают в случае малых деформаций в линейном приближении. 8.11 Имеется плоское тече- ние слоя однородной несжимаемой жидкости, ограниченного Х с одной стороны неподвижным непроницаемым дном г = — 6(х), с другой стороны — свободной поверхностью л = ~(х, 1), где х, у, г декартовы координаты. В плоском течении все его характеристики не зависят от одной декартовой координаты у и и„= О. Введя среднюю по глубине г скорость о = и (я, г) и считая ее известной, получить уравнение для Дя, ~), рассматривая закон сохранения массы для объема, заключенного между двумя близкими поперечными сечениями. 8.12 В трубе со слабо деформирующимися стенками, площадь поперечного сечения 5(я, 1) которой мало отличается от исходной Яо(я) = з(я,0), где х — координата вдоль оси трубы, течет слабосжимаемая жидкость, плотность р(х, 1) которой мало отличается от ро = сопв$.
Считал, что скорость о вдоль оси трубы однородна по сечению и мало отличается от но(я) = и(и, О), составить линеаризованное уравнение неразрывности, рассмотрев массу жидкости, протекающую через поверхность объема, заключенного между двумя близкими поперечными сечениями, и изменение массы внутри этого объема. 8.13 Для индивидуального подвижного объема Р доказать: — рА(х',~) ~й'= / р — ~-л — ) Н$', $' где р — плотность среды; ИА/й.— полная производная по 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
