Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Для тензоров второго ранга аналитические тензорные функции Т = Г(Б) определяются разложениями в степенные ряды Т = аоц+ агЯ+ агЯ +..., С использованием смешанных компонент Т и Б это соотношение записывается в виде 7" = Е,'(5~~) = аоо,' + аг5' + аг5ь5г + где о,' — символы Кронекера — смешанные компоненты тензора и. Они одинаковы в любом базисе, поэтому и можно не отмечать специально среди аргументов функции Г(Б). 80 Глава 1.
Основные понятия По теореме Гамильтона — Кэли любая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена, Б — А~ Б + 1гБ — 1зК вЂ” = б, где 1ь, /с = 1,2,3, — сумма главных миноров матрицы (5,') порядка Е Это исключает степени матрицы (5,'), большие второй. Распространим определение группы симметрии тензоров в точке на определение группы симметрии тензорных полей. Группой симметрии С набора тензорных полей Т1(х'),...,Тм(х'), среди которых имеется поле метрического тензора и, называется множество преобразований декартовых систем координат (х'), сохраняющих вид компонент каждого из этих тензорных полей. Так, для контравариантных компонент тенэорного поля Т(х') ранга г, как функций переменных х', должно выполняться Т'"-'"(хл) е' ...е' = Т""' (хл) е' ...е' и ''' 3„ й ''' 1~~ или Ь" ... Ь'" Т""'"(а~,(хн — с')) = Т""'"(х") при преобразованиях х" = Ь,'хз+ с', где (а' ), (Ььй) — взаимно обратные ортогональные матрицы.
Говорят, что тензорное поле инвариантно относительно группы С. Тензор и инвариантен относительно полной группы движений евклидового пространства. Тензорное поле, инвариантное относительно группы сдвигов начала координат х" = х'+ с', называется однородным. Основываясь на понятии тензорной функции, укажем способ построения тензорных полей, инвариантных относительно заданной группы С преобразований х" = Ь,'х1, оставляющих на месте начало координат О.
Пусть С вЂ” группа симметрии набора тензоров Ты..., Ты, заданных в точке О, и г — радиус-вектор произвольной точки Р относительно О. Составим в точке О тензорную функцию Т = х'(и, Ты..., Тч), компоненты которой, очевидно, как функции компонент радиус-вектора г, удовлетворяют необходимым условиям симметрии. Остается перенести параллельно (без изменения компонент) тензор Т в точку Р. 81 б. Симметрия и тепзорные функции Задачи 6.1 Найти собственные числа матрицы поворота на угол у вокруг оси хз < соа у — а1п ~р О нп у соя ~р О О О 1 6.2 Установить общий вид матрицы поворота вокруг единичного вектора и на угол у.
6.3 Показать, что произвольная ортогональная матрица третьего порядка имеет хотя бы одно собственное число, равное 1 или — 1. Выяснить, какому преобразованию отвечает матрица 6.4 Показать, что произвольная ортогональная матрица может быть представлена либо в виде матрицы поворота вокруг некоторой оси, см. задачу 6.2, либо в виде произведения матрицы поворота на матрицу отражения в плоскости, перпендикулярной той же оси, см.
задачу 6.3. 6.5 Найти собственные числа антисимметричного тензора второго ранга. Сравнить с собственными числами ортогональной матрицы задачи 6.1. 6.6 Используя разложения функций одного переменного Цх) = е ', Г(х) = 1п(1+ х), Г(х) = (1 — х) в степенные ряды по х, определить соответствующие аналитические тензорные функции Р(Б), заменив степени переменной х на такие же выражения относительно тензора Я, см. введение к настоящему параграфу. 6.7 Найти связь главных значений и собственных векторов тензоров второго ранга Я и Т, есин зависимость Т = Г(8, Я) представляет собой аналитическую тензорную функцию от Я.
82 Глава 1. Основные понятия 6.8 Показать, что де1(е ) = е"~, где бег и 1г означают соответственно определитель и след матриц, составленных из смешанных компонент тензора второго ранга Я. 6.9 Показать, что если Я вЂ” антисимметричная матрица, т. е. 5,адье = — Я,"дб. то ен — ортогональная. Найти такую матрицу Б, чтобы матрица е~ была равна матрице поворота задачи 6.2.
6.10 Показать, что если Б — симметричная матрица, т. е. 5 д'" = 5,"до, то значения любой аналитической матричной функции Г(Я) также симметричны. 6.11 Пусть все главные значения Л„г = 1, 2, 3, тензора второго ранга Я вещественны и различны. Показать, что для всякой тензорной функции Г(8, Б), аналитической по Я, имеет место формула Лагранжа-Сильвестра (Б — Лз8)(Я вЂ” Лз8) е( ' ) (л л Ил ) Г(л*) + + (8 — Л 8)(8 — Л,8) (8 — Л,8)(8 — Л 8) .Р(Лг) + Е"(Лз) (Лз — Лз)(Лз Л~) (Лз — Л1)(Лз — Л,) 6.12 В задаче 6.11 исследовать случаи совпадающих главных значений тензора Я при наличии трех линейно независимых собственных векторов. 6.13 Найти группу симметрии набора тензоров (8, е), где 8 — метрический тензор, е — тензор Леви — Чивита.
6.14 Найти в ортонормированном базисе е; группы симметрии наборов тензоров а) (8, ез); в) (8, езез) — тРансвеРсальнаЯ изотРопиЯ; г) (8. е, ез); Д) (8, е, езез), где 8 — метрический тензор, е — тензор Леви-Чивита. 6.15 Найти группу симметрии тензоров 8, Я, где Я вЂ” симметричный тензор второго ранга общего положения, 8 — метрический тензор (ортотропия). Рассмотреть случаи совпадающих собственных значений тензора Б.
6. Симметрия и тензорные функции 6.16 а) Найти все тензоры второго ранга, инвариантные относительно группы симметрии метрического тензора и. б) Известно, что существуют три линейно независимых тензора четвертого ранга, инвариантных относительно полной группы вращений. Составить их компоненты из компонент тензора и. 6.17 Для групп симметрии, найденных в задаче 6.14, указать все симметричные тензоры второго ранга, ипвариантные относительно этих групп.
Указать, для каких групп существуют инвариантные антисимметричные гензоры второго ранга. 6.18 Найти все симметричные тензоры второго ранга, инвариантные относительно группы ортотропии, заданной тензорами и и Я, см. задачу 6.15, и составить их из тензоров ц и Б. 6.19 Показать, что матрица, обратная к невырожденной матрице ковариантных компонент тензора второго ранга, является матрицей контравариантных компонент некоторого нового тензора, т. е. определяет тензорную функцию.
6,20 Известно, что существует десять линейно независимых тензоров четвертого ранга, инвариантных относительно группы трансверсальной изотропии, см. задачу 6.14 в). Составить их компоненты из компонент тензоров и и езез. 6.21 Найти общий вид тензорных функций а) а= Г(Ь,6); б) с = Р(а, Ь,6), где а, Ь и и — векторы, 6 — метрический тензор. 6.22 Доказать, что тензорная функция в задаче 6.21 а) имеет скалярный потенциал Ф(Ь, и) такой, что а; = дФ/дЬ'. 6.23 Пусть тензорная функция Г(Я, ц), где Я вЂ” симметричный тензор второго ранга, и — метрический тензор, считающийся постоянным, имеет вид Р = (Ь~дб+ ЬгЯ0+ Ьзд"'элЯ~)е'я', где коэффициенты йм йз, йз являются функциями инвариантов тензора Я.
Показать, что необходимые условия существования Глана 1. Основные понятия 84 скалярного потенциала функции Р, Е; = дФ/дуб можно пред- ставить в виде 1 дй 1 дйв — — — — — =О, одзи Д д7 о, )3 = 1, 2, 3, где 11 = Ял, 12 = Я'.35',,13 — — 5,'умь з~о 6.24 Выписать вид тензорных функций с~, н1пЯ, Яз, используя формулу Лагранжа-Сильвестра, см. задачу 6.11. Сравнить с разложением в степенные ряды. Найти скалярные коэффициенты а, в и с представлений этих функций в виде а8+ а8+ сЯ~, см. введение к настоящему параграфу. б) однородного эллипсоида, используя главные оси.
6.26 Показать, что тензор моментов инерции относительно центра масс однородного правильного тетраэдра — шаровой— пропорционален метрическому тензору 8. То же — — для куба и октаэдра. Использовать соображения симметрии. 6.27 Найти общий вид скалярного. векторного и тензорного второго ранга полей, инвариантных относительно группы симметрии из задачи 6.14 г). '!'акие поля называються осесимметричными. Как изменятся результаты для остальных групп из задачи 6.14? Записать результаты в ци.пиндрической системе координат. 6.28 Найти обп1ий вид скалярного, векторного и тензорного второго ранга полей, инвариантных относительно полной группы вращений и отражений.
Такие поля называются сферически симметричными. Записать результаты в сферической системе координат. 6.25 Вычислить тензоры моментов инерции относительно центра масс для а) однородного шара, используя соображения симметрии; Глава 2. Общие законы и уравнения механики сплошной среды 7. Краткая сводка общих законов и уравнений В этой главе применительно к сплошным деформируемым средам рассматриваются общие, или универсальные, т. е. выполняющиеся для всех сред, физические,,законы сохранения" и вытекающие из них непосредственно свойства характеристик, описывающих состояние и движение всевозможных сред, а также уравнения, которым они удовлетворяют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
