Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тензор деформаций Грина представляегся тогда в виде 1(дх' дх' — 21 <~~а д~~3 дб — дад е=е ле е, .а.~3 где е" — базис, взаимный базису е„см. йЗ; д л = е . е, компоненты метрического тензора д; = е, ез вычисляются в точке х = х(С,1).
Тензор деформаций Альманси представляется в виде д~а д~~З дх' дх< Решение некоторых задач существенно упро<цается, если вместо декартовой использовать подходящую криволинейную систему координат. Например, колебания сферического пузыря в бесконечной массе жидкости удобно изучать при помощи сфериче'- ской системы координат. Формулы, справедливые в декартовой системе, требуют некоторой модификации при переходе к криволинейной системе.
Она необходима в связи с тем, что базис е< = дг/дх< криволинейной системы координат (х'), вообще говоря, зависит от точки х пространства. В частности, базис е,(х(с,1)) в точке, где в момент 1 находится частица с, вообще говоря, отличается от базиса е<(х(с, 0)) = е,(с) в точке, где частица находилась в момент 1 = О. Здесь, как обычно, в каче~тес лагранжевых координат частицы используются пространственные координаты ее положения в начальный момент, с = х(с, 0). Вектор перемещения прн лагранжевом описании обычно раскладывают по базису е<(с) 4.
Деформация, скорость деформации, вихрь где е — базис, взаимный базису е„; д,' = е, е,; компоненты метрического тензора д и = е ен вычисляются в точке ( = ~(х,1). Выражения для компонент тензоров деформаций через поле перемещения остаются прежними, однако, с заменой частных производных ковариантными: 1 а и = — 1 Ф ил + Фп и„+ Ф и ' Фр и „т~, 2 с;, = — ~~,ю, + ~7,кц — %ю '7,юь), 2 ~ где в ковариантной производной Ф используются символы Кристоффеля Г~~„((), определяемые по обычным формулам через компоненты метрического тензора дн (~), см. параграф 3.
Если относительные удлинения и повороты всех материальных элементов малы, то используется тензор малых деформаций. Его можно вычислять любым из двух способов: яб1 = — (Ф ив+ ~7ди 1 е е или яб1 = — яи~ + ~7 кц) е'е'. 2 ~ 1 2 Компоненты тензора скоростей деформаций выражаются через поле скоростей по формулам 1 е;, = — Яо + ~7х о,) . 2 Сопутствующая система координат. В некоторых случаях оказывается полезной специальнзл криволинейная система координат, которая сама определяется движением сплошной среды и называется сондтисгввуюн1ей. Как и всякая система координат, она ставит в соответствие точке х пространства три числа, а именно, лагранжевы координаты ~ = ~ 1х,1) той частицы, которая в текущий момент 1 находится в точке х.
Таким образом, зта система координат своя в каждый момент 1: одной и той же точке пространства в разные моменты соответствуют разные тройки чисел; строго говоря, их следовало бы обозначить (411,1, 'с1х,1, 'с1з,1). При этом координатные линии ~ в моменты 11 ~ 1з занимают различные положения, но проходят, через одни и те же частицы; поэтому такая система 52 Глава !. !!гневные попятив координат и называется гопутствуюи!сй !движении> сплошной среды). Ее базис определяется уравнением дг дг дя' дя' Д~~ дя! д~о д~а Тензор деформаций Лльманси в сопутствуя>щей системе координат представляется в виде 1 в>> = (у!> у>>) ~ 2 и = в!> е' е', где е — базис, взаимный базису е„, д; = е, е — компоненты метрического тензора.
Как и в любой системе координат, компоненты в! выражаются через поле перемещения по формуле Ц = — ~Ф!Ы, + Ф и>, — ~7>чв Ф,>вь) . 2 Компоненты тензора Альманси в базисе е' совпадают с компо- нентами тензора Грина в базисе е": в д = в д. Потенцивльность и условия совместности В некоторых важных случаях поле скорости и течения сплошной среды определяется одной функцией !в в виде в = ясаку>. В этом случае векторное поле и называется потеициальпь>л>, а функция !в — его потенциалом. Далеко не всякое векторное поле и потенциально.
Ясно, что для потенциальности необходимо, чтобы три компоненты векторного поля удовлетворяли некоторым условиям, поскольку эти три функции выражаются через одну — потенциал. Необходимым условием потенциальности поля и является соотношение го$п = 0; оно также называется условием совиестноспги компонент потенциального поля в. Если поле в рассматривается в односвязной области, то это условие и достаточно для су>цествования однозначного потенциала.
4. Деформация, скорость деформации, вихрь Условия совместности для компонент тензора малых деформаций. Аналогично соотношению и = ягад у шесть компонент тензора малых деформаций и выражаются через три компоненты поля перемещения ш; и поэтому не могут быть произвольными. Они удовлетворяют соотношениям, которые называются уравнениями или условиями совместпности деформаций. В декартовых координатах эти уравнения имеют вид дг , дг .. дг -, дг „.
дх;дх . дхьдх~ дхьдх дх;дх~ Эти условия необходимы, а в случае односвязной области и достаточны для выполнения соотношений при некотором векторном поле г». Другими словами уравнения совместности деформаций — это условия того, что эти деформации можно получить в результате некоторого перемещения. Во всех задачах этого параграфа (х;) — пространственные, эйлеровы, а (ф ) — лагранжевы координаты. За лагранжевы координаты частицы всюду принимаются пространственные координаты точки, в которой частица находилась в начальный момент — в недеформированном состоянии. 11ространственная система координат — декартова, если не оговорено противное.
Задачи Деформации. Декартовы координаты. 4.1 В результате перемещения частицы ф; ~г; ~з) среды оказались в точках с координатами хг =6+а6, хг=сг, хз=1з, а=сопв1 относительно пространственной декартовой системы координат (х,). Такая деформация называется однородным одноосным растяжением в направлении оси хг. Глава !. Основные понятия Что произошло в результате деформации с материальными элементами, первоначально расположенными параллельно и перпендикулярно координатной оси хы при а > О и при — 1 < а < О? 4.2 Для одноосного растяжения, см.
задачу 4.1, найти поле перемещения в лагранжевом и в эйлеровом описании и вычислить компоненты тензоров деформаций Грина и Альманси. 4.3 а) Материальный элемент с началом в частице ~ соответствует вектору д~. Зная компоненты й и тензора деформаций Грина в этой частице, найти относительное удлинение материального элемента в результате деформации.
б) Для одноосного растяжения, см. задачу 4.1, найти относительные удлинения материальных элементов, которые в состоянии до деформации были перпендикулярны оси хз и при этом составляли углы ~п/4 с осью х~. 4.4 а) Два материальных элемента с началом в частице ~ соответствуют векторам Н~~ и Н~~ . Зная компоненты с„п тен- В) (г) зора деформаций Грина в этой частице, найти, какой угол образуют материальные элементы после деформации. б) Для одноосного растяжения, см. задачу 4.1, найти, какой угол' образуют после деформации материальные элементы, которые в состоянии до деформации были перпендикулярны оси хз и при этом составляли углы ~я/4 с осью х~. 4.5 Найти относительное изменение объема при одноосном растяжении, см. задачу 4.1. 4.6 В результате перемещения из начального состояния частицы ф; ~з, ~з) среды оказались в точках с координатами х~ — — ~з, хз — — — (!+6)(~, хз = ~э, б = сопя! > — 1 относительно пространственной декартовой системы координат.
а) Что произошло в результате деформации с материальными элементами, первоначально расположенными параллельно координатным осям? б) Найти тензоры деформаций Грина и Альманси. в) Можно ли считать тензоры Грина и Альманси совпадающими при ~6~ << 1? Сравните с результатами задачи 4.2 при а << 1.
4. Деформация, скорость деформацсп|, вихрь 4.7 В результате перемещения из начального состояния ча- СтИЦЫ ф: ~2, ~З) СРЕДЫ ОКаэаЛИсЬ В тОЧКаХ С КООРДИНатаМИ х1 = ~1+ ав1пЯ1), х2 — — (2, хз =~э, где а = сопв1, ~о~ < 1, к = сопв1, относительно пространственной декартовой системы координат. Показать, что в малой окрестности каждой точки среды произошло одноосное растяжение, см. задачу 4.1. Чему равно относительное удлинение материального элемента с началом в заданной точке, который до деформации был параллелен оси х1? Вычислить тензор деформаций Грина. Указать частицы, в малой окрестности которых деформация не происходит. 4.8 В результате перемещения из начального состояния частицы среды ((1, ~2, ~з) оказались в точках с координатами х,=~;+а~;.
1=1, 2, 3, а=сопв1) — 1 относительно пространственной декартовой системы координат. Показать, что относительное удлинение всех материальных элементов одинаково, поэтому такая деформация называется всесторонним растяжением или сжатием. При каких значениях а происходит растяжение, при каких — сжатие? 4.9 Простым сдвигом называется деформация сплошной среды, отвечающая закону движения х1 = с1 + п(1)~2~ х2 = с2~ хз = ьз, где (х;) — пространственная декартова система координат; (~ ) — лагранжева система координат; а(1) -- функция времени, причем а(0) = О.
Считая функцию а(1) заданной, найти тензоры деформаций Грина и Альманси. Найти их главные компоненты и главные оси. Упростить формулы в случае ~а(1)~ << 1. 4.10 Найти компоненты поля перемещения в лагранжевом и эйлеровом описании при простом сдвиге, см. задачу 4.9. Определить компоненты тензоров деформаций Грина и Альмаиси, выразив их через производные поля перемещения. Найти тензор малых деформаций. Глава 1. Основные понятия 4.11 При простом сдвиге, см.
задачу 4.9, найти а) относительное удлинение материальных элементов с началом во всевозможных частицах С и до деформации параллельных ОСЯМ Х1, Х2 И ХЗ,' б) всевозможные материальные элементы, для которых относительное удлинение в момент 1 равно нулю. 4.12 Найти относительное изменение величины малого объема среды при простом сдвиге, см. задачу 4.9. Провести вычисления двумя способами — используя инварианты тензора Грина и инварианты тензора Альманси. 4.13 В некоторой точке среды, в которой произошла малая деформация, тензор малых деформаций в декартовой системе координат имеет следующую матрицу компонент Найти наибольшее и наименьшее относительчое удлинение материальных элементов в этой точке.
Найти направление материальных элементов, которые испытали а) наибольшее относительное удлинение; б) наименьшее относительное удлинение. Вычислить относительное изменение объема в этой точке. 4.14 Двойным сдвигом называется деформация сплошной среды, отвечающая закону движения х1 = с1 + 6(Ф)(2, х2 = с2 + Ь(1)~з, хз = сз, где (х;) — пространственные декартовы и (ф„) — лагранжевы координаты; 6(6) — функция времени, причем 6(0) = О. Считая функцию 6(~) заданной, найти тензоры деформаций Грина и Ал ьманси.
4.15 Найти компоненты поля перемещения в эйлеровом описании при двойном сдвиге, см. задачу 4.14. Найти тензор малых деформаций. 4. Деформация, скорость деформации, вихрь 57 4.18 Положения трех материальных элементов в деформированном состоянии задаются векторами Иа19 = Иле;, г = 1, 2, 3, в; — векторы базиса ортогональной системы координат. Их „обратные относительные удлинения Ил /Ил — 1, где Иле И РО 1) длины элементов до деформации, равны 1;. Элементы, характеризуемые в деформированном состоянии векторами Ых~б и НхИ, образуют до деформаций угол ф; .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
