Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 3
Текст из файла (страница 3)
1.3 Движение среды происходит по закону хг = сг+ а1~г, хг = (г+ 6~6, тз = сз, а, 6 = сопв1. Проверить, что числа ф, Сг, Сз) для индивидуальной частицы имеют смысл координат яы тг, из точки пространства, в которой она находилась в момент1 = О. Найти поля скорости и ускорения в лагранжевом описании. Какая частица в момент яо находится в точке пространства с координатами (том яог, хоз)7 1.4 Движение среды происходит по закону тг = ~г (1+ — (, яг = ~г ~1 + 2 — ), тз = ~з ~1+ — т(, т = сопв1. а) Найти поля скорости и ускорения в лагранжевом описании.
б) Где находится в момент ~ = Зт частица, которая в момент 6 = т находилась в точке пространства с координатами (а, 6, с)? 1. Лагранжево и зйлерово описания движения 1.9 Ввести лагранжевы координаты и найти закон движения сплошной среды, если оно происходит с полем скорости о1 = — А(С)хд, оз — — В(Е)хз, оз = О, А(й) > О, ВЯ > О. Найти линии тока и сравнить их с линиями тока для частного случая А, В = сопв$, задача 1.8 в). Привести пример функций А(~) и В(~), при которых линии тока и траектории частиц не совпадают. 1.10 а) Можно ли по известным траекториям частиц среды найти закон ее движения? б) Можно ли по известным в данный момент линиям тока найти мгновенное поле скорости? 1.11 Найти линии тока и траектории, если движение среды происходит с полем скорости а) о1 = — ихз, оз = аахм оз = и, м,и =сопз$; б) н1 = — Ахз, оз = Вх1.
оз=О, А=сопв1 >О, В =сопвь > 0; в) е1 = — 1'зш м~, сз = $ севан, ез = О, ю, 1г = сопя~. 1.12 Могут ли частицы среды двигаться ускоренно, если а) скорости всех частиц одинаковы? б) в каждой точке пространства скорость не изменяется со вре- менем? 1.13 Плотность каждой индивидуальной частицы несжимаемой среды остается постоянной. Может ли в какой-нибудь точке пространства происходить изменение плотности со временем? 1.14 Найти поле ускорений, если движение среды происходит с полем скорости а) указанным в задаче 1.7; б) имеюшим компоненты о1 = А(~)хз, ся = В(~)хы оз = О.
Глава 1. Основная понятия 1.15 При движении среды, происходящем с полем скорости ег = — ьгхг, пг = ьгхг, пз = О, ьг = сопвС, в пространстве создается 1при помощи подходящим образом рас- пределенных источников тепла) поле температуры ч' — ч'ее (я) (~) ('), 7е, г,а,б,с=сопвС. Найти скорость изменения температуры в индивидуальной частице в момент 1е, если она находится в этот момент в точке пространства с координатами хг —— а, хг = 6, хз = с. 1.16 Движение среды происходит с полем скорости в! = йхы ег = — йхг, ез = О, й = сопвь и полем плотности р = ро + Ахге, ре, А =, сопзФ. И Найти скорость изменения плотности в каждой из частиц среды.
1.17 Положение индивидуальной частицы ф,~г, ~з) в каждый момент 1 описывается соотношениями х;=Л(6+Ю,сг,сз), г=1,2,3, У=сопвс. Показать, что а) движение установившееся; б) линиями тока являются кривые, параметрические уравнения которых имеют вид х; = 1'1г,'сг,ьз), 1= 1, 2, 3, где т — параметр вдоль кривой, ф ф для каждой из кривых— фиксированные числа. 1.18 Движение среды происходит так, что траектории всех частиц лежат на лучах, исходящих из точки О, а величина скорости е и плотность среды р зависят только от момента 1 и расстояния г до точки О. При изучении такого 1сферически симметричного) движения в качестве одной из лагранжевых координат ( материальной точки часто используют величину массы среды, которая заключена в момент 1 = О внутри проходящей через эту точку сферы с центром в точке О.
!. Лагранжево и эйлерово описания движения Показать, что для лагранжевой координаты ( материальной точки, находящейся в момент 1 на расстоянии г от точки О, справедливо выражение г Нг (Н !),1Н о Показать, что при лагранжевом описании величина скорости и плотность среды зависят только от ~ и !. Найти уравнение для этих функций й(~, !), р((, !), содержащее также функцию г((, !), преобразовав уравнение др др дю рн — +о — +р — +2 — =О, д! дг дг г выражающее закон сохранения массы в эйлеровом описании. 1.1Э Движение среды происходит по закону С'! 1 х! =с!~ хе=ся 1+ 1 Уз=сз ~ У=соне!. г)' 1+ А' т а) Найти поля скорости и ускорения.
б) Найти в момент ! = 2г скорость частицы, которая в момент ! = г находилась в точке с координатами (а,а,а). 1.20 Найти поля скорости и ускорения в лагранжевом и эйлеровом описаниях, если движение среды происходит по закону х! — — 6 + с(!)ьез, хг — — 6 + с(!)(з, хз = ез. 1.21 Движение среды происходит с полем скорости хз о!(х, !) = аЕ, оз(х, С) = — и —, из(х, !) = О, ао и = сопя! х! и полем температуры т=т, 1+!', 1+- 4' То, г, Й = сопя!. Найти в момент ! = г скорость изменения температуры в индивидуальной частице, которая находится в точке пространства с координатами из из из х!= —, Уз=2 —, хз=З вЂ”. а' а' а 20 Глава 1, ГЬ ионные понятия 2.
Тензоры в евклидовом пространстве. Декартовы координаты Выражения с индексами. Набор величин часто обозначают одной буквой, снабжая ее некоторым набором индексов. Пример набора таких величин —,,дельта Кронекерао Ь;.~. По определению, ~1, при г =З, Ь,,= 10, при1ф1. В дальнейшем при отсутствии специальных оговорок считается, что различные индексы принимают независимо друг от друга каждое из значений 1, 2, 3. Для сокращения записи принимается следующее соглашение о сумлпрованпп: если в одночленном выражении, составленном из выражений с индексами, некоторый индекс встречается дважды, это означает, что рассматривается сумма соответствующих одночленов, взятых для каждого значения этого индекса. Например, а; Ь ы означает су'мму ап Ь1н + а;г Ьгы + а з Ьзы Индексов, встречающихся в одн дважды, может быть несколько; каждая пара означает независимое суммирование.
Тензоры. Для пары векторов и, Ь вводится их тензорное произведение аЬ; тензорные произведения можно складывать и умножать на число. Тензорное произведение линейно по каждому иэ сомножителей ° е(ли оы ог. Дь Дг суть скэляры1 то (о~а1+ агаг)(ЯЬ1 + ДгЬг) = = огД1а1Ьг + о|дга|Ьг + агАагЬг + огдгагЬг. Всевозможные линейные комбинации тензорных произведений образуют линейное пространство, его элементы называются тенэорами второго ранга. Базисом в этом пространстве служат тензорные произведения е;е,, где е; — базис исходного векторного пространства. В частности, пусть е, — ортонормированный базис евклидова пространства: пгензор ньчорого ранга представляется в виде $ = 1; е,е,.
Числовые коэффициенты 1; называются компонентами тензора Ф в этом базисе. В этом параграфе компоненты тензоров будут рассматриваться только в ортонормнрованных декартовых базисах. 2. Тензоры. Декартовы координаты Пусть е; и е' — два ортонормированных базиса, связанных преобразованием е; = А;,е', тогда Цб, 1'ы являются компонентами тензора второго ранга в этих базисах, если и только если / 1,, = А,ьАф и. Эта формула называется тензорным законом преобразования для компонент тензора второго ранга.
Законы преобразования компонент тензоров при переходе к произвольному неортонормированному базису приведены в я 3. С помощью тензорных произведений абе, айеЫ, ... определяют тензоры третьего, четвертого и более высоких рангов (аналогично тензорам второго ранга) и их компоненты. Базисами в пространствах тензоров третьего, четвертого и более высоких рангов являются тенэорные произведения е;е,ея, е;е еяе1 и т.д.
Вектор является тензором ранга 1. Число, не зависящее от выбора базиса, называется тензором ранга 0 или скалярам. Операции над тенэорами. Для любого тензора $ определена операция умножения на число о. Ее результатом является тензор оФ с компонентами (о$)у = о~В где ~; суть компоненты тензора С.
Сложение двух тензоров а и Ъ одинакового ранга дает тензор а+ Ь, компоненты которого суть суммы соответствующих компонент исходных тензоров (а+Ь);, =а, +6; Кроме этих операций определяется также тензорное произведение любых двух тензоров. Например, тензорным произведением АВ тензоров А = А„е;е, и В = Вм елене является тензор 5-го ранга АВ = АеВы е,е,елене Для любого тензора, ранга не меньше 2, определено понятие свертки по выделенной паре индексов.
Компоненты тензора— результата свертки получаются суммированием тех компонент исходного тензора, у которых индексы выделенной пары имеют одинаковые значения; суммирование выполняется для каждого 22 Глава 1. Основные понятия фиксированного набора значений остальных индексов. Например, сверткой тензора Я = ©„ые,е еье1 по первому и третьему индексам является тензор и = Ц1еуе1, д11 = 91и.
Свертка часто выполняется в тензорном произведении, так, например, нз тензоров с компонентами А1, и Вы получается тензор с компонентами С11 = А; В 1. Можно одновременно производить свертки по каждой из нескольких выделенных пар индексов, так, например, из тензоров с компонентами А;ы, г „ образуется тензор с компонентами р11 = А;,мгц. Для любого симметричного тензора Ф второго ранга (такого, что 1б = 1;) существует ортонормированный базис е,*, в котором недиагональные компоненты тензора будут равны нулю ~12 ~21 ~13 ~31 ~23 ~32 Прямые, вдоль которых направлены векторы этого базиса, называются главными осями тензора Ф. Компоненты 111, 122, 133 в этом базисе называются главными компонентами или главными значениями тензора Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
