Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Величины ~7ьо', Я7ьо называются ковариантными производными соответственно контравариантных и ковариантных компонент векторного поля о. Они находятся по формулам ~7ьо = — „+ Г,„о, я до. ~7ьо, = — '„— Г;ьо„(3.3) дх" где величины Г'ь — коэффициенты в разложениях производных векторов локального базиса евклидова пространства по этому базису де, — =Г; еь дхь какой из индексов верхний, а какой нижний, не имеет значения, поскольку справедливо равенство Щ~.'~ — — Я'.~;~, см.
задачу 3.26. Ковариантное дифференцирование. По определению, производные до/дх~ векторного поля по координатам выражаются через компоненты некоторого тензора второго ранга ~7о, компоненты которого имеют специальные обозначения Глава 1. Основные понятия ЗО Отсюда вытекает также формула деу/дхь = — Г~ые'. Величины Г' называются символами Кристоффеля (нли коэффициентами связности), они выражаются через производные компонент метрического тензора Производные дС/дх" любого тенэорного поля С по координатам выражаются через компоненты некоторого тензора, на единицу большего ранга, обозначаемого ~7С. Его компоненты называются ковариантными производными соответствующих компонент тензора С и находятся по формулам, аналогичным (3.3), например для тензора третьего ранга С = 8~ ' "е1е е„производные равны ос —,, = ЯС.' ",)е1е™е„, дх" где С! ° о дх" В частности, если Т вЂ” скаляр, то величины ~ь~Т = дТ/дх~ являются компонентами вектора ~гад Т: бган Т = Я~Те = —,е .
ат „ дх" Задачи Системы координат 3.1 а) Показать, что существует единственный базис е", взаимный данному базису е;, причем справедливы соотношения зь я е =д еы е,=дуле, где д'~ — компоненты матрицы йд")(, обратной матрице )(д;Д, д;,=е; е,. 3 '1инзоры. Криволинейные координат>,> 31 б) Проверить соотношения е' е> = д'>. в) Проверить соотношения и и = и'е; = и,е', е' = е' и, е, = е; и. г) Проверить, что базис е; и взаимный базис е> выражаются друг через друга по формулам ег х ез г ез х е> з е> х ег е = , е = , е = , 7; = е> (ег х ез), $'.
' 'г', ' Ъ'. ег х ез е> —— ез х е' ег = ( е' х ег ез = , ~'* = е' (е' х е'), где ег х ез — векторное произведение векторов ег х ез, а Г,— смешанное произведение векторов е>, ег и ез. д) Чему равны длины векторов е, и е>? Компоненты метриче- ского тензора считать известными. 3.3 Докажите утверждение, сформулированное в задаче 2.5, в случае произвольного базиса еь 3.4 Во всякой системе координат рассматриваются наборы чисел: 1) д,> = е; е и 2) д" — компоненты матрицы йд'~)), обратной матрице ()д; !).
Покажите, что они являются соответственно ковариантными и контравариантными компонентами одного н того же тензора, он называется метрическим. Найдите смешанные компоненты этого тензора. 3.2 а) Найти базис, взаимный ортонормированному. б) Ортогонален ли базис, взаимный ортогональному базису не- единичных векторов? в) Вазис е; образован единичными векторами, каждые два из которых образуя>т угол я/3. Найти взаимный ему базис. Каковы длины векторов е'? Найти контравариантные компоненты вектора и = ае> + бег + се>. Глава 1.
Основные понятия 32 3.6 Справедливы ли для тензора второго ранга $ следующие соотношения: а) б) 1'; =11 ? 3.7 Цилиндрические координаты з х =1а, х =зг см. рис. 3.1, связаны с декартовыми /з ,з (х, х', х' ) соотношениями /1 х = гсозса, /2 /з Х = ГВ/П/Р, Х !2 а) Найдите векторы базиса цилинд- рической системы координат в точ- ках Рнс. 3.1. М1 (г = 5; //а = 0; г = О) и Мз (г = 10; /р = я/6; х = 1)г выразите их через базис е'; декартовой системы.
б) Найдите ковариантные, контравариантные и смешанные ком- поненты метрического тензора в цилиндрической системе коор- динат. в) Найдите векторы взаимного 6/аписа в точках М1 и Мз. 3.8 Разложите базисные векторы е' и, е' декартовой систе- ,1 гг мы координат 1х, х' ) на плоскости по базису полярной систегг мы координат х1 = г, хз = 1а, связанной с декартовой соотноше- ниями х = г сов/р, х = гз1п//2. /1 гг 3.5 Покажите, что следующие наборы соотношений для компонент тензора эквивалентны: а) З, . З .. Егггг., ЗЫ Зм Егггг/1, Зт З ° ггг. б 2/ б) ая/ — — — а; Ч==: а//1 = — а'" ~Ф а",'„= — а„'г"г.
Это означает, что любое из соотношений иэ наборов а) и б) можно принять за определение соответственно симметричного и антисимметричого тензора второго ранга, см. задачи 2.5 и З.З. 3. Тензоры, Криволинейные координаты 33 3.9 Тензор второго ранга р в цилиндрической системе координат, см. задачу 3.7, имеет компоненты р!' = а, рзз = Цгз, а остальные компоненты равны нулю.
Найдите компоненты этого тензора в декартовой системе координат. 3.10 Сферические коорди- наты х' = г, хз = д, хз = Л, см. рис. 3.2, связаны с декар- товыми (хн) соотношениями х = гяпдсовЛ, и х = гяпдяп Л, /3 ,з х = г соя д. Найдите базис сферической системы координат — выраРис. 3.2. энте его через базис декартовой системы. Найдите ковариантные, контравариантные и смешанные компоненты метрического тензора в сферической систе- ме координат. 3.11 Векторное поле и определено в декартовой системе координат (хн) равенством х' е'!+ х' е'!+ х' е'з 9— Найдите его компоненты в сферической системе координат, см.
задачу 3.10. 3.12 Найдите квадрат длины элемента Их!е! + Ихзез+ Ихзез в эллиптической системе координат х! = т, х~ = ~р, хз = г, связанной с декартовыми координатами (х, у, х) соотношениями х = !/т'+ а~ сову!, у = тяп р, г ) О. 3.13 Найдите квадрат длины элемента Их!е! + дхзез + дхзез в эллипсоидальной системе координат х! = г, х~ = д, х = !р, с координатными поверхностями г = сопя! в виде эллипсоидов вращения, связанной с декартовой системой соотношениями х =,lгз+аз япдсоеЧ!, у = чг~+аз в!пде!п~о, г = гсоед. 2 Зэк.
23бб 34 Главе Е Основньв понятия 3.14 Выразите через базисные векторы е; или е' криволинейной системы координат (х'): а) единичный касательный вектор к координатной линии х', т. е. к линии хз = сопМ, яз = сопМ; б) угол между координатными линиями яз и яз в данной точке; в) единичный вектор, нормальный к координатной поверхности (я'; я ), т. е.
к поверхности х' = сопМ. 3.15 В некоторых случаях, например при изучении течения в тонком слое вблизи тела, удобно использовать специальную Я криволинейную систему кооро динат. Если течение рассмат- 1 О ривается как плоское, система координат вводится в плоскосГис. 3.3. ти следующим образом. Пусть в плоскости течения граница тела -- гладкая кривая Ь, заданная параметрически г = ~(в) = а(я)е + 6(в)е„, где я — длина дуги кривой Ь; ев,ея — базис декартовой системы координат (я; у) в плоскости. Тогда в окрестности кривой каждой точке с радиус-вектором г с помощью рассматриваемой системы координат можно поставить в соответствие пару чисел (в, 6), определяемых из уравнения, см. рис. 3.3, г = ~(в) + п(в) 6, где н(л) — единичная нормаль к кривой Ь; 6 — расстояние до Л.
Найдите базис системы координат т,' = л, яз = 6 и коварнантные, контравариантные и смешанные компоненты ее метрического тензора. <Физические компоненты векторов и тензоров 3.16 В механике декартовы координаты обычно рассматриваются как безразмерные, а их базисным векторам приписывается 3. Тевзорьь Криволинейные координаты 35 размерность длины. Найдите в этом случае для сферической системы координат, см. задачу 3.10, размерности: а) координат; б) векторов базиса и взаимного базиса; ковариантных и контравариантных компонент в) метрического тензора; г) вектора скорости.
3.17 Размерности компонент вектора, одинаковые в декартовой системе координат, в криволинейной системе координат могут быть разными, см., например, предыдущую задачу. Чтобы избежать этого, в криволинейной ортогональной системе координат (е; 1 е при г ф г) вводят так называемые физические компоненты оф,. вектора о 1 г з оф1 — о чЯп: офг = о Лгг; офз = о Лзз. Вектор при этом представляется в виде е1 ег ез Ф1 + Фг + офз 1е1! 1ег! 1ез! а) Покажите, что оф = о1(е~), ьф = ог)е~), офз — — оз~е~~ е' ег ег ез (е1) (е'!' )ег) )е')' )ез( )ез) Эта тройка векторов называется физическим базисом, связан- ным с рассматриваемой криволинейой системой координат. б) Выразите скалярное произведение векторов н о через их фи- зические компоненты.
в) Аналогично физическим компонентам векторов введите фи- зические компоненты тензора второго ранга. 1лавз 1. Основные понятия 38 3.18 а) Выразите связанный с цилиндрической системой координат физический базис (е„; е; е,), см. задачи 3.7 и 3.17, через базисы е, цилиндрической и е'; декартоной систем координат. б) Тело вращается вокруг оси с угловой скоростью и(1). Найдите физические компоненты векторов угловой скорости и ускорения в цилиндрической системе координат, для которой координатнои линией хз является ось вращения. 3.19 Покажите.
что физический базис, связанный с цилиндрической системой координат (х'), см. задачу 3.18 а), не может служить локальным базисом никакой криволинейной системы координат у" (х', хз, хз). Тензорный закон преобразования 3.20 Билинейная форма Ь вЂ” - это скалярнозначная функция двух векторных аргументов, линейная по отношению к каждому из них. В каждой координатной системе существует такая матрица 11Ь;,11, что Ь(н, и) = Ь;;и'и' для любых двух векторов и и и: эта матрица называется матрицей билинейной формы Ь. а) Покажите, что элементы матрицы 116Ь11 билинейной формы являются компонентами тензора второго ранга. б) Найдите матрицу билинейной формы, ставящей в соответствие паре векторов их скалярное произведение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
