Главная » Просмотр файлов » Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи

Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 5

Файл №1119114 Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (М.Э. Эглит - Механика сплошных сред в задачах) 5 страницаМеханика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114) страница 52019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Величины ~7ьо', Я7ьо называются ковариантными производными соответственно контравариантных и ковариантных компонент векторного поля о. Они находятся по формулам ~7ьо = — „+ Г,„о, я до. ~7ьо, = — '„— Г;ьо„(3.3) дх" где величины Г'ь — коэффициенты в разложениях производных векторов локального базиса евклидова пространства по этому базису де, — =Г; еь дхь какой из индексов верхний, а какой нижний, не имеет значения, поскольку справедливо равенство Щ~.'~ — — Я'.~;~, см.

задачу 3.26. Ковариантное дифференцирование. По определению, производные до/дх~ векторного поля по координатам выражаются через компоненты некоторого тензора второго ранга ~7о, компоненты которого имеют специальные обозначения Глава 1. Основные понятия ЗО Отсюда вытекает также формула деу/дхь = — Г~ые'. Величины Г' называются символами Кристоффеля (нли коэффициентами связности), они выражаются через производные компонент метрического тензора Производные дС/дх" любого тенэорного поля С по координатам выражаются через компоненты некоторого тензора, на единицу большего ранга, обозначаемого ~7С. Его компоненты называются ковариантными производными соответствующих компонент тензора С и находятся по формулам, аналогичным (3.3), например для тензора третьего ранга С = 8~ ' "е1е е„производные равны ос —,, = ЯС.' ",)е1е™е„, дх" где С! ° о дх" В частности, если Т вЂ” скаляр, то величины ~ь~Т = дТ/дх~ являются компонентами вектора ~гад Т: бган Т = Я~Те = —,е .

ат „ дх" Задачи Системы координат 3.1 а) Показать, что существует единственный базис е", взаимный данному базису е;, причем справедливы соотношения зь я е =д еы е,=дуле, где д'~ — компоненты матрицы йд")(, обратной матрице )(д;Д, д;,=е; е,. 3 '1инзоры. Криволинейные координат>,> 31 б) Проверить соотношения е' е> = д'>. в) Проверить соотношения и и = и'е; = и,е', е' = е' и, е, = е; и. г) Проверить, что базис е; и взаимный базис е> выражаются друг через друга по формулам ег х ез г ез х е> з е> х ег е = , е = , е = , 7; = е> (ег х ез), $'.

' 'г', ' Ъ'. ег х ез е> —— ез х е' ег = ( е' х ег ез = , ~'* = е' (е' х е'), где ег х ез — векторное произведение векторов ег х ез, а Г,— смешанное произведение векторов е>, ег и ез. д) Чему равны длины векторов е, и е>? Компоненты метриче- ского тензора считать известными. 3.3 Докажите утверждение, сформулированное в задаче 2.5, в случае произвольного базиса еь 3.4 Во всякой системе координат рассматриваются наборы чисел: 1) д,> = е; е и 2) д" — компоненты матрицы йд'~)), обратной матрице ()д; !).

Покажите, что они являются соответственно ковариантными и контравариантными компонентами одного н того же тензора, он называется метрическим. Найдите смешанные компоненты этого тензора. 3.2 а) Найти базис, взаимный ортонормированному. б) Ортогонален ли базис, взаимный ортогональному базису не- единичных векторов? в) Вазис е; образован единичными векторами, каждые два из которых образуя>т угол я/3. Найти взаимный ему базис. Каковы длины векторов е'? Найти контравариантные компоненты вектора и = ае> + бег + се>. Глава 1.

Основные понятия 32 3.6 Справедливы ли для тензора второго ранга $ следующие соотношения: а) б) 1'; =11 ? 3.7 Цилиндрические координаты з х =1а, х =зг см. рис. 3.1, связаны с декартовыми /з ,з (х, х', х' ) соотношениями /1 х = гсозса, /2 /з Х = ГВ/П/Р, Х !2 а) Найдите векторы базиса цилинд- рической системы координат в точ- ках Рнс. 3.1. М1 (г = 5; //а = 0; г = О) и Мз (г = 10; /р = я/6; х = 1)г выразите их через базис е'; декартовой системы.

б) Найдите ковариантные, контравариантные и смешанные ком- поненты метрического тензора в цилиндрической системе коор- динат. в) Найдите векторы взаимного 6/аписа в точках М1 и Мз. 3.8 Разложите базисные векторы е' и, е' декартовой систе- ,1 гг мы координат 1х, х' ) на плоскости по базису полярной систегг мы координат х1 = г, хз = 1а, связанной с декартовой соотноше- ниями х = г сов/р, х = гз1п//2. /1 гг 3.5 Покажите, что следующие наборы соотношений для компонент тензора эквивалентны: а) З, . З .. Егггг., ЗЫ Зм Егггг/1, Зт З ° ггг. б 2/ б) ая/ — — — а; Ч==: а//1 = — а'" ~Ф а",'„= — а„'г"г.

Это означает, что любое из соотношений иэ наборов а) и б) можно принять за определение соответственно симметричного и антисимметричого тензора второго ранга, см. задачи 2.5 и З.З. 3. Тензоры, Криволинейные координаты 33 3.9 Тензор второго ранга р в цилиндрической системе координат, см. задачу 3.7, имеет компоненты р!' = а, рзз = Цгз, а остальные компоненты равны нулю.

Найдите компоненты этого тензора в декартовой системе координат. 3.10 Сферические коорди- наты х' = г, хз = д, хз = Л, см. рис. 3.2, связаны с декар- товыми (хн) соотношениями х = гяпдсовЛ, и х = гяпдяп Л, /3 ,з х = г соя д. Найдите базис сферической системы координат — выраРис. 3.2. энте его через базис декартовой системы. Найдите ковариантные, контравариантные и смешанные компоненты метрического тензора в сферической систе- ме координат. 3.11 Векторное поле и определено в декартовой системе координат (хн) равенством х' е'!+ х' е'!+ х' е'з 9— Найдите его компоненты в сферической системе координат, см.

задачу 3.10. 3.12 Найдите квадрат длины элемента Их!е! + Ихзез+ Ихзез в эллиптической системе координат х! = т, х~ = ~р, хз = г, связанной с декартовыми координатами (х, у, х) соотношениями х = !/т'+ а~ сову!, у = тяп р, г ) О. 3.13 Найдите квадрат длины элемента Их!е! + дхзез + дхзез в эллипсоидальной системе координат х! = г, х~ = д, х = !р, с координатными поверхностями г = сопя! в виде эллипсоидов вращения, связанной с декартовой системой соотношениями х =,lгз+аз япдсоеЧ!, у = чг~+аз в!пде!п~о, г = гсоед. 2 Зэк.

23бб 34 Главе Е Основньв понятия 3.14 Выразите через базисные векторы е; или е' криволинейной системы координат (х'): а) единичный касательный вектор к координатной линии х', т. е. к линии хз = сопМ, яз = сопМ; б) угол между координатными линиями яз и яз в данной точке; в) единичный вектор, нормальный к координатной поверхности (я'; я ), т. е.

к поверхности х' = сопМ. 3.15 В некоторых случаях, например при изучении течения в тонком слое вблизи тела, удобно использовать специальную Я криволинейную систему кооро динат. Если течение рассмат- 1 О ривается как плоское, система координат вводится в плоскосГис. 3.3. ти следующим образом. Пусть в плоскости течения граница тела -- гладкая кривая Ь, заданная параметрически г = ~(в) = а(я)е + 6(в)е„, где я — длина дуги кривой Ь; ев,ея — базис декартовой системы координат (я; у) в плоскости. Тогда в окрестности кривой каждой точке с радиус-вектором г с помощью рассматриваемой системы координат можно поставить в соответствие пару чисел (в, 6), определяемых из уравнения, см. рис. 3.3, г = ~(в) + п(в) 6, где н(л) — единичная нормаль к кривой Ь; 6 — расстояние до Л.

Найдите базис системы координат т,' = л, яз = 6 и коварнантные, контравариантные и смешанные компоненты ее метрического тензора. <Физические компоненты векторов и тензоров 3.16 В механике декартовы координаты обычно рассматриваются как безразмерные, а их базисным векторам приписывается 3. Тевзорьь Криволинейные координаты 35 размерность длины. Найдите в этом случае для сферической системы координат, см. задачу 3.10, размерности: а) координат; б) векторов базиса и взаимного базиса; ковариантных и контравариантных компонент в) метрического тензора; г) вектора скорости.

3.17 Размерности компонент вектора, одинаковые в декартовой системе координат, в криволинейной системе координат могут быть разными, см., например, предыдущую задачу. Чтобы избежать этого, в криволинейной ортогональной системе координат (е; 1 е при г ф г) вводят так называемые физические компоненты оф,. вектора о 1 г з оф1 — о чЯп: офг = о Лгг; офз = о Лзз. Вектор при этом представляется в виде е1 ег ез Ф1 + Фг + офз 1е1! 1ег! 1ез! а) Покажите, что оф = о1(е~), ьф = ог)е~), офз — — оз~е~~ е' ег ег ез (е1) (е'!' )ег) )е')' )ез( )ез) Эта тройка векторов называется физическим базисом, связан- ным с рассматриваемой криволинейой системой координат. б) Выразите скалярное произведение векторов н о через их фи- зические компоненты.

в) Аналогично физическим компонентам векторов введите фи- зические компоненты тензора второго ранга. 1лавз 1. Основные понятия 38 3.18 а) Выразите связанный с цилиндрической системой координат физический базис (е„; е; е,), см. задачи 3.7 и 3.17, через базисы е, цилиндрической и е'; декартоной систем координат. б) Тело вращается вокруг оси с угловой скоростью и(1). Найдите физические компоненты векторов угловой скорости и ускорения в цилиндрической системе координат, для которой координатнои линией хз является ось вращения. 3.19 Покажите.

что физический базис, связанный с цилиндрической системой координат (х'), см. задачу 3.18 а), не может служить локальным базисом никакой криволинейной системы координат у" (х', хз, хз). Тензорный закон преобразования 3.20 Билинейная форма Ь вЂ” - это скалярнозначная функция двух векторных аргументов, линейная по отношению к каждому из них. В каждой координатной системе существует такая матрица 11Ь;,11, что Ь(н, и) = Ь;;и'и' для любых двух векторов и и и: эта матрица называется матрицей билинейной формы Ь. а) Покажите, что элементы матрицы 116Ь11 билинейной формы являются компонентами тензора второго ранга. б) Найдите матрицу билинейной формы, ставящей в соответствие паре векторов их скалярное произведение.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,9 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее