Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Доказать формулу, устанавливающую механический смысл компонент тензора Альманси 1г е;, = — ~ — (1+ 1;)(1+ 1,) сов4;, + б;,~, по г и по у' не суммировать. 4.17 Доказать, что главныезначения тензора деформаций Грина Л и главные значения тензора деформаций Альманси Л; удовлетворяют неравенствам 1+ 2Л,„> О, 1 — 2Л, > О. 4.18 Доказать, что при деформации с тензором Грина й и тензором Альманси я а) материальный элемент, направленный до деформации по главной оси тенэора й, в деформированном состоянии направлен по главной оси тензора я; б) наоборот, материальный элемент, направленный в деформированном состоянии по главной оси тензора я, в недеформированном состоянии был направлен по главной оси тензора Й; в) главные значения (компоненты в главной системе координат) тензора Грина Л и тензора Альманси Л связаны соотношением 1 1+2Л = 1 — 2Л 4.19 Доказать теорему о полярном разложении: матрица дисторсии Е = 'ОЕ; 'й, и вообще всякая невырожденная матрица, представляется в виде Г = 1111, Г;, = 11;.11., где В = 'ОН; )! — ортогональная матрица, а У = 'й11 Л)( — симметричная положительно определенная матрица.
Главные оси матрицы П совпадают с главными осями тензора деФормаций Глава 1. Основные понятия 58 Грина, а соответствующие главные значения й матрицы У выражаются через главные значения Л тензора Грина к =уГ+2Л . Линейное преобразование, определяемое матрицей В, переводит главные оси тензора Грина в главные оси тензора Альманси.
4.20 Для одноосного растяжения, см. задачу 4.1, при а > О найти в начальном состоянии три взаимно ортогональных направления материальных элементов, углы между которыми в результате деформации не изменились. Какие направления имеют эти элементы после деформации? Указать направления элементов, для которых относительное удлинение максимально. 4.21 Показать, что следующие движения не сводятся друг к другу наложением дополнительного перемещения, не изменяющего расстояний между частицами, т. е. вращения и переноса: а) поворот вокруг оси хз, б) одноосное растяжение вдоль оси хы см. задачу 4.1; в) простой сдвиг в плоскости хы хз, см.
задачу 4.9; г) двойной сдвиг, см. задачу 4.14. 4.22 Представить преобразование малой окрестности частицы ~ при простом сдвиге, см. задачу 4.0, как растяжение вдоль трех взаимно ортогональных направлений, поворот и перенос. Деформация. Криволинейные координаты. Сопутствующая система 4.23 Для одноосного растяжения, см. задачу 4.1, с параметром а, являющимся функцией времени а = а(~), причем а(О) = О, а) записать формулу перехода в момент 1 от пространственной системы координат (х;) к сопутствующей системе (~ ); б) нарисовать координатные линии, найти векторы базиса и компоненты метрического тензора для сопутствующей лагранжевой системы координат (~ ) в момент 1; 4.
Деформация, скорость деформации, вихрь 59 в) найти компоненты тензора Грина в момент 1 в системе координат (х,), а также ковариантные, смешанные и контравариантные компоненты тензора деформаций Альманси в сопутствующей лагранжевой системе координат (~") в момент 1. 4.24 Для одноосного растяжения, см. задачи 4.1 и 4.23, в качестве лагранжевых координат (Од) выбрать координаты (х;) точки пространства, в которой частица находится в момент 1,.
Нарисовать координатные линии, найти векторы базиса и компоненты метрического тензора для сопутствующей системы координат (Од) в момент ~ = О. 4.25 Для простого сдвига, см. задачу 4.9, найти в момент 1 координатные линии сопутствующей системы координат, проходящие через точку пространства с координатами (О; 0; 0). Изменяются ли они со временем? Найти векторы базиса сопутствующей системы координат и компоненты метрического тензора в ней.
4.26 Ось цилиндрического стержня кругового сечения совпадает с осью хз пространственной декартовой системы координат (х;). Стержень деформируется в соответствии с законом х1 = с1 — о(1)~2сз, х2 = с2 + о(1)~!~з, хз = ьз~ где ф„) — лагранжевы координаты, а а(1) — функция времени, причем а(0) = О. Считая функцию а(~) заданной, а) найти в момент ~ положения частиц, составлявших при ~ = 0: -- поперечное сечение стержня; — окружность, ограничивающую это сечение; — ее радиус; — отрезок, параллельныи оси стержня и лежащии на его поверхности; б) найти поле перемещения в эйлеровом описании; в) при ~а~ << 1 найти тензор малых деформаций, величину наибольшего относительного удлинения материальных элементов с началом в точке х и направление элемента, испытавшего его; г) записать закон движения в цилиндрической системе координат, приняв в качестве лагранжевых координаты (цилиндрические) положения частицы при 1 = О.
80 Глава 1. Основные понятия 4.27 Труба ~толстостенный круговой цилиндр) расширяется под действием внутреннего давления. Ее деформация происходит в соответствии с законом движения г = го + Яго, е), Ю = ~Ро, х = хо; где (г; р: х) — пространственная цилиндрическая система координат, см. задачу 3.7, (го, ро, ло) — лагранжевы координаты (цилиндрические координаты начального положения частицы); ~(го, 0) = О. Считал функцию ~(го, 1) заданной, найти а) тензор деформаций Грина; б) тензор деформаций Альманси; в) относительное удлинение материальных элементов с началом в частице (то, уо, ло), направленных до деформации по координатным линиям цилиндрической системы координат.
4.28 Компоненты тензоров деформаций Грина и Альманси могут быть порядка единцы и в случае, если компоненты тензора малых деформаций малы или даже равны нулю. Убедиться в этом на примере поля перемещения в1(х) = хз, юз(х) = — хы юз = О, где х = (х1, хз' хз) — пространственные декартовы координаты. 4.29 Компоненты линеаризованного тензора деформаций могут быть порядка единицы и в случае, если компоненты тензоров деформаций Грина и Альманси малы или даже равны нулю. Убедиться в этом на примере поля перемещения х; =- В;Д, где (х;) — пространственные декартовы и (( ) — лагранжевы координаты; ()Л;Д вЂ” ортогональная матрица. Скорость деформации. Вихрь 4.30 Найти поле скорости в эйлеровом описании и вычислить тензор скоростей деформаций при а) одноосном растяжении, см. задачу 4.1, считая параметр а заданной функцией времени 1; б)' простом сдвиге, см.
задачу 4.9; в) двойном сдвиге, см. задачу 4.14. 4, Деформации, < корость деформации, вихрь 61 4.31 Вычислить компоненты е; тензора скоростей деформаций в пространственной декартовой системе координат (х;) и компоненты его девиатора е; = е,. — беььй,. для течений среды с полями скорости, имеющими в этих координатах компоненты 4.32 Вычислить компоненты с;. тензора скоростей деформаций в пространственной декартовой системе координат (хп) для течения среды с полем скорости, имеющим в этой системе координат компоненты ос = †'-~, оя = †'1-, оэ = О. 2х 2х С Происходит ли при этом движении изменение объема, занимаемого индивидуальными частицами среды? 4.33 Компоненты поля скорости среды в пространственной декартовой системе координат (х;) в данный момент имеют вид оз = ез = О, Й = сопвС. ес = 'ахов Найти в этот момент скорость изменения угла между материаль- ными элементами с началом в точке х, расположенными вдоль двух прямых, образующих уг.пы я/4 с осью хс и и/2 с осью хз.
4.34 Ковариантные компоненты поля скорости в пространственной цилиндрической системе координат х~ = г, х~ = у, хз = я имеют виц оз =/с, оз=О, а=соваС о1 — — О, всюду, кроме точки г = О. а) Нарисовать траектории частиц среды, найти величину ско- рости частиц, физические компоненты скорости.
б) Вычислить компоненты тензора скоростей деформаций. в) Вычислить вектор вихря. г) Найти главные оси тензора скоростей деформаций. Повора- чиваются ли они со временем в индивидуальной частице? а) ос = Лхы б) ос = оСхы в) о1 = СССхз, оз = Вхз, оз = О, Л = сопяС, В = сопвС; из=ел=О, о=сопеС; ез = оз = О. СЗ = сопеС. 62 Глава 1. Основные понятия д) Чему равна в некоторый момент скорость поворота материальных элементов, расположенных в этот момент времени вдоль главных направлений тензора скоростей деформаций? 4.35 Среда испытывает одноосное растяжение, т. е.
происходит движение по закону хг = 6 + а(1)~ы хг = 1г хэ — ~з. Здесь (х,) — пространственная декартова система координат; (~„) — лагранжевы координаты; а(1) — функция времени, причем а(0) = О. Проверить, что при этом движении поле вектора вихря ш нулевое.
Показать, что имеются материальные элементы, которые поворачиваются, одновременно меняя длину. 4.36 Найти поле вектора, вихря ьг при про~том сдвиге, см. задачу 4.9. Указать материальные отрезки, угловая скорость вращения которых в момент ~ равна ы. Найти угловую скорость вращения материальных отрезков, направленных в рассматриваемый момент 1 вдоль осей хы хг и хз. 4.37 Распределение скорости в твердом теле определяется формулой Эйлера 60 +Й и г| где Й(~) — угловая скорость; г — радиус-вектор относительно некоторой точки О; нв(~) — скорость точки О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
