Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Вычислить вектор вихря для такого поля скорости. 4.38 Доказать, что если тензор скоростей деформаций в некоторый момент одинаков во всех точках среды, то в этот момент и вектор вихря одинаков во всех точках. 4.39 Во всех точках среды тензор скоростей деформаций равен нулю. Показать, что в этом случае поле скорости описывается формулой Эйлера, соответствующей распределению скоростей в твердом теле, в=но+Йх г, где г — радиус-вектор относительно точки О, вв(~) — скорость движения этой точки и ЙП) — некоторый вектор, не зависящий от г — вектор мгновенной угловой скорости. 4. Деформация, скорость деформации, вихрь 63 4.40 Лнтисимметричный тензор второго ранга ш;,с'су определяется векторным полем ьч 1 м;, = — Яо, — ~71о;) 2 а) Показать, что в произвольной криволинейной системе координат (х') сраведливо равенство б) Показать, что вектор вихря и может быть представлен тензором ю;,е'еу, поскольку справедливы следующие формулы: м — е мор ь>ов = ечолю 4.41 Среда движется с полем ускорения а, удовлетворяющим условию го$а = О.
Рассмотреть компоненты Ы вектора вихря в сопутствующей системе координат н компоненты ю„д анти- симметричного тензора второго ранга, представляющего вектор вихря, как указано в предыдущей задаче. Показать, что справедливы следующие соотношения: дю<,р б) =О д1 дг где д = с1е$ Ц д().
4.42 При заданном в задаче 4.41 движении сплошной среды рассмотреть во всякий момент вихревую линию — линию, касающуюся вектора вихря в каждой ее точке. Показать, что вихревая линия вморожена в среду, т. е. проходит через одни и те же частицы в любой момент. зсловия совместности 4.43 Проверить, что равенство гоги = О являет~я необходимым условием потенциальности векторного поля и. 4,44 Проверить, что поле скорости при одноосном растяжении, см. задачу 4.1, удовлетворяет условию потенциальности. Найти потенциал этого поля скорости. Глава 1. Основные понятия 64 4.45 Показать, что, используя тензор Леви-Чивита, условия совместности тензора малых деформаций можно представить следующим образом: а) в декартовой системе координат дзеб с~;„е~ я — — О; хь х~ б) во всякой системе координат е ' с' ~уьЯ~еб = О.
Здесь с;,ь и сб" — компоненты тензора Леви — Чивита. 4.46 Указать условия, которым должно удовлетворять поле симметричного тензора второго ранга, чтобы оно было полем скоростей деформаций для некоторого поля скорости. 4.47 Тензорное поле задано своими компонентами в декартовой системе координат (хы хз', хз): а) еы = Ахз, езз = Вхы нзз = хг е1з = е)з = сзз = О где А, В, С = сопеФ; г б) сы = 2Ах1хз, нгг = 2Вхьхьз е1з = — (Ах, + Вх ), с1з = вяз = сзз = О, где А, В = сопв1. Является ли оно полем тензора малых деформаций для некоторого поля перемещений? 4.48 В декартовой системе координат (хь) заданы компоненты Д поля тензора второго ранга. Можно ли найти векторное поле и, для которого дп;/дх, = Л~? Доказать, что это возможно тогда и только тогда, когда.
компоненты Ц удовлетворяют условиям ~г~ еп, — =О, дхь где см; — компоненты тензора Леви-Чивита. Сформулировать зто утверждение в криволинейной системе координат. 65 5. Относительное движение 4.49 В декартовой системе координат (хь) заданы компоненты е; и и, соответственно поля симметричного тензора второго ранга е и векторного поля ю, удовлетворяющего условию а1чм = О. Можно ли найти векторное поле скорости н.
для которого е и ю суть тензор скоростей деформаций и вектор вихря? ' Доказать, что это возможно, если и только если компоненты е; и ю удовлетворяют условиям де;, дм! ' дхл дх; где с~ь, - — компоненты тензора,Леви-Чивита. Сформулировать это утверждение в криволинейной системе координат. 5. Относительное движение и четырехмерное пространство — время в ньютоновской механике В ньютоновской механике движение сплошной среды происходит в трехмерном евклидовом пространстве Кз и может быть параметризировано единым абсолютным временем 1. Понятие движения по существу относительно и требует введения системы эйлеровых координат (х'), определяющих с точки зрения связанного с этой системой наблюдателя положение точек сплошной среды в пространстве Кз в каждый момент времени 1.
Система координат наблюдателя, вообще говоря, может быть подвижной и деформирующейся. Всегда можно ввести мысленно некоторую проникающую идеализированную сплошную среду (,,среду наблюдателя" ), для которой система эйлеровых координат (х') будет сопутствующей. Такая среда наблюдателя называется системой отсчета. Замена переменных вида х' = 1'(хй) представляет собой переход к новым сопутствующим координатам той же системы отсчета. Преобразование же координат у' = д'(х',1). зависящее от времени 1, означает переход к новой системе отсчета с сопутствующими ей координатами (уй). В ньютоновской кинематике предполагается, что существует семейство так назь|ваемых инерциальных аьстем отсчета, дви- 3 зак.
23м Глава!. Основные понятия 66 дса = О. ау=сапов Соответствующие скорость и ускорение , дЬ' пу су у" =оопвВ д6~ ас =— уп=сапов называются переносными. Производные по времени от векторов подвижного базиса а еу~ —— „е,' У де'„ 11 равны = Гуле = — = ~7уп е . я ув =попав дУ Для всех инерциальных систем отсчета обязательно имеет место равенство Г,' = О. Можно ввести тензор переносных скоростей деформаций ев и вектор переносной угловой скорости вращения авв данной подвижной деформируемой системы отсчета (д~) по формулам ев ' ~ ~уев + д нву! ьув 2е ~у1пм 1/ у ь ~ 1 уй 2~ у где я — тензор Леви-Чивита. Пусть закон абсолютного движения сплошной среды записывается в виде зн = Г'(~~,1).
Тогда при переходе к новой системе отсчета д' = д'(я",1) закон движения среды принимает вид у' = Ф(.Р'Ы", г), у) = С'Ы', у). жущихся друг относительно друга по определению без деформации, вращения и ускорения, т. е. как абсолютно твердые тела, поступательно, прямолинейно и равномерно. Одна из инерциальных систем отсчета, которая должна быть, как и абсолютное время, назначена из физических соображений, считается неподвижной и называется абсолютной. Движение сплошной среды относительно указанной инерцизльной системы отсчета определяется как абсолютное движение, а относительно любой другой системы отсчета — как относительное.
Абсолютные, относительные и переносные скорости и ускорения. Пусть система отсчета (д~) движется относительно абсолютной системы (х') по закону х' = 6'(д",1). Базис системы (х') есть е,', причем полагается, что 5. Относительное движение 87 Относительные скорость и ускорение определяются соотноше- ниями , дС'! ~ив в в див и„= е,' — ~ В силу этих равенств абсолютные скорость представить в виде, см. задачи 5.6 и 5.8, ь див +и" н я' ив=сова ду и ускорение можно иа = ит + ив~ ав = ав + ас + ао (б, 1) ь див Слагаемое абсолютного ускорения а, = 2и„— „, которое учиты"ду" ' вает вращение и деформацию системы отсчета (у~), мы называем обобщенным ускорением Кориолиса.
В механике абсолютно твердого тела обычно рассматривают только недеформируемые подвижные системы отсчета, в этом случае ускорение Кориолиса равняется а, = 24и~ х и„. Если система отсчета (уу) инерциальна, то а„ = а,. При составлении уравнений движения сплошной среды относительно неинерциальных систем отсчета вектор Р = — (а, + ав) рассматривают в качестве массовой силы (в расчете на единицу массы), которая называется силой инерции. Четырехмерное пространство — время в ньютоновской механике. Поле вектора скорости и как геометрический объект не зависит от выбора системы пространственных координат х" = ~'(х)), однако изменяется при преобразованиях, зависящих от времени 1.
Для формулировки кинематических соотношений, не зависящих от выбора системы отсчета, вводится понятие четырехмерного пространства-времени К4. В дополнение к трем пространственным переменным в качестве четвертой координаты выбирается, например, абсолютное время х = 1 = ~~. Закон движения частиц среды определяет в В. мировые линии, точки которых называются событиями. В данной четырехмерной системе координат (х', в) координатные линии 1 являются мировыми линиями точек системы отсчета (х'). Координатный вектор, направленный вдоль линии 1, обозначается е4.
Для любой инерциальной системы отсчета по- 68 Глава 1. Основные понятия а также, так как абсолютная система а = а„ = (»„ + е4) дх'*' отсчета инерциальна, де4 ас = е4 ду" ' де4 с Г д а а =2» у , „д», .д.4 а =(» +е4) дую дуо де 4 де4 лагается, что = —. = О. Тем самым полностью опредед1 дил ляются коэффициенты связности в пространстве К4 — в любой инерциальной системе отсчета с декартовыми пространствен- ными координатами х'. г = 1, 2, 3 и х4 = 1 все коэффициенты связности равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
