Главная » Просмотр файлов » Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи

Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 9

Файл №1119114 Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (М.Э. Эглит - Механика сплошных сред в задачах) 9 страницаМеханика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114) страница 92019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Доказать формулу, устанавливающую механический смысл компонент тензора Альманси 1г е;, = — ~ — (1+ 1;)(1+ 1,) сов4;, + б;,~, по г и по у' не суммировать. 4.17 Доказать, что главныезначения тензора деформаций Грина Л и главные значения тензора деформаций Альманси Л; удовлетворяют неравенствам 1+ 2Л,„> О, 1 — 2Л, > О. 4.18 Доказать, что при деформации с тензором Грина й и тензором Альманси я а) материальный элемент, направленный до деформации по главной оси тенэора й, в деформированном состоянии направлен по главной оси тензора я; б) наоборот, материальный элемент, направленный в деформированном состоянии по главной оси тензора я, в недеформированном состоянии был направлен по главной оси тензора Й; в) главные значения (компоненты в главной системе координат) тензора Грина Л и тензора Альманси Л связаны соотношением 1 1+2Л = 1 — 2Л 4.19 Доказать теорему о полярном разложении: матрица дисторсии Е = 'ОЕ; 'й, и вообще всякая невырожденная матрица, представляется в виде Г = 1111, Г;, = 11;.11., где В = 'ОН; )! — ортогональная матрица, а У = 'й11 Л)( — симметричная положительно определенная матрица.

Главные оси матрицы П совпадают с главными осями тензора деФормаций Глава 1. Основные понятия 58 Грина, а соответствующие главные значения й матрицы У выражаются через главные значения Л тензора Грина к =уГ+2Л . Линейное преобразование, определяемое матрицей В, переводит главные оси тензора Грина в главные оси тензора Альманси.

4.20 Для одноосного растяжения, см. задачу 4.1, при а > О найти в начальном состоянии три взаимно ортогональных направления материальных элементов, углы между которыми в результате деформации не изменились. Какие направления имеют эти элементы после деформации? Указать направления элементов, для которых относительное удлинение максимально. 4.21 Показать, что следующие движения не сводятся друг к другу наложением дополнительного перемещения, не изменяющего расстояний между частицами, т. е. вращения и переноса: а) поворот вокруг оси хз, б) одноосное растяжение вдоль оси хы см. задачу 4.1; в) простой сдвиг в плоскости хы хз, см.

задачу 4.9; г) двойной сдвиг, см. задачу 4.14. 4.22 Представить преобразование малой окрестности частицы ~ при простом сдвиге, см. задачу 4.0, как растяжение вдоль трех взаимно ортогональных направлений, поворот и перенос. Деформация. Криволинейные координаты. Сопутствующая система 4.23 Для одноосного растяжения, см. задачу 4.1, с параметром а, являющимся функцией времени а = а(~), причем а(О) = О, а) записать формулу перехода в момент 1 от пространственной системы координат (х;) к сопутствующей системе (~ ); б) нарисовать координатные линии, найти векторы базиса и компоненты метрического тензора для сопутствующей лагранжевой системы координат (~ ) в момент 1; 4.

Деформация, скорость деформации, вихрь 59 в) найти компоненты тензора Грина в момент 1 в системе координат (х,), а также ковариантные, смешанные и контравариантные компоненты тензора деформаций Альманси в сопутствующей лагранжевой системе координат (~") в момент 1. 4.24 Для одноосного растяжения, см. задачи 4.1 и 4.23, в качестве лагранжевых координат (Од) выбрать координаты (х;) точки пространства, в которой частица находится в момент 1,.

Нарисовать координатные линии, найти векторы базиса и компоненты метрического тензора для сопутствующей системы координат (Од) в момент ~ = О. 4.25 Для простого сдвига, см. задачу 4.9, найти в момент 1 координатные линии сопутствующей системы координат, проходящие через точку пространства с координатами (О; 0; 0). Изменяются ли они со временем? Найти векторы базиса сопутствующей системы координат и компоненты метрического тензора в ней.

4.26 Ось цилиндрического стержня кругового сечения совпадает с осью хз пространственной декартовой системы координат (х;). Стержень деформируется в соответствии с законом х1 = с1 — о(1)~2сз, х2 = с2 + о(1)~!~з, хз = ьз~ где ф„) — лагранжевы координаты, а а(1) — функция времени, причем а(0) = О. Считая функцию а(~) заданной, а) найти в момент ~ положения частиц, составлявших при ~ = 0: -- поперечное сечение стержня; — окружность, ограничивающую это сечение; — ее радиус; — отрезок, параллельныи оси стержня и лежащии на его поверхности; б) найти поле перемещения в эйлеровом описании; в) при ~а~ << 1 найти тензор малых деформаций, величину наибольшего относительного удлинения материальных элементов с началом в точке х и направление элемента, испытавшего его; г) записать закон движения в цилиндрической системе координат, приняв в качестве лагранжевых координаты (цилиндрические) положения частицы при 1 = О.

80 Глава 1. Основные понятия 4.27 Труба ~толстостенный круговой цилиндр) расширяется под действием внутреннего давления. Ее деформация происходит в соответствии с законом движения г = го + Яго, е), Ю = ~Ро, х = хо; где (г; р: х) — пространственная цилиндрическая система координат, см. задачу 3.7, (го, ро, ло) — лагранжевы координаты (цилиндрические координаты начального положения частицы); ~(го, 0) = О. Считал функцию ~(го, 1) заданной, найти а) тензор деформаций Грина; б) тензор деформаций Альманси; в) относительное удлинение материальных элементов с началом в частице (то, уо, ло), направленных до деформации по координатным линиям цилиндрической системы координат.

4.28 Компоненты тензоров деформаций Грина и Альманси могут быть порядка единцы и в случае, если компоненты тензора малых деформаций малы или даже равны нулю. Убедиться в этом на примере поля перемещения в1(х) = хз, юз(х) = — хы юз = О, где х = (х1, хз' хз) — пространственные декартовы координаты. 4.29 Компоненты линеаризованного тензора деформаций могут быть порядка единицы и в случае, если компоненты тензоров деформаций Грина и Альманси малы или даже равны нулю. Убедиться в этом на примере поля перемещения х; =- В;Д, где (х;) — пространственные декартовы и (( ) — лагранжевы координаты; ()Л;Д вЂ” ортогональная матрица. Скорость деформации. Вихрь 4.30 Найти поле скорости в эйлеровом описании и вычислить тензор скоростей деформаций при а) одноосном растяжении, см. задачу 4.1, считая параметр а заданной функцией времени 1; б)' простом сдвиге, см.

задачу 4.9; в) двойном сдвиге, см. задачу 4.14. 4, Деформации, < корость деформации, вихрь 61 4.31 Вычислить компоненты е; тензора скоростей деформаций в пространственной декартовой системе координат (х;) и компоненты его девиатора е; = е,. — беььй,. для течений среды с полями скорости, имеющими в этих координатах компоненты 4.32 Вычислить компоненты с;. тензора скоростей деформаций в пространственной декартовой системе координат (хп) для течения среды с полем скорости, имеющим в этой системе координат компоненты ос = †'-~, оя = †'1-, оэ = О. 2х 2х С Происходит ли при этом движении изменение объема, занимаемого индивидуальными частицами среды? 4.33 Компоненты поля скорости среды в пространственной декартовой системе координат (х;) в данный момент имеют вид оз = ез = О, Й = сопвС. ес = 'ахов Найти в этот момент скорость изменения угла между материаль- ными элементами с началом в точке х, расположенными вдоль двух прямых, образующих уг.пы я/4 с осью хс и и/2 с осью хз.

4.34 Ковариантные компоненты поля скорости в пространственной цилиндрической системе координат х~ = г, х~ = у, хз = я имеют виц оз =/с, оз=О, а=соваС о1 — — О, всюду, кроме точки г = О. а) Нарисовать траектории частиц среды, найти величину ско- рости частиц, физические компоненты скорости.

б) Вычислить компоненты тензора скоростей деформаций. в) Вычислить вектор вихря. г) Найти главные оси тензора скоростей деформаций. Повора- чиваются ли они со временем в индивидуальной частице? а) ос = Лхы б) ос = оСхы в) о1 = СССхз, оз = Вхз, оз = О, Л = сопяС, В = сопвС; из=ел=О, о=сопеС; ез = оз = О. СЗ = сопеС. 62 Глава 1. Основные понятия д) Чему равна в некоторый момент скорость поворота материальных элементов, расположенных в этот момент времени вдоль главных направлений тензора скоростей деформаций? 4.35 Среда испытывает одноосное растяжение, т. е.

происходит движение по закону хг = 6 + а(1)~ы хг = 1г хэ — ~з. Здесь (х,) — пространственная декартова система координат; (~„) — лагранжевы координаты; а(1) — функция времени, причем а(0) = О. Проверить, что при этом движении поле вектора вихря ш нулевое.

Показать, что имеются материальные элементы, которые поворачиваются, одновременно меняя длину. 4.36 Найти поле вектора, вихря ьг при про~том сдвиге, см. задачу 4.9. Указать материальные отрезки, угловая скорость вращения которых в момент ~ равна ы. Найти угловую скорость вращения материальных отрезков, направленных в рассматриваемый момент 1 вдоль осей хы хг и хз. 4.37 Распределение скорости в твердом теле определяется формулой Эйлера 60 +Й и г| где Й(~) — угловая скорость; г — радиус-вектор относительно некоторой точки О; нв(~) — скорость точки О.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,9 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6376
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее