Главная » Просмотр файлов » Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи

Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 8

Файл №1119114 Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (М.Э. Эглит - Механика сплошных сред в задачах) 8 страницаМеханика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114) страница 82019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Тензор деформаций Грина представляегся тогда в виде 1(дх' дх' — 21 <~~а д~~3 дб — дад е=е ле е, .а.~3 где е" — базис, взаимный базису е„см. йЗ; д л = е . е, компоненты метрического тензора д; = е, ез вычисляются в точке х = х(С,1).

Тензор деформаций Альманси представляется в виде д~а д~~З дх' дх< Решение некоторых задач существенно упро<цается, если вместо декартовой использовать подходящую криволинейную систему координат. Например, колебания сферического пузыря в бесконечной массе жидкости удобно изучать при помощи сфериче'- ской системы координат. Формулы, справедливые в декартовой системе, требуют некоторой модификации при переходе к криволинейной системе.

Она необходима в связи с тем, что базис е< = дг/дх< криволинейной системы координат (х'), вообще говоря, зависит от точки х пространства. В частности, базис е,(х(с,1)) в точке, где в момент 1 находится частица с, вообще говоря, отличается от базиса е<(х(с, 0)) = е,(с) в точке, где частица находилась в момент 1 = О. Здесь, как обычно, в каче~тес лагранжевых координат частицы используются пространственные координаты ее положения в начальный момент, с = х(с, 0). Вектор перемещения прн лагранжевом описании обычно раскладывают по базису е<(с) 4.

Деформация, скорость деформации, вихрь где е — базис, взаимный базису е„; д,' = е, е,; компоненты метрического тензора д и = е ен вычисляются в точке ( = ~(х,1). Выражения для компонент тензоров деформаций через поле перемещения остаются прежними, однако, с заменой частных производных ковариантными: 1 а и = — 1 Ф ил + Фп и„+ Ф и ' Фр и „т~, 2 с;, = — ~~,ю, + ~7,кц — %ю '7,юь), 2 ~ где в ковариантной производной Ф используются символы Кристоффеля Г~~„((), определяемые по обычным формулам через компоненты метрического тензора дн (~), см. параграф 3.

Если относительные удлинения и повороты всех материальных элементов малы, то используется тензор малых деформаций. Его можно вычислять любым из двух способов: яб1 = — (Ф ив+ ~7ди 1 е е или яб1 = — яи~ + ~7 кц) е'е'. 2 ~ 1 2 Компоненты тензора скоростей деформаций выражаются через поле скоростей по формулам 1 е;, = — Яо + ~7х о,) . 2 Сопутствующая система координат. В некоторых случаях оказывается полезной специальнзл криволинейная система координат, которая сама определяется движением сплошной среды и называется сондтисгввуюн1ей. Как и всякая система координат, она ставит в соответствие точке х пространства три числа, а именно, лагранжевы координаты ~ = ~ 1х,1) той частицы, которая в текущий момент 1 находится в точке х.

Таким образом, зта система координат своя в каждый момент 1: одной и той же точке пространства в разные моменты соответствуют разные тройки чисел; строго говоря, их следовало бы обозначить (411,1, 'с1х,1, 'с1з,1). При этом координатные линии ~ в моменты 11 ~ 1з занимают различные положения, но проходят, через одни и те же частицы; поэтому такая система 52 Глава !. !!гневные попятив координат и называется гопутствуюи!сй !движении> сплошной среды). Ее базис определяется уравнением дг дг дя' дя' Д~~ дя! д~о д~а Тензор деформаций Лльманси в сопутствуя>щей системе координат представляется в виде 1 в>> = (у!> у>>) ~ 2 и = в!> е' е', где е — базис, взаимный базису е„, д; = е, е — компоненты метрического тензора.

Как и в любой системе координат, компоненты в! выражаются через поле перемещения по формуле Ц = — ~Ф!Ы, + Ф и>, — ~7>чв Ф,>вь) . 2 Компоненты тензора Альманси в базисе е' совпадают с компо- нентами тензора Грина в базисе е": в д = в д. Потенцивльность и условия совместности В некоторых важных случаях поле скорости и течения сплошной среды определяется одной функцией !в в виде в = ясаку>. В этом случае векторное поле и называется потеициальпь>л>, а функция !в — его потенциалом. Далеко не всякое векторное поле и потенциально.

Ясно, что для потенциальности необходимо, чтобы три компоненты векторного поля удовлетворяли некоторым условиям, поскольку эти три функции выражаются через одну — потенциал. Необходимым условием потенциальности поля и является соотношение го$п = 0; оно также называется условием совиестноспги компонент потенциального поля в. Если поле в рассматривается в односвязной области, то это условие и достаточно для су>цествования однозначного потенциала.

4. Деформация, скорость деформации, вихрь Условия совместности для компонент тензора малых деформаций. Аналогично соотношению и = ягад у шесть компонент тензора малых деформаций и выражаются через три компоненты поля перемещения ш; и поэтому не могут быть произвольными. Они удовлетворяют соотношениям, которые называются уравнениями или условиями совместпности деформаций. В декартовых координатах эти уравнения имеют вид дг , дг .. дг -, дг „.

дх;дх . дхьдх~ дхьдх дх;дх~ Эти условия необходимы, а в случае односвязной области и достаточны для выполнения соотношений при некотором векторном поле г». Другими словами уравнения совместности деформаций — это условия того, что эти деформации можно получить в результате некоторого перемещения. Во всех задачах этого параграфа (х;) — пространственные, эйлеровы, а (ф ) — лагранжевы координаты. За лагранжевы координаты частицы всюду принимаются пространственные координаты точки, в которой частица находилась в начальный момент — в недеформированном состоянии. 11ространственная система координат — декартова, если не оговорено противное.

Задачи Деформации. Декартовы координаты. 4.1 В результате перемещения частицы ф; ~г; ~з) среды оказались в точках с координатами хг =6+а6, хг=сг, хз=1з, а=сопв1 относительно пространственной декартовой системы координат (х,). Такая деформация называется однородным одноосным растяжением в направлении оси хг. Глава !. Основные понятия Что произошло в результате деформации с материальными элементами, первоначально расположенными параллельно и перпендикулярно координатной оси хы при а > О и при — 1 < а < О? 4.2 Для одноосного растяжения, см.

задачу 4.1, найти поле перемещения в лагранжевом и в эйлеровом описании и вычислить компоненты тензоров деформаций Грина и Альманси. 4.3 а) Материальный элемент с началом в частице ~ соответствует вектору д~. Зная компоненты й и тензора деформаций Грина в этой частице, найти относительное удлинение материального элемента в результате деформации.

б) Для одноосного растяжения, см. задачу 4.1, найти относительные удлинения материальных элементов, которые в состоянии до деформации были перпендикулярны оси хз и при этом составляли углы ~п/4 с осью х~. 4.4 а) Два материальных элемента с началом в частице ~ соответствуют векторам Н~~ и Н~~ . Зная компоненты с„п тен- В) (г) зора деформаций Грина в этой частице, найти, какой угол образуют материальные элементы после деформации. б) Для одноосного растяжения, см. задачу 4.1, найти, какой угол' образуют после деформации материальные элементы, которые в состоянии до деформации были перпендикулярны оси хз и при этом составляли углы ~я/4 с осью х~. 4.5 Найти относительное изменение объема при одноосном растяжении, см. задачу 4.1. 4.6 В результате перемещения из начального состояния частицы ф; ~з, ~з) среды оказались в точках с координатами х~ — — ~з, хз — — — (!+6)(~, хз = ~э, б = сопя! > — 1 относительно пространственной декартовой системы координат.

а) Что произошло в результате деформации с материальными элементами, первоначально расположенными параллельно координатным осям? б) Найти тензоры деформаций Грина и Альманси. в) Можно ли считать тензоры Грина и Альманси совпадающими при ~6~ << 1? Сравните с результатами задачи 4.2 при а << 1.

4. Деформация, скорость деформацсп|, вихрь 4.7 В результате перемещения из начального состояния ча- СтИЦЫ ф: ~2, ~З) СРЕДЫ ОКаэаЛИсЬ В тОЧКаХ С КООРДИНатаМИ х1 = ~1+ ав1пЯ1), х2 — — (2, хз =~э, где а = сопв1, ~о~ < 1, к = сопв1, относительно пространственной декартовой системы координат. Показать, что в малой окрестности каждой точки среды произошло одноосное растяжение, см. задачу 4.1. Чему равно относительное удлинение материального элемента с началом в заданной точке, который до деформации был параллелен оси х1? Вычислить тензор деформаций Грина. Указать частицы, в малой окрестности которых деформация не происходит. 4.8 В результате перемещения из начального состояния частицы среды ((1, ~2, ~з) оказались в точках с координатами х,=~;+а~;.

1=1, 2, 3, а=сопв1) — 1 относительно пространственной декартовой системы координат. Показать, что относительное удлинение всех материальных элементов одинаково, поэтому такая деформация называется всесторонним растяжением или сжатием. При каких значениях а происходит растяжение, при каких — сжатие? 4.9 Простым сдвигом называется деформация сплошной среды, отвечающая закону движения х1 = с1 + п(1)~2~ х2 = с2~ хз = ьз, где (х;) — пространственная декартова система координат; (~ ) — лагранжева система координат; а(1) -- функция времени, причем а(0) = О.

Считая функцию а(1) заданной, найти тензоры деформаций Грина и Альманси. Найти их главные компоненты и главные оси. Упростить формулы в случае ~а(1)~ << 1. 4.10 Найти компоненты поля перемещения в лагранжевом и эйлеровом описании при простом сдвиге, см. задачу 4.9. Определить компоненты тензоров деформаций Грина и Альмаиси, выразив их через производные поля перемещения. Найти тензор малых деформаций. Глава 1. Основные понятия 4.11 При простом сдвиге, см.

задачу 4.9, найти а) относительное удлинение материальных элементов с началом во всевозможных частицах С и до деформации параллельных ОСЯМ Х1, Х2 И ХЗ,' б) всевозможные материальные элементы, для которых относительное удлинение в момент 1 равно нулю. 4.12 Найти относительное изменение величины малого объема среды при простом сдвиге, см. задачу 4.9. Провести вычисления двумя способами — используя инварианты тензора Грина и инварианты тензора Альманси. 4.13 В некоторой точке среды, в которой произошла малая деформация, тензор малых деформаций в декартовой системе координат имеет следующую матрицу компонент Найти наибольшее и наименьшее относительчое удлинение материальных элементов в этой точке.

Найти направление материальных элементов, которые испытали а) наибольшее относительное удлинение; б) наименьшее относительное удлинение. Вычислить относительное изменение объема в этой точке. 4.14 Двойным сдвигом называется деформация сплошной среды, отвечающая закону движения х1 = с1 + 6(Ф)(2, х2 = с2 + Ь(1)~з, хз = сз, где (х;) — пространственные декартовы и (ф„) — лагранжевы координаты; 6(6) — функция времени, причем 6(0) = О. Считая функцию 6(~) заданной, найти тензоры деформаций Грина и Ал ьманси.

4.15 Найти компоненты поля перемещения в эйлеровом описании при двойном сдвиге, см. задачу 4.14. Найти тензор малых деформаций. 4. Деформация, скорость деформации, вихрь 57 4.18 Положения трех материальных элементов в деформированном состоянии задаются векторами Иа19 = Иле;, г = 1, 2, 3, в; — векторы базиса ортогональной системы координат. Их „обратные относительные удлинения Ил /Ил — 1, где Иле И РО 1) длины элементов до деформации, равны 1;. Элементы, характеризуемые в деформированном состоянии векторами Ых~б и НхИ, образуют до деформаций угол ф; .

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,9 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее