Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Основные понятия 5.26 Показать, что во всякой инерциальной системе отсчета пространственные компоненты тензоров скоростей деформаций е = еде ен и скорости вращения среды и = а~ ' Ле ед в разложении (5. 2), имеют обычный вид: 1 1 2~ '~ з')' о 2~ 5.27 Доказать, что ~У ~~ 1=О, ~У -улл=О, где а, д, о = 1, 2, 3, 4, и ковариантная производная ~7 строится с помощью четырехмерной связности Г д.
6 5.28 Получить разложение пространственных компонент абсолютного ускорения, см. (5.1) и задачу 5.8, используя операцию четырехмерного ковариантного дифференцирования а' = 1ид 17я и)', где г = 1, 2, 3; д = 1, 2, 3, 4; ял = у" = 1; и — вектор четырех- мерной скорости среды. 5.29 Стационарность движения сплошной среды относительно системы отсчета (и~) определяют аналогично свойству пространственной однородности как независимость компонент вектора четырехмерной скорости среды и от времени 1 в системе координат данной системы отсчета. В произвольной системе координат 1у ) зто условие записывают с помощью производной Ли: Р'1 Ь ив— е ~и —,— и —,~ел=О о д=1 2 3 4.
( дип дн 1 ч дуа а) Показать, что движение системы отсчета (и,) относительно си~темы 1и), связанной со средой, также стационарно. б) Записать условие стационарности Ь„,и = О в трехмерном виде в абсолютной системе отсчета внешнего наблюдателя. 5. Относительное движение 5.30 Выразить в эйлеровой системе координат, связанной с абсолютной системой отсчета, компоненты тензора дТЯ ее— с у ~п=сопоС заданного в лагранжевой системе координат (~~), через компоненты тензора Т = Т" е;е, вектора скорости среды и и их производные; то же — для тензора "г" д~б и'и' — ' ~" =сопи Сравнить полученные результаты. Укаэанные тензоры называются верхней и нижней производными Олдройда от тензора Т.
5.31 Найти эйлеровы компоненты производных Олдройда, см. задачу 5.30, от метрического тензора 3 и тензора Леви — Чивита е, обобщив это понятие путем увеличения числа индексов 'на тензоры любого ранга. 5.32 Найти эйлеровы компоненты производных Олдройда, см. задачу 5.30, от метрического тензора 3о начального состояния сплошной среды. 5.33 Выразить в зйлеровой системе координат, связанной с абсолютной системой отсчета, компоненты тензора дТб е;и, ("=сопи где и; — локальный базис, в общем случае не связанный с какой- либо системой координат (неголономный), вращающийся с угловой скоростью вращения частиц среды и, через компоненты тензора Т = Тбе; е„их производные и компоненты векторов и и и.
Указанный тензор называется производной Яуманна тензора Т. Показать, что он равен полусумме производных Олдройда, см. задачу 5.30. 5.34 Пусть РйТ вЂ” производная Яуманна тензора Т, см. задачу 5.33. Используя результат задачи 5.31, показать, что РоК=О, Рйа = О, где 5 -- метрический тензор, а — тензор Леви — Чивита. Глава 1.
Основные понятия Следующие две задачи используют определения характеристик движения среды по „местному" времени, что позволяет нам сравнить подходы ньютоновской механики и специальной теории относительности. 5.35 Пусть в инерцизльной системе отсчета с эйлеровыми координатами (х') для описания движения наряду с абсолютным временем 1 используется местное время 1' = 1+ ф(х'). а) Установить законы преобразования компонент трехмерных векторов скорости и ускорения среды при переходе от абсолютного времени к местному.
б) При ~' = ~ — х~/Ъ' дать физическую интерпретацию постоянной Ъ'. Чему соответствует У при использовании времени, измеренного солнечными часами? 5.36 Процесс одномерного распространения звуковых волн в изотропной упругой среде описывается волновым уравнением б дР дР где ю — продольное или поперечное перемещение частиц среды; с = сопяФ вЂ” соответствующая скорость звука. а) Показать, что волновое уравнение не изменяется при преобразованиях вида Е~ = к (Х вЂ” 1 ~л), и/ = тю, с х' = Й(х — ъ'1), где $', й, т — постоянные.
б) Найти скорость движения наблюдателя, для которого местное время Г, определенное в п. а), остается постоянным. в) Выразить скорость движения произвольной материальной точки о' = Ых'/Й' относительно системы отсчета (х'), определенную с помощью местного времени 1', см. п. а), через скорость и = Ия/й относительно системы отсчета (х) со временем ~. Показать, что при таком определении скорости и' переход через величину скорости звука с при ~о~ < с невозможен. 77 6, Симметрия и тензорные функции б. Элементы симметрии и тензорные функции В данной точке трехмерного евклидового пространства с локальным базисом е; рассмотрим алгебраические свойства тензорных характеристик сплошной среды.
Трупной симметрии С набора фиксированных тензоров Ты..., Тк, среди которых имеется метрический тензор и, называется множество ортогональных преобразований базиса е,' = айе), сохраняющих значения компонент каждого нз этих тензоров. Например, для контравариантных компонент тензора Т ранга г при таких преобразованиях должно выполняться Т'н-'" е' ...е' = Т""'" е' ...е'. н 2 б'''Ф или о" ...
Ь'" Т" "'" = Т" "'" (6.1) где Т'""" и Т""'" — компоненты тензора Т в базисах е'; и е, соответственно, (о' ) — матрица, обратная к (а' ). Говорят также, что тензор Т инеариантен относительно группы С. Группой симметрии самого тензора и (изотропия) является полная группа вращений и отражений, представленная ортогональными матрицами. Группа симметрии данного набора тензоров, содержащего и, является подгруппой полной группы вращений и отражений или совпадает с ней. Тензорной функцией Т = я'(Ты..., Тн) н зывается зависимость компонент тензора Т от компонент тензоров Ты..., Т,к, пробегающих некоторое множество значений, инвариантная относительно произвольного выбора базиса е',.
Это означает, что для набора функций вида где г, гы ..., гк — ранги тензоров Т, Ты..., Т,ч соответствен- но, выполняются соотношения для любой невырожденной, не обязательно ортогональной, матрицы преобразования (а' ), т. е. во всех системах координат 78 Глава 1. Основные понятия зависимость компонент Т от компонент Тм Тз,..., Т1ч имеет один и тот же вид. Это условие можно вани~ать следующим образом: Р* -' (6 ...6 ° т"'-"" ь, 'ич 6ля ... 6'"нь Т '"' "") = ь1 . ь„и 'ч =6' ...6" „Р"-"«(т"-'" ... т""'" ).
/с~ . ° ° й„~ $ (б.2) Соотношение (6.2) представляет собой очень сильное ограни- чение на форму функции У. Используя зто соотношение, можно доказать, например, что: 1. если вектор а является функцией одного вектора 6, а также метрического тензора 8, то где й — скаляр, возможно зависящий от )6); заметим, что при вычислении ~6~ используются компоненты метрического тензора 8; 2. если тензор второго ранга Н является функцией одного тензора второго ранга Т и метрического тензора 8, который играет роль единичного, а также используется для вычисления скалярных инвариантов, то справедливо равенство Н = йо8+ 6~Т+ йзТ, где Тз = Т.Т, а йе, йм /сз — скалярные функции инвариантов Т; 3.
если симметричный тензор второго ранга Н является функцией двух независимых симметричных тензоров второго ранга Т и Р, то справедливо равенство Н = йе8+ /с~Т+ йзР+ йзТ~+ + Й4(Т ' Р + Р ' Т) + йя(Т ' Р + Р ' Т ) где й; — скалярные функции инвариантов тензоров Т и Р. Из определения тензорной функции следует, что группа симметрии фиксированных значений аргументов тензорной функции является и группой симметрии тензора, являющегося значением функции. Это свойство позволяет определять общий вид 6. Симметрия и тензорные функции 79 тензорных функций с точностью до скалярных коэффициентов.
которые в свою очередь зависят произвольным образом от скаляров, составленных из компонент тензорных аргументов. Пусть требуется найти общий вид тенэорной функции Т=Г(ты...,т, ), где Т вЂ” тензор ранга г. Для этого: а) фиксируем в данном базисе в, значения аргументов функции Г в случае общего положения и преобразованием базиса е; приводим их к возможно более простому виду. Например, у одного из векторных аргументов две компоненты можно обратить в нуль или привести симметричный тензор второго ранга к диагональному виду; б) вычисляем согласно определению группу С симметрии полученных значений аргументов; в) с помощью соотношения (6.1) находим все линейно независимые инвариантные относительно С тензоры ранга г, отбираем среди них линейно независимые, и, используя операции тензорного умножения и свертки, выражаем полученную базисную систему тензоров через тензоры Ты..., Тм: г) тензор Т есть линейная комбинация указанных базисных тензоров ранга г со скалярными коэффициентами, в общем случае зависящими от инвариантов системы тензоров Ты..., Тм, д) возвращаемся к исходному базису.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
