Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 6
Текст из файла (страница 6)
3.21 Линейный оператор а — это линейная векторнозначнзя функция векторного аргумента. В каждой координатной системе существует такая матрица 11а'.,11, что ап = а', пуе; для всякого вектора и; эта матрица называется матрицей линейного оператора а. а) Покажите, что элементы матрипы 11а'., 11 линейного оператора являются смешанными компонентами тензора второго ранга. б) Найдите матрицу линейного оператора, проектирующего вектор на плоскость, ортогональную данному вектору н = и'е;.
3.22 Найдите общий вид тензора второго ранга Ф, если известно, что его компонента 1,з равна нулю во всякой системе координат. 3 '1ензоры. Криволинейные координаты 37 Тенэорные операции 3.23 Для двух тензоров второго ранга а и Ъ рассмотрите суммы их компонент а" +6[, во всякой системе координат. Локажите, что они не являются компонентами тензора за исключением случая, когда а = О или Ь = О.
3.24 Найдите контравариантные компоненты суммы тензоров а = е[е[ и Ь = езез, где е; — базис системы координат (х[), х' = х', +х', хз = х', хз — — х' и (х';) — декартовы координаты. 3.25 Докажите равенство Я; .; = Я'.: для компонент тензора Я = Я[зя[е[ейе" е'. 3.28 Рассмотрите компоненты тензоров В = В[[я[в[е'е~е[, и х = с[,е'е[ во всякой системе координат и докажите, что а) суммы В, я[с являются компонентами тензора; ы б) справедливы следующие равенства: В сь[ = В..ь.с.[ = В...д'.. = В..я[с..
бы [1'[ ы [ук' '[ 11'' я[ 3.27 Рассмотрите числа [и, [;,[[ и $„[[т$ы, определенные компонентами тензора второго ранга С во всякой системе координат. Зависят ли они от системы координат? 3.28 Числа,1[ — — С[[..1з — — [,,С, и Хз — — С; [ я[ы, определенные компонентами тензора второго ранга С в декартовой системе координат, не зависят от этой системы, см. задачи 2.15 и 3.27. Найдите формулы, выражающие эти числа через смешанные компоненты тензора С в произвольной системе координат.
3.29 Собственные числа и собственные векторы симметричного тензора второго ранга С определяются как числа Л и векторы с компонентами п,', удовлетворяющие системе уравнений в декартовой системе координат. а) Выведите уравнения, определяющие числа Л и компоненты о[ в произвольной системе координат через (1) ковариантные; (2) контравариантные; (3) смешанные компоненты тензора С.
Глава 1. Основные понятия 38 б) Выразите козффнниенты уравнения Л вЂ” угЛ +1А — уз=о, определяющего собственные значения Л, через смешанные ком- поненты тензора Ф в произвольной системе координат. Тензор Леви — ягивита. Вычисления в криволинейных системах координат 3.30 Покажите, что числа с;,ь=е; (е,хеь) являются компонентами тензора третьего ранга. Этот тензор называется тензором Лени — Чивита. 3.31 Проверьте, что тензор Леви — Чивита обладает следующими свойствами: а) он антисимметричен по отношению к любой паре индексов, т.
е. выполнены соотношения Ебь = — Едь1 Егйь = — Егьй, Егзь = — Еь1,", б) среди его компонент отличны от нуля только те, у которых значения индексов получаются перестановкой чисел 1, 2 и 3; соответствующие компоненты тензора Леви — Чивита равны либо е1гз, либо — сггз в зависимости от того, четна или нечетна перестановка, соответствующая индексу рассматриваемой компоненты, т. е. справедливы равенства сггз = сгзг = езгг, ешз = сгзг = езг1 = -сггз; в) компонента сггз выражается через д = ое1 йд;Д по формуле д, если еы ег, ез — правый базис, сггз = — /д, если еы ег, ез — левый базис. л.
Тгнзоры. Криволинейные координаты 3.32 а) Сформулируйте свойства контравариантных компонент тензора Леви-Чивита, аналогичные свойствам ковариантных компонент, рассмотренным в задаче 3.31 а), б). Докажите зти свойства. б) Покажите, что компонента тензора с'зз выражается через определитель д = бей ((д;,() по формуле 1 /„/д, если еы еео ез — правый базис, с -1/з(д, если еы ез, ез — левый базис. 3.33 Проверьте справедливость следующих соотношений для тензора Леви — Чивита 3.34 Покажите, что при помощи тензора Леви-Чивита векторное произведение а х Ь векторов а и Ь может быть представлено в следующем виде а х Ь = со~а,Ь,ер = ср„„аРЬ'е" в любой системе координат. Это одна из причин, по которым тензор .Леви — Чивита удобен в вычислениях. 3.35 а) Покажите, что при помощи тензора Леви — Чивита смешанное произведение трех векторов а, Ь и с может быть представлено в следующем виде а - (Ь х с) — сор а'Ь'с~ и любой системе координат.
б) Выразите компоненты двойного векторного произведения ах(Ьхс) векторов а, Ь и с через их компоненты. 3.36 Покажите, что объем параллелепипеда со сторонами а, Ь и с равен )е; ьа'Ь1с~(. Глава 1. Основные понятия 3.37 Рассмотрите следующий набор чисел сбь, определенный в любом правом базисе следующим образом: сясз = гсзз = сзю = 11 г123 = е231 = 8312 = 1~ оствльные е; л = О. Эти числа называются символами Леви-Чивита и часто используются в вычислениях (их также обозначают йб"). а) Существует ли тензор, компоненты которого в каждом базисе равны сояд б) Используя символы Леви — Чивита, выразите через компоненты данной матрицы ее определитель и компоненты обратной к ней матрицы. 3.38 Выведите формулы для дифференциалов определителей: а) матрицы йа'Д д (с1еС !/а',Д) = с1еС !)а'. )! Ь~с И а~я, где /)Ь~Д вЂ” матрица, обратная матрице //а'Д, б) матрицы !/д,Д, д = с$еС )/д;Д, 1д=дд~дд,, 3.39 а) Выведите формулу для дифференциалов элементов матрицы )(Ь'.
(), обратной матрице йа'. 'й, И.Ьл = — Ь~ Ь"лев,„. б) Выведите формулу для дифференциалов контравариантных компонент метрического тензора пд = д д "ды Ковариантное дифференцирование 3.40 Являются ли производные дп'/джей компонент о' вектора и компонентами тензора? 3, '1ензоры. Криволинейные координаты 41 3.41 Являются лн символы Кристоффеля Г'ь компонентами тензора? 3.42 Верно ли следующее утверждение: если компонента и' векторного поля в некоторой системе координат равна нулю во всех точках, то в этой системе координат и 17ьо' = О? 3.43 Вычислите ковариантные производные компонент а) метрического тензора; б) тензора Леви-Чивита. 3.44 Найдите символы Кристоффеля а) для цилиндрической системы координат, см. задачу 3.7; б) для полярной системы координат на плоскости, см.
зада- чу 3.8. 3.45 Найдите символы Кристоффеля для сферической системы координат, см. задачу 3.10. 3.46 Найдите символы Кристоффеля для криволинейной системы координат, описанной в задаче 3.15. 3.47 Выведите формулу д!н 7д Я д где д = с1е1'Од;Д. дон Йтп= —., дх"' называетгя дннерненннед векторного полн н. Покажите, что в любой системе координат (х') имеют место следующие формулы: Йн н = ~7 о', а) естественно использовать обозначение с1л и = '17 и, „вектор" с ковариантными компонентами 17;; 1 д( 7дн') /д дх' поэтому где а7— б) 3.48 Скалярное поле Йт и, которое в декартовой системе координат (х') находится по формуле Глава 1.
Основные понятия 42 3.40 Векторное поле, обозначаемое го1 и или снг! и, которое в правой декартовой системе координат 1х") с базисом е'; определяется по формуле Е'1 д го1в = дх" ! 1 называется ротором векторного поля и. Покажите, что в любой системе координат справедлива следующая формула го1п = со ~;о еы Поэтому естественно использовать обозначение го$в = 17 х и, см. задачу 3.34. 3.50 Покажите, что для симметричного тензора второго ранга справедливо равенство 1зЛ 1) 1 цдды /д дх' 2 дхЭ г7,ог — 1;г,о,, где и; — компоненты произвольного вектора, не содержат сим- волов Кристоффеля.
3.52 Покажите, что для любого антнсимметричного тензора, второго ранга ьг: а) справедлива формула г7,о1' = — †.(,„/д1о' ); ,ь ' Э гь . /д дх' б) выражения гб" T1о Ь не содержат символов Кристоффеля. 3.53 Покажите, что всякое векторное поле Й = яд1х')е 1х') выбором подходящей системы координат 1хп1х')) можно локально, в окрестности точки, в которой Й не обращается в нуль, представить в виде Й = е,',(хл).
е'з д дх'~ ~г 3.51 Покажите, что выражения е'з д д ~з Р з 4. Деформация, скорость деформации, вихрь 43 3.54 а) Пусть поле и имеет компоненты с"я дп дв ч = е дхй дх" в криволинейной системе координат (х ), и и 6 — скалярные ь поля. Покажите, что поле и соленоидально, т. е. удовлетворяет условию йч и = О. б) Пусть векторное поле и соленоидально, йч и = О. Покажите, что в окрестности точки, где и не обращается в нуль, найдутся такие два скалярные поля а и 6, что для компонент поля и в любой системе координат справедлива формула оя да дв и = е дх1 дх" Таким образом, предыдущая формула локально дает общее ре- шение и уравнения йч и = О.
4. Деформация, скорость деформации, вихрь Деформирование сплошной среды — это изменение расстояний между ее частицами. Деформирование вызывает отклик сплошной среды, в частности приводит к появлению в ней внутренних усилий. Поэтому необходимо вводить количественные меры деформации. Например, при растяжении стержня его продольную деформацию можно охарактеризовать относительным удлинением (1 — 1в)/1о, где 1 и 1о — длина стержня соответственно в текущий момент и в состоянии, по отношению к которому отсчитывается деформация. Абсолютное удлинение 1 — 1о не является разумной мерой деформации: стержни длиной 1в = 10 см и 1о — — 1 м одинаковое удлинение 1 — 1в = 1 мм приводит в различные состояния. Выбор отсчетного состояния до некоторой степени условен, однако часто для него есть естественные основания; например, для упругого стержня за отсчетное принимают состояние, в котором стержень свободен от внутренних усилий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
