Главная » Просмотр файлов » Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи

Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 4

Файл №1119114 Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (М.Э. Эглит - Механика сплошных сред в задачах) 4 страницаМеханика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114) страница 42019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Числа Л и векторы с компонентами и;, удовлетворяющие системе уравнений 1,,и,=Ли;, называются соответственно собственными значениями и собственными векторами тензора С. Следовательно, собственные значения могут быть найдены из критерия существования ненулевого решения о; этой алгебраической системы уравнений с$е1Ц1,, — Лб,,// = О, то есть Л 11Л + 12Л 13 — О~ где 11 = 11б 12 = — (1н1,, — Е;д.1б), 13 = 11е1 //1ц.!).

1 Числа 11, 12, 13 не зависят от выбора ортонормированного базиса, в котором рассматриваются компоненты Ц (задача 2.1б). Поэтому 11, 12, 13 называются инвариантами тензора 1. Любые 2. Тевэоры. Декартовы координаты 23 числовые функции от компонент 1;, обладающие этим же свойством, тоже называются инвариантами тензора $. Любые инварианты симметричного тензора б могут быть выражены через инварианты 1~ 1з и 1з. Задачи Выражения с индексами 2.1 Выписать подробно следующие выражения, используя числовые значения индексов, а не их буквенные обозначения: а) ~н; б) р и,, и р;, р и;, и;р;у, в) дба;Ь,, д;,б,а;, Ьуд,,аб а;дубд, а;Ьуду, 6~а;дб, дбаубб г) а,б;, а;Ьч, а;б;, б;аь Указать равные между собой выражения. 2.2 Вычислить а) суммы бн, 6; Б;;, б, Б вишь;; б) те же суммы, если все индексы пробегают значения 1, 2,..., и.

2.3 Используя соглашение о суммировании, записать в сокращенном виде формулу для вычисления индивидуальной производной ИА/й в эйлеровом описании. Тена оры 2.4 Пусть ~; — компоненты тензора в ортонормированном базисе е,. а) Показать, что набор г;, = 8~ч (например, т,з = ~э~) является компонентами некоторого тензора. б) Равны ли свертки 1) т;и;и и ~;и;и", 2) тби;о, и Цби,п, где и; и и — компоненты векторов? 24 Глава 1.

Основные понятия 2.5 В некотором ортонормированном базисе компоненты тензора удовлетворяют соотношениям а) б) Ц = — 1~ч. Показать, что аналогичные соотношения выполнены для его компонент в любом ортонормированном базисе. В первом случае тензор второго ранга называется симметричным, во втором — антисимметричным.

2.8 Показать, что полная свертка симметричного в; и анти- симметричного аы тензоров равна нулю: в;„а;, = О. 2.7 Рассмотреть суммы а; я+ 6;,ь компонент тензоров а и Ь в произвольном ортонормированном базисе и показать, что они являются компонентами тензора. 2.8 Рассмотреть произведения В;,ые „компонент тензоров В и и в произвольном ортонормированном базисе и показать, что они являются компонентами тензора. Показать, что суммы вида В;,ыеы также являются компонентами тензора. 2.9 Показать, что любой тензор второго ранга представляется в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Единственно ли такое представление? 2.10 Показать, что свертка в; и,и симметричного тензора второго ранга в выражается через свертки вида в, ю;в1, где и,, о; и ю, — компоненты векторов. Другими словами, значения симметричной билинейной формы выражаются через значения соответствующих квадратичных форм.

2.11 Показать, что если для тензора второго ранга при любом векторе и выполнено ~; и;и, = О, то тензор 6 антисимметричен. 2.12 Шаровоб состав яющей 6~'~ и девиатором 6~В1 симметричного тензора Ф второго ранга называются соответственно тензоры с компонентами а) Найти девиатор шаровой'составляющей ф'~)~~).

б) Найти шаровую составляющую девиатора (ФОО)('~. 3. Тенэоры. Криволинейные координаты 25 2.13 Найти общий вид тензора второго ранга С, если во всяком ортонормированном базисе его компонента Ссз равна нулю. 2.14 Найти главные компоненты и главные оси тензора, имеющего в некотором ортонормированном базисе е; следующую матрицу компонент: -эГз о а) -~/3 -1 Π— /з о б) -~Гз -1 о О О 2 2.15 Показать, что следующие функции компонент С, симметричного тензора второго ранга С являются его инвариантами: а) .Ус = Сн, .Тз = СОСО, 1з = СОСуеСсо б) 1с = сн, 1з = -(сис1~ — сосо), 1з = оес Цс;1Ц. 1 2 2.16 Являются ли главные компоненты симметричного тензора второго ранга его инвариантами? 2.17 Выразить инварианты 1ы 1з, 1э,,1ы 1з, 1з через главные компоненты тензора С, см.

задачу 2.13. 3. Криволинейные координаты Хотя в евклидовом пространстве всегда можно ввести декартову систему координат, при решении задач механики часто используют криволинейные системы координат. Обычно зто бывает связано с симметрией задачи. Например, описывать поведение осесимметричного тела под действием осесимметричной нагрузки удобнее в цилиндрической системе координат. Системы координат, локальные базисы. Система координат в евклидовом (трехмерном) пространстве устанавливает соответствие г ее (хс1хз;хэ) между векторами и тройками чисел; говорят также о точке с координатами 1хс; хз;хз).

Только в специальных прямолинейных системах координат тройка чисел х', хз и хз является компонентами вектора г. Глава Е Основные понятия Обратите внимание, что в этом параграфе (и далее в тексте книги) индексы в обозначениях координат стоят вверху. Если в пространстве задана криволинейная система координат, то через каждую точку можно провести координатные линии — линии, вдоль которых две координаты постоянны. Система координат определяет в каждой точке (х1; хз: хз) локальйый — соответствующий этой точке — базис евклидова пространства е; = дг/дх'. Векторы е; направлены по касательным к координатным линиям.

Базис е; называют ковариантным. Взаимным базису е; называется базис е~, удовлетворяющий соотношениям е" е, = б,". Здесь е" е; — скалярное произведение векторов е" и е;. Он существует, единствен и эффективно находится, задача 3.1. Базис е' называют контравариантным. Если д, — набор скалярных произведений д;, = е, е,, а дб — набор элементов матрицы йдбй', обратной матрице йд;Л, то справедливы соотношения 1 ря е=д еы еу = улье, д" = е' е' Векторные и тепзорпые поля.

Векторнозначнан функция на области (поверхности, кривой) называется векторным полем на области (поверхности, кривой) или часто — просто вектором. Если выбрана система координат (х'), то векторное поле представляют, используя локальные базисы е; или взаимные базисы е', в виде и = и'е; = и,е', где и' = д'"иь, и = дяи . (3.1) Величины и' называются контравариантными компонентами векторного поля и в системе координат (х'), величины и,. — его ковариантными компонентами.

Для обозначения контра- вариантных компонент индексы ставятся вверху, ковариантных — внизу. В случае ортогональной криволинейной системы координат часто используют также физические компоненты, см. задачи 3.17 и 3.19. Если наряду с системой координат (х') рассматривается система координат (х ), то ее базис,,взаимный базис и компонент/С ты векторного поля и в системе координат (х' ) (отмечаемые (ь 3, Тевэоры.

Криволинейные координаты 27 штрихами) связаны с базисами е;, е' и компонентами векторно- го поля и в системе координат (х') соотношениями (законами преобразования) дх" е', = —.е~, дх" /Ф дх е = — е, дх" д,й о'~ = — пя дх" /1 дх и = — ю дх" (ковариантный закон), (3.2) (контравариантный закон). Справедливы также соотношения дх', дх' е; = . е'ы е; = —.о'ь, дх' ' ' дх' дх',ь; дх' е' = — е', е' = — и', дх'" дх'" дх' дх', дх" дх" дх'Я дх) " дх" дх" Тензорнозначнвя функция на области (поверхности, кривой) называется тензорным полем на области (поверхности, кривой) или часто — просто тензором. Если выбрана система коорди- нат (х'), то тензорное поле представляется, например, в случае тензоров второго ранга в виде $ = ~' е;е, = 1~.

е"е, = 1',; е;е~ = $ц е"е'. б ° ) ь дх" дх" дх" ~11) ° ~яд ° дхР дх~ дх'" Числовые коэффициенты называются компонентами тенэора в системе координат (х'): 1" — контравариантными, 1'.~ и 8ь~— смешанными, ~ы — ковариантными. Точки в выражениях 1ь'., 1'.; и аналогичных указывают порядок индексов. Например, в выражении А',„' индекс ( — первый, х — второй, и набор чисел А',„' можно представить в виде матрицы.

Компоненты тензора в системе координат (х' ) связаны с его (я компонентами в системе координат (х') так называемым текзорным законом преобразования: для каждого нижнего индекса используется ковариантный, для каждого верхнего — контравариантный закон преобразования, см. формулы (3.2), например 28 Глава 1. Огновные понятия Если (х') и 1х' ) — две системы координат, то 1ге„' и 1",~„'— компоненты тензора $ в этих системах координат, если и только если они связаны тензорным законом преобразования. Тензор третьего ранга рассмотрен здесь в качестве примера, сформулированное утверждение справедливо в случае любого ранга.

Метрический теиэор. Величины уб=в; ° е, д,: =д.,:=6;, д' =-е' е, где е' еу — скалярное произведение векторов е' и е~, являются компонентамн тензора второго ранга 3, см. задачу 3.4, который называется метрическим. Квадрат длины элемента дуги определяется соотношением Йл~ = Иг . Йг = д; дх'Их". Матрица 11до11 обратна матрице 11д;, ~!. Верны соотношения 1 и я е = д еь, е„= улье . Контравариантные и ковариантные компоненты вектора связаны законом (3.1), тензора второго ранга — законом Аналогичные формулы справедливы и для тензора любого ранга, например майе ° Яь 1ц ° ° ...1=9 ..Ы индекс поднимается или опускается так же, как если бы он был единственным, см. формулы (3.1). Теизориые операции.

Произведением тензора 1 на число о является тензор с компонентами, полученными умножением компонент тензора Ф на се, например, аФ = о11бе;е,) = 1о1")е,е, = (аг',;)е;е' = 1о1,",)е'е, = (серб)е'е'. Сумма определена для любых двух тензоров а и Ъ одинакового ранга г, ее компоненты получаются сложением компонент а и Ъ с одинаковым расположением индексов. Например, сумма тензоров а = а;,е'е' и Ь = 6 'еье1 является тензором и а + Ь = 1а; + 6б) е е' = = (а,. + 6Де'е, = (а." + 6'.:)е;е' = 1аб+ 6б)е;е . 3, цензоры, Криволинейные координаты Тензорное произведение определено для любых двух тензоров. Например, тензорное произведение АВ тензоров А = А;,е'е~ второго ранга и В = Вы е"е'е третьего ранга является тензором пятого ранга АВ = А;,Ви е'е'е"е'е Его можно также представить через компоненты с другим расположением индексов, например, АВ = А'.;В„'~ ' е;ейеье~е™.

Для тензора любого ранга, не меньшего двух, определена свертка по отношениею к выбранной паре индексов, из которых один должен быть верхним, а другой нижним. Например, свертка тензора ц = ф~ь;е'е,еье' по отношению к первому и третьему индексам — это тензор Ч ° ! Я~ ° .д ц = д.~е,е~, 1 (~7о) ~'. — %~о', и (Tо)ь — — ~7яойы по формулам до дхь — = ('7ьо')е; = (~7ьо,)е'.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,9 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6353
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее