Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Общие законы и уравнения 9.18 Октаэдрической называется площадка, составляющая равные углы с главными направлениями тензора напряжений. Показать, что нормальная компонента вектора напряжений на ней равна 1г/3, где 1, — первый инвариант тензора напряжений. Показать, что касательное напряжение на октаэдрической площадке (октаэдрическое касательное напряжение) равно (Рг — Рг) + (Рг — Рз) + (Рз — Рг) = — ~1гн, где 1гя — второй инвариант девиатора тензора напряжений; рг, Рг, рз — главные значения тензора напряжений. 9.19 а) Определить максимальные касательные напряжения р„,,„и направления площадок, на которых они действуют в данной точке, если в этой точке известны направления главных осей и главные компоненты тензора напряжений. б) Рассмотреть частные случаи равенства между собой величин главных напряжений.
в) Построить поверхность текучести Треска для пластических материалов в пространстве главных напряжений р, У>(р,гг) — Й = О, где Й = сопМ~ Уг(Р. ') = Ряетпах', определить расстояние от начала координат до плоскостей, образующих поверхность, и до вершин сечения поверхности плоскостью, ортогональной линии р, = рг = рз и проходящей через начало координат. 9.20 До приложения нагруз- ки тело имело форму бруса— -Р Р прямоугольного параллелепипеда с длинами ребер а, 6 и с. К двум противоположным торцам приложены поверхностные силы Рис. 9.5. с равнодействующими, равными Р и — Р, действующими вдоль прямой, параллельной ребру с в недеформированном состоянии; остальные грани свободны от напряжений, массовые силы отсутствуют.
Это напряженно — деформированное состояние называют иросигььи Раснгллсениель 9. Тензор напряжений 101 Пусть известно, что тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа не зависит от координат. а) Написать условия, которым удовлетворяют компоненты тензора Пиолы — Кирхгофа на границах тела. б) Найти тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа. в) Что нужно знать для нахождения тензора напряжений Коши? г) Рассмотреть случай, когда растягиваемое тело — прямой цилиндр с произвольной формой поперечного сечения. а) б) в) 9,21 На рис. 9.6 а) и б) показано тело в начальном и деформированном состояниях.
Компоненты тензора Пиолы — Кирхгофа таковы: хы = и ф О, остальные х„= О. Как они изменятся, если тело в деформированном состоянии вместе со всеми напряжениями и деформациями повернуть на угол х/2 вокруг прямой, параллельной оси ~з, см. рис. 9.6 в)? 9.22 Найти величину нормальных и касательных напряжений на различных площадках в зависимости от их ориентации в случае простого растяжения бруса, см. задачу 9.20. Площадь поперечного сечения деформированного бруса равна 5, на торцах действуют равномерно распределенные нагрузки величины Р.
Найти максимальные нормальные и касательные напряжения и соответствующие им площадки. 9.23 а) Установить равносильность утверждений (1) и (2), входящих в определение модели идеальной жидкости: (1) в идеальной жидкости тензор напряжений — шаровой, т. е. рб = — ру", где р — гкаляр; 102 Глава 2. Общие законы и уравнения (2) в идеальной жидкости вектор напряжений на любой площад- ке параллелен нормали к этой площадке. б) )Кидкостью называют среду, которая не может находиться в покое, если в ней на какой-либо площадке есть касательные напряжения.
Показать, что в покоящейся жидкости рб = — рдо. 10. Дифференциальные уравнения движения и равновесия Из закона сохранения количества движения, кроме факта существования тензора напряжений, выводятся дифференциальные уравнения движения (или равновесия, если и = О) — в области, где состояние среды описывается гладкими функциями. При использовании эйлеровой системы координат или лагранжевой сопдпгспзеующей системы (с базисом е;) эти уравнения имеют вид о' = — + о ~7ь о', (10.1) дс ра' = РГ' + ~ь р' ., Ро — = Роуз'+ %ь х', дСз (10.2) где ро — начальная плотность среды; ю' и г' — — компоненты векторов перемещения и плотности массовой силы в базисе еб и'" — компоненты тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа в ба- зисе е,. где ргл — компоненты тензора напряжений Коши, а' — компоненты вектора ускорения а.
При использовании начальной лагранжевой системы координат (с базисом е,) уравнения движения могут быть записаны в виде 103 10. Уравнения движения и равновесия Задачи 10.1 Вывести дифференциальные уравнения движения в эйлеровом описании из закона сохранения количества движения. Записать их в компонентах в произвольной системе координат и в декартовой ортогональной системе. 10.2 а) Как ~вязаны между собой компоненты ускорения а' и скорости Оь в сопутствующей лагранжевой системе координат? б) Написать уравнения движении' в сопутствующей лагранжевой системе координат. в) Показать, что выражения ~ь рсь и а' в сопутствующей системе содержат производные от компонент тензора деформаций. 10.3 Получить дифференциальные уравнения движения в начальной лагранжевой системе координат.
10.4 Поле тензора напряжений в декартовых координатах задано матрицей Зту? 5уг.у О (ро) = 5уз? О 2яз? , т = сопя$. О 2яз у О Какими должны быть массовые силы, чтобы среда с заданной плотностью р была в равновесии? 10.5 Пусть в декартовой системе координат тензор напряжений имеет компоненты ры = — рдв+у(у, я), остальные р; равны нулю; плотность р = сопя1, д = соняФ. Найти массовые силы, если известно, что среда находится в равновесии. 10.6 Матрица компонент тензора напряжений в покоящейся среде с заданной плотностью р имеет вид (ро) = О Ь О где а, Ь, с — постоянные величины. Найти массовые силы, если рб суть контравариантные компоненты тензора в а) декартовой; б) цилиндрической; в) сферической системах координат.
Глава 2. Общие законы н уравнения 104 10.7 а) Вывести уравнения равновесия для жидкости, пользуясь тем, что в покоящейся жидкости тензор напряжений шаровой, т. е. Рб = — Рдо, см. задачу 9.23. б) Показать, что если Р говх ф О, то в поле массовых сил Р невозможно равновесие какой-либо жидкости.
10з8 Мембрана — это очень топкая пленка, которая не сопротивляется изгибу, но сопротивляется растяжению. Пусть однородная равномерно растянутая натяжением Т мембрана нагружена вертикальной нагрузкой интенсивности д на единицу площади, ось х направлена вертикально вниз, оси х и у и начало координат взяты в исходной горизонтальной плоскости мембраны. Вывести уравнение для малого вертикального прогиба мембраны ги(х, у), считая натяжение Т не зависящим от в. Ргз = 2 ('д~~ ДФг ДФз~ 2дх ~,дх ду Дг) Рз~ = Р1г Функции Фы Фг, Фз, через которые можно найти все компонен- ты тензора напряжений так, что уравнения равновесия тожде- ственно удовлетворяются, называют функциями напряжений. 10.9 Тело находится в равновесии под действием только поверхностных сил.
ДгФ ДгФг д'Фг а) ПУсть Ргг = д д, Ргз = — д д Ргз = ху хг ух где Фг, Фг, Фз — произвольные достаточное число раз дифференцируемые функции. Показать, что уравнения равновесия удовлетворяются, если дгФ дгФ, дгФ, дгФ дгФ дгФ, Р" дуг + дг' Ргг дг + дхг Рзз дг + дуг дгФ, дгФ дгФ б) ПУсть Рп=д д, Ргг=д, Рзз= Показать, что уравнения равновесия удовлетворяются, если 105 1О. Уравнения движения и равиове<ия 10.10 Показать, что при отсутствии массовых сил уравнения равновесия в случае плоского напряженного состояния (только ры, р<г и ргг, отличны от нуля и они зависят только от х и у) возвел<)ют ввести функцию напряжений Эри Цх,у) такую, что ф~У <Ог11 дг11 Рп = — Ргг = — Р<г = = д ' д, ' = д ду' при произвольной трижды дифференцируемой функции 11 и та ким образом полученных компонентах р, тензора напряжений уравнения равновесия удовлетворяются тождественно. 10.11 Пусть в находящемся в равновесии цилиндрическом стержне, на который действуют только силы, приложенные на его торцах, во всех точках выполнены равенства 11 12 гг зз р =р =р =р" =О.
Ортогональные декартовы оси х, у и г выбраны так, как показано на рис 10.1; и внешние массовые силы не действуют. Рис. 10.1. Показать, что а) существует функция напряжений У(х,у): з< дУ зг Р— < Р ду' дх' введение которой приводит к удовлетворению всех уравнений равновесия; б) условие р„ = О на боковой поверхности стержня сводится к условию дУ'/да = О вдоль контура поперечного сечения в плоскости (х; у), где а — длина дуги контура сечения; в) если в стержне имеется указанное выше напряженное состояние, то главный вектор сил, действующих в любом поперечном сечении. равен нулю, а главный момент сил, действующих на сечение, сводится к крутящему моменту.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
