Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Числа Л и векторы с компонентами и;, удовлетворяющие системе уравнений 1,,и,=Ли;, называются соответственно собственными значениями и собственными векторами тензора С. Следовательно, собственные значения могут быть найдены из критерия существования ненулевого решения о; этой алгебраической системы уравнений с$е1Ц1,, — Лб,,// = О, то есть Л 11Л + 12Л 13 — О~ где 11 = 11б 12 = — (1н1,, — Е;д.1б), 13 = 11е1 //1ц.!).
1 Числа 11, 12, 13 не зависят от выбора ортонормированного базиса, в котором рассматриваются компоненты Ц (задача 2.1б). Поэтому 11, 12, 13 называются инвариантами тензора 1. Любые 2. Тевэоры. Декартовы координаты 23 числовые функции от компонент 1;, обладающие этим же свойством, тоже называются инвариантами тензора $. Любые инварианты симметричного тензора б могут быть выражены через инварианты 1~ 1з и 1з. Задачи Выражения с индексами 2.1 Выписать подробно следующие выражения, используя числовые значения индексов, а не их буквенные обозначения: а) ~н; б) р и,, и р;, р и;, и;р;у, в) дба;Ь,, д;,б,а;, Ьуд,,аб а;дубд, а;Ьуду, 6~а;дб, дбаубб г) а,б;, а;Ьч, а;б;, б;аь Указать равные между собой выражения. 2.2 Вычислить а) суммы бн, 6; Б;;, б, Б вишь;; б) те же суммы, если все индексы пробегают значения 1, 2,..., и.
2.3 Используя соглашение о суммировании, записать в сокращенном виде формулу для вычисления индивидуальной производной ИА/й в эйлеровом описании. Тена оры 2.4 Пусть ~; — компоненты тензора в ортонормированном базисе е,. а) Показать, что набор г;, = 8~ч (например, т,з = ~э~) является компонентами некоторого тензора. б) Равны ли свертки 1) т;и;и и ~;и;и", 2) тби;о, и Цби,п, где и; и и — компоненты векторов? 24 Глава 1.
Основные понятия 2.5 В некотором ортонормированном базисе компоненты тензора удовлетворяют соотношениям а) б) Ц = — 1~ч. Показать, что аналогичные соотношения выполнены для его компонент в любом ортонормированном базисе. В первом случае тензор второго ранга называется симметричным, во втором — антисимметричным.
2.8 Показать, что полная свертка симметричного в; и анти- симметричного аы тензоров равна нулю: в;„а;, = О. 2.7 Рассмотреть суммы а; я+ 6;,ь компонент тензоров а и Ь в произвольном ортонормированном базисе и показать, что они являются компонентами тензора. 2.8 Рассмотреть произведения В;,ые „компонент тензоров В и и в произвольном ортонормированном базисе и показать, что они являются компонентами тензора. Показать, что суммы вида В;,ыеы также являются компонентами тензора. 2.9 Показать, что любой тензор второго ранга представляется в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Единственно ли такое представление? 2.10 Показать, что свертка в; и,и симметричного тензора второго ранга в выражается через свертки вида в, ю;в1, где и,, о; и ю, — компоненты векторов. Другими словами, значения симметричной билинейной формы выражаются через значения соответствующих квадратичных форм.
2.11 Показать, что если для тензора второго ранга при любом векторе и выполнено ~; и;и, = О, то тензор 6 антисимметричен. 2.12 Шаровоб состав яющей 6~'~ и девиатором 6~В1 симметричного тензора Ф второго ранга называются соответственно тензоры с компонентами а) Найти девиатор шаровой'составляющей ф'~)~~).
б) Найти шаровую составляющую девиатора (ФОО)('~. 3. Тенэоры. Криволинейные координаты 25 2.13 Найти общий вид тензора второго ранга С, если во всяком ортонормированном базисе его компонента Ссз равна нулю. 2.14 Найти главные компоненты и главные оси тензора, имеющего в некотором ортонормированном базисе е; следующую матрицу компонент: -эГз о а) -~/3 -1 Π— /з о б) -~Гз -1 о О О 2 2.15 Показать, что следующие функции компонент С, симметричного тензора второго ранга С являются его инвариантами: а) .Ус = Сн, .Тз = СОСО, 1з = СОСуеСсо б) 1с = сн, 1з = -(сис1~ — сосо), 1з = оес Цс;1Ц. 1 2 2.16 Являются ли главные компоненты симметричного тензора второго ранга его инвариантами? 2.17 Выразить инварианты 1ы 1з, 1э,,1ы 1з, 1з через главные компоненты тензора С, см.
задачу 2.13. 3. Криволинейные координаты Хотя в евклидовом пространстве всегда можно ввести декартову систему координат, при решении задач механики часто используют криволинейные системы координат. Обычно зто бывает связано с симметрией задачи. Например, описывать поведение осесимметричного тела под действием осесимметричной нагрузки удобнее в цилиндрической системе координат. Системы координат, локальные базисы. Система координат в евклидовом (трехмерном) пространстве устанавливает соответствие г ее (хс1хз;хэ) между векторами и тройками чисел; говорят также о точке с координатами 1хс; хз;хз).
Только в специальных прямолинейных системах координат тройка чисел х', хз и хз является компонентами вектора г. Глава Е Основные понятия Обратите внимание, что в этом параграфе (и далее в тексте книги) индексы в обозначениях координат стоят вверху. Если в пространстве задана криволинейная система координат, то через каждую точку можно провести координатные линии — линии, вдоль которых две координаты постоянны. Система координат определяет в каждой точке (х1; хз: хз) локальйый — соответствующий этой точке — базис евклидова пространства е; = дг/дх'. Векторы е; направлены по касательным к координатным линиям.
Базис е; называют ковариантным. Взаимным базису е; называется базис е~, удовлетворяющий соотношениям е" е, = б,". Здесь е" е; — скалярное произведение векторов е" и е;. Он существует, единствен и эффективно находится, задача 3.1. Базис е' называют контравариантным. Если д, — набор скалярных произведений д;, = е, е,, а дб — набор элементов матрицы йдбй', обратной матрице йд;Л, то справедливы соотношения 1 ря е=д еы еу = улье, д" = е' е' Векторные и тепзорпые поля.
Векторнозначнан функция на области (поверхности, кривой) называется векторным полем на области (поверхности, кривой) или часто — просто вектором. Если выбрана система координат (х'), то векторное поле представляют, используя локальные базисы е; или взаимные базисы е', в виде и = и'е; = и,е', где и' = д'"иь, и = дяи . (3.1) Величины и' называются контравариантными компонентами векторного поля и в системе координат (х'), величины и,. — его ковариантными компонентами.
Для обозначения контра- вариантных компонент индексы ставятся вверху, ковариантных — внизу. В случае ортогональной криволинейной системы координат часто используют также физические компоненты, см. задачи 3.17 и 3.19. Если наряду с системой координат (х') рассматривается система координат (х ), то ее базис,,взаимный базис и компонент/С ты векторного поля и в системе координат (х' ) (отмечаемые (ь 3, Тевэоры.
Криволинейные координаты 27 штрихами) связаны с базисами е;, е' и компонентами векторно- го поля и в системе координат (х') соотношениями (законами преобразования) дх" е', = —.е~, дх" /Ф дх е = — е, дх" д,й о'~ = — пя дх" /1 дх и = — ю дх" (ковариантный закон), (3.2) (контравариантный закон). Справедливы также соотношения дх', дх' е; = . е'ы е; = —.о'ь, дх' ' ' дх' дх',ь; дх' е' = — е', е' = — и', дх'" дх'" дх' дх', дх" дх" дх'Я дх) " дх" дх" Тензорнозначнвя функция на области (поверхности, кривой) называется тензорным полем на области (поверхности, кривой) или часто — просто тензором. Если выбрана система коорди- нат (х'), то тензорное поле представляется, например, в случае тензоров второго ранга в виде $ = ~' е;е, = 1~.
е"е, = 1',; е;е~ = $ц е"е'. б ° ) ь дх" дх" дх" ~11) ° ~яд ° дхР дх~ дх'" Числовые коэффициенты называются компонентами тенэора в системе координат (х'): 1" — контравариантными, 1'.~ и 8ь~— смешанными, ~ы — ковариантными. Точки в выражениях 1ь'., 1'.; и аналогичных указывают порядок индексов. Например, в выражении А',„' индекс ( — первый, х — второй, и набор чисел А',„' можно представить в виде матрицы.
Компоненты тензора в системе координат (х' ) связаны с его (я компонентами в системе координат (х') так называемым текзорным законом преобразования: для каждого нижнего индекса используется ковариантный, для каждого верхнего — контравариантный закон преобразования, см. формулы (3.2), например 28 Глава 1. Огновные понятия Если (х') и 1х' ) — две системы координат, то 1ге„' и 1",~„'— компоненты тензора $ в этих системах координат, если и только если они связаны тензорным законом преобразования. Тензор третьего ранга рассмотрен здесь в качестве примера, сформулированное утверждение справедливо в случае любого ранга.
Метрический теиэор. Величины уб=в; ° е, д,: =д.,:=6;, д' =-е' е, где е' еу — скалярное произведение векторов е' и е~, являются компонентамн тензора второго ранга 3, см. задачу 3.4, который называется метрическим. Квадрат длины элемента дуги определяется соотношением Йл~ = Иг . Йг = д; дх'Их". Матрица 11до11 обратна матрице 11д;, ~!. Верны соотношения 1 и я е = д еь, е„= улье . Контравариантные и ковариантные компоненты вектора связаны законом (3.1), тензора второго ранга — законом Аналогичные формулы справедливы и для тензора любого ранга, например майе ° Яь 1ц ° ° ...1=9 ..Ы индекс поднимается или опускается так же, как если бы он был единственным, см. формулы (3.1). Теизориые операции.
Произведением тензора 1 на число о является тензор с компонентами, полученными умножением компонент тензора Ф на се, например, аФ = о11бе;е,) = 1о1")е,е, = (аг',;)е;е' = 1о1,",)е'е, = (серб)е'е'. Сумма определена для любых двух тензоров а и Ъ одинакового ранга г, ее компоненты получаются сложением компонент а и Ъ с одинаковым расположением индексов. Например, сумма тензоров а = а;,е'е' и Ь = 6 'еье1 является тензором и а + Ь = 1а; + 6б) е е' = = (а,. + 6Де'е, = (а." + 6'.:)е;е' = 1аб+ 6б)е;е . 3, цензоры, Криволинейные координаты Тензорное произведение определено для любых двух тензоров. Например, тензорное произведение АВ тензоров А = А;,е'е~ второго ранга и В = Вы е"е'е третьего ранга является тензором пятого ранга АВ = А;,Ви е'е'е"е'е Его можно также представить через компоненты с другим расположением индексов, например, АВ = А'.;В„'~ ' е;ейеье~е™.
Для тензора любого ранга, не меньшего двух, определена свертка по отношениею к выбранной паре индексов, из которых один должен быть верхним, а другой нижним. Например, свертка тензора ц = ф~ь;е'е,еье' по отношению к первому и третьему индексам — это тензор Ч ° ! Я~ ° .д ц = д.~е,е~, 1 (~7о) ~'. — %~о', и (Tо)ь — — ~7яойы по формулам до дхь — = ('7ьо')е; = (~7ьо,)е'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
