Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 20
Текст из файла (страница 20)
ы'. Вычислить коэффициент эффективной вязкости, определяемый величиной 0.5рш/езз. При какой ориентации среды и анизотропия среды не влияет на величину напряжений в ней? 12.18 Для магнитной жидкости намагниченность М связана с магнитным полем Н уравнением ИМ 1 — =йх М вЂ” — (М вЂ” ЛН), Й т где х — коэффициент магнитной восприимчивости среды, т— время релаксации. Это уравнение описывает эволюцию векто- ра М вблизи его равновесного значения ЛН.
Остальные опреде- ляющие уравнения имеют вид Я = О, Р = — р8+ 2ре+ 0.5Лс; ь (й~ — м~/ е'е', где р — давление; е — тензор скоростей деформаций; и — век- тор вихря. Пусть имеется установившийся поток магнитной жидкости в однородном постоянном магнитном поле Н и его компоненты скорости в декартовой системе координат равны о =2еу, вв — — н,=О; е=сцпв1. Найти стационарное однородное распределение векторов вну- треннего вращения Й и намагниченности М при ~рот << 1. Вы- числить коэффициент эффективной вязкости 0.5рю/еш.
Глава 3. Термодинамика сплошных сред 13. Основные законы и понятия термодинамики Первый закон термодинамики Первый закон термодинамики (закон сохранения энергии) утверждает, что для любой термодинамической системы существует однозначная функция состояния системы — энергия Е такая, что для любого элемента процесса, происходящего в системе, выполняется равенство ( 1(е) + ~Ц(е) + д(~** (13.1) где дŠ— дифференциал энергии Е, а остальные входящие в уравнение величины дА('), д(~(') и Щ** не являются дифференциалами каких-либо функций; дА(') — работа действующих на систему внешних сил; Щ(') — приток тепла к системе извне; Й~" — другие возможные притоки энергии извне за время д(. Изменение кинетической энергии Е„кв системы описывается уравнением, называемым еще теоремой живыя сил, аЕ„„„= дА(') + дАР), (13.2) где дАб) — работа внутренних сил. Как следствие уравнений (13.1) и (13.2) можно записать уравнение притока тепла д(( = дА(!) +,К)(е) +,Ю**, (13.3) где по определению У = Š— Е„„„— внутренняя энергия.
Глава 3. Термодинамика сплошных сред 128 Уравнение живых сил (13. 2) дает — — = (.г" и) + — тл(р оь) — — р ~7~оь, (13.6) ы 1 м й 2 р Р а уравнение (13.3) приводит к дифференциальному уравнению притока тепла ди 1 ы ду Ид'* — = -ры%~оь+ — + —, й р й й' (13.7) где дд = да„, — 17ьд й(р — плотность полного притока теь пла, т. е. полный приток тепла к единице массы; аналогично, дд** = дд„**„— ~уьд"*"й/р — полный приток добавочной энергии.
Величина -р %оь 1 и р (13.8) а = — мбгадТ, (13.9) где м — коэффициент теплопроводности, Т вЂ” температура. Для анизотропных сред закон Фурье имеет вид д = — Ч„Т, (13.10) где и ь — компоненты тензора коэффициентов теплопроводности. Процесс называется адиабатическим, если для любой малой частицы приток тепла равен нулю, т. е.
до = О. Процесс называется изотермическим, если температура любой частицы сохраняется во времени, т. е. дТ(й = О. представляет собой взятую с обратным знаком работу внутренних поверхностных сил на единицу массы в единицу времени, см. задачу 10.21. Отношение величины притока тепла к единице массы в некотором процессе к соответствующему изменению температуры в этом процессе называется удельной теплоемкостью с = ду(дТ. Величина теплоемкости зависит не только от материала, но и от процесса, который в нем происходит.
' Закон теплопроводности Фурье для изотропных тел гласит 129 13. Основные законы и понятия термодинамики Второй закон термодинамики Второй закон термодинамики утверждает, что для любой термодинамической системы существует функция состояния системы — знпгропия 5, такая, что для любого малого участка. процесса, происходящего в системе, выполняются соотношения И5 = И,,5+ 45, 45 > О.
(13.11) Здесь Н5 — дифференциал энтропии, И,5 и 45 — не дифференциалы, а просто бесконечно — малые величины, имеющие следующий смысл: И,5 — приток энтропии извне, 45 — производство энтропии в системе, которое происходит, если процесс необратимый. Для обратимых процессов 45 = О. Процесс называется обратимым, если 1) возможно провести его по тем же состояниям в обратную сторону, 2) в прямом и обратном процессах притоки энергии извне во всех формах для всех частей системы отличаются только знаками. Обратимые процессы описываются уравнениями, инвариантными относительно изменения знака времени.
Приток энтропии извне может происходить только если система обменивается с окружающей средой теплом или массой. Если массообмена с окружающей средой нет, а температура всех частей системы одна и та же, то 4,5 = Щ(Т. Для обратимых процессов в такой системе второй закон термодинимики имеет вид в15 = —. й~ Т' (13.12) Обычно в сплошной среде температура различных точек различна, а тепло к индивидуальному объему $' может поступать 1) через его границу Е, при этом к каждому элементу поверхности Ивг поступает тепло ( — д„йИвя), или 2) непосредственно к точкам объема, при этом к элементу объема вП" поступет рддр „вП'.
Приток энтропии извне ко всему объему Р за счет притока тепла представляется в виде И,5 = — —, Ю вявт + / р вйг. г Ид„„ 5 з . язве Глава 3. Термодинамика сплоппплх сред 130 Для индивидуальноео объема И сплошной среды при отсутствии массообмена с окружающей средой (за счет диффузии) второй закон термодинамики записывается в виде йу дТ /Т й у й ' й где в — плотность энтропии (энтропия единицы массы), д!в/й — плотность скорости производства энтропии.
Из (13. 13) для непрерывных движений получается дифференциальное уравнение, описывающее изменение энтропии, если д!в/й задано, — = — — ~7ь~ — ~ + — + —, — > О. (13.14) й р ~(Т) т й й' й-' Уравнение второго закона термодинамики (13. 14) может быть записе,но в виде (13.1Б) Тдв = дд + дд, где до = дд„„„— ~ьдьй/р, дд' = Тд!в+ д~Ч~Тй/рТ.
Величина дв' называется некомпенсированным теплом. Если закон теплопроводности не зависит явно от других возможных необратимых процессов, то величина дд'/Т равна плотности производства энтропии за счет всех необратимых процессов, кроме теплопроводности, и по второму закону термодинамики является неотрицательной. Для обратимых процессов дд' = О.
Итак, для моделей сред, в которых механические процессы считаются обратимыми, например, для идеальных (невязких) жидкостей и газов, упругих тел, уравнение второго закона термодинамики записывается в виде (13.16) если нет других (кроме теплопроводности), возможных необратимых процессов (необратимых химических реакций, прохождения электрического тока и т.д.). 131 13.
Основные законы и понятия термодинамики Неравенство днсснпацнн н тождество Гиббса Для сред с обратимыми процессами, комбинируя уравнение второго закона (13. 16) и первого закона в виде уравнение притока тепла (13.8), можно получить соотношение Ии = — р" Чьи й+ Т<Ь+ Й1", (13.17) р которое, если еще Ид** = О, связывает между собой только внутренние параметры среды в любом процессе; внешние воздействия — работа внешних сил и приток тепла — исключены с помощью уравнения кинетической энергии и второго закона термодинамики.
При наличии необратимых процессов из первого и второго законов термодинамики вместо равенства (13.17) получается неравенство. Именно, уравнения (13.7) и (13.14) дают Ни 1 ь дд** сЬ 1 и;л — = — р~ ~~о,„+ — + Т вЂ” — — д ч~Т вЂ” Т вЂ”. (13.18) й р й й рт й Согласно второму закону термодинамики 4я > О, поэтому Ии — — р Ч~и й — 4д — Т<Ь+ —,д ~~Тй < О. (13.19) 1, /ст Р рТ Неравенство (13.19) называют неравенством Клаузиуса (иераяеистпво.и диссипации).
Примером среды с обратимыми механическими процессами является идеальная (невяэкая) жидкость. В идеальной жидкости по определению р~ = — рд", где р — давление. Соотношение (13.17) для идеальной жидкости при пд*' = О принимает вид Ии = — Нр+ Тйс = р (13.20) г Движение вязкой жидкости представляет пример необратимого процесса. В вязкой жидкости рая = — рдеть + т"'~, где т " = т~ — вязкие напряжения, являющиеся функциями компонент тенэоРа скоРостей дефоРмапий ег,„о пРичем гл = О при еь = О.
132 Глана 3. Оермолннамика солонинах ~ род Если для вязкой жидкости выполняклтя соотношения 4д"" = О, и = п(р, в). р = р(р. в), Т = Т(р, в). (13.22) (13.24) то неравенство (13.20) записывается в виде ( — — —,) 7р+ ( —, — Т) пав (13.21) р рт Рассматривая процессы. в которых еь малы.
~т~„Т = О н учитывая, что гм р и т не зависят от Ир п пв, а т'" при малых сь малы, получим, что (13.21) может выполняться только если р ди(р, в), ди(р, в) Т= „,г д , ' д , В действительности равенства (13.22) верны для любых процессов, т. е. не только при малых еь и при таят = О, так как они связывают между собой величины, которые по условию явно не зависят от значений сь и (7ьт. С учетом соотношений (13. 22) неравенство диссипации приводится к виду —,— д ~ьт+т сь > О, (13.23) а уравнение (13.19) дает — = — — д Чьт+ — т ьеыа. рта рт Формула (13.24) дает выражение для скорости производства энтпропии в вязких теплопроводных жидкостях за счет необратимых процессов, связанных с вязкостью и теплопроводностью.
Равенства (13. 22) могут быть записаны в виде соотношения и'и = — яр+ Твв, (13. 23) „,г верного не только для идеальных, см. (13.18), но и для вязких жидкостей, и называемого тиождеством Гиббса. Его смысл состоит в том, что даже при наличии необратимых процессов связи между термодинамическими параметрами, явно не зависящими от параметров, определяющих необратимость, остаются такими же, как для обратимых процессов. Подобные тождества Гиббса можно написать для других моделей сплошных сред.
13. Основные законы и понятия термодинамики 133 Принцип Онэагера В моделях сплошных сред с необратимыми процессами обычно, обобщая (13.24), принимают выражение для 4а/Й в виде Н;а — Х"х„, й (13.26) где Х" — так называемые „термодинамические силы", х„— „потоки". В силу требования второго закона термодинамики о неотрицательности Н1э термодинамические силы и потоки не могут быть независимыми. Зависимости между ними во многих случаях описываются линейными соотношениями (13.27) Если диссипативные процессы зависят от аксиальных векторов, например, от напряженности магнитного поля Н, то предыдущие равенства заменяются соотношениями А"™1Н) = Ь "( — Н).
Свободная энергия,энтальпия, термоднпамнческий потенциал Гиббса При описании термодинамических свойств сплошных сред, кроме внутренней энергии и, температуры Т, энтропии л, используются и другие функции состояния, в частности, свободная энергия У = и — Тл, энтальпия (теплосодержание) 1 = и+ р/р для жидкостей и газов, 1 = и — р "гь /р для твердых деформируемых сред, термодинамический потенциал Гиббса Ф = 1 — Тл (все функции отнесены к единице массы). Соотношения (13.27) называются кинетическими соотношениями, а Ь" — кинетическими коэффициентами.
Примером кинетических соотношений является закон теплопроводности Фурье (13.5) и (13.6). Принцип Онэагера — принцип симметрии кинетических коэффициентов — утверждает, что если среди аргументов А" нет аксиальных векторов, то 134 Глава 3. Термодинамика сплошных сред О математических моделях сплошных сред Законы термодинамики используются в механике сплошных сред двояко.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
