Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Во-первых, они необходимы при расчетах конкретных процессов. Уравнение энергии входит в полную систему уравнений, описывающих движение среды, а второй закон определяет класс возможных процессов, см., например, задачи 14.1 — 14.48, а также задачи из других разделов этой книги. Вовторых, законы термодинамики используются при установлении новых моделей сплошных сред.
Задать математическую модель сплошной среды — значит задать полную (замкнутую) систему уравнений, позволяющую описать движение или равновесие среды. Полная система уравнений для любой модели среды состоит а) из универсальных уравнений, выполнение которых требуется для всех сред, и выражающих законы сохранения массьц количества движения, момента количества движения и энергии, а также второго закона термодинамики; б) из соотношений, задающих свойства конкретной среды. Эти соотношения называют определяющими. Среди определяющих соотношений могут быть связи между равновесными параметрами состояния — тогда их называют уравнениями состояния, например, связь р = КрТ для совершенного газа, и соотношения между параметрами, описывающими процесс -- тогда их часто называют кинетическими соотношениями, например, связи между напряжениями и скоростями деформаций в вязкой жидкости.
При записи определяющих соотношений используют опытные данные о поведении среды и делают гипотезы о виде уравнений. Эти гипотезы должны быть согласованы с законами термодинамики. Использование следующих из общих законов связей между параметрами существенно сокращает число необходимых для построения модели гипотез и экспериментов, см. параграф 16. Приведем краткую сводку соотношений, определяющих некоторые классические модели сплошных сред.
Эти соотношения не представляют минимальной системы, необходимой для задания модели среды, см. задачи 16.7 — 16.9, 16.13. Подробнее они рассматриваются и используются в следующих разделах книги. !3. О< ионные законы и понятия термодинамики 135 Определяющие соотношения для некоторых моделей сплошных сред 1. Идеальная несжимаемая жидкость р" = — рд", дд' = О, — = О, и = и(Т), (13.28) где плотность внутренней энергии и(Т) — заданная функция температуры Т; р — давленние; дΠ— компоненты метрического тензора.
2. Идеальная сжимаемая, жидкость или еаз р'~ = — рд', Ид = О, р = р(р, Т), и = и(р, Т), (13. 29) где р(р, Т) и и(р, Т) — заданные функции. 3. Вязкая несжимаемая жидкость др — =О, Й Ид' = — т" с,,д1, 1 со — — -(~7;о~ + ~7 и;), 2 ро = — рдо+ т'~, (13.30) т" = то(еы, Т), и = и(Г), где тг)(сы, Т) и и(Т) — заданные функции.
Тензор с компонен- тами т; называется тензором вязких напряжений. 4. Вязкая сжимаемая жидкость или газ дд' = — т" е;, й, Р и = и(р, Т), т" = т" (см, Т), ро = — рдо + т", (13.31) р= р(р,т), например, для изотропной линейно-вязкой жидкости справед- лив закон Навье — Стокса т, = Лйчод,. + 2пей, (13.32) где Л и р — - коэффициенты вязкости, Л = Л(Т), р = р(Т). где р(р, Т), и(р, Т) и тО(ем, Т) — заданные функции. В частности, жидкость называется линейно — вязкой (или ньютоновской), если связь между тензорами скоростей деформаций и вязких напряжений линейна, то есть то = Аоы(Т)еы, 136 Глава 3.
Термодинамика сплошных сред Идеальный или вязкий газ называется совершенным, если р = ВРТ, и = снТ + сопв1, ск = сопв$, В = сопвС =, (13.33) В т' где Во — универсальная газовая постоянная,т — молекулярный вес газа. 5. Упруг л (термоупругая) среда ро = р" (ем, Т), и = и(еы,Т), йд' = О, (13.34) где ро(гм, Т) и и(ем, Т) — заданные функции, ем — компоненты тензора деформации. Для линейной изотропной термоупругой среды с малыми деформациями выполнен закон Гука, который с учетом температурных напряжений имеет вид Р', = ЛУ~(е)д,, + 2Рг„— о(ЗЛ+ 2Р)(Т вЂ” То)д;,, (13.36) а плотность внутренней энергии и определяется равенством и = —,Уз + — Уз(е) + — (ЗЛ+ 2р)У~То+ Л Р О 2 Р Р Р (13.36) с (Т вЂ” То) з + + с(Т вЂ” То) + сопв1, 2То где,Уз(г) = догу,,Уз(е) = г"е;", Л и Р— коэффициенты Ламе; о — коэффициент линейного теплового расширения; с — удельная теплоемкость в процессе с неменяющейся деформацией.
Во всех перечисленных моделях тензор напряжений считается симметричным. Термодинамика сред с внутренним вращением и несимметричным тензором напряжений рассматривается отдельно в 3 17. В последующих задачах этой главы, если не оговорено противное, рассматриваются процессы, в которых добавочные притоки энергии йд** отсутствуют. 137 14. Первый закон термодинамики 14. Первый закон термодинамики.
Уравнения энергии и притока тепла. Совершенный газ Задачи 14.1 Доказать с помощью первого закона термодинамики (13.4), что для процесса теплопроводности в сплошной среде существует вектор и такой, что д„= и в, где д„— предел отношения количества тепла, протекающего в единицу времени через площадку с нормалью в, к площади этой площадки, когда площадь стремится к нулю и площадка стягивается к точке.
Вектор 4 называется вектором потока тепла. 14.2 Из первого закона термодинамики для конечного объема сплошной среды (13.4) вывести дифференциальное уравнение энергии (13.6). 14.3 Написать выражение для плотности работы внутренних поверхностных сил, т. е. величины — ф'1~,о, Й/р, см. определение (13.8), для: а) несжимаемой идеальной жидкости, см. (13.28); б) сжимаемой идеальной жидкости (газа), см.
(13.29); в) несжимаемой вязкой жидкости, в частности изотропной линейно-вязкой, см. 113.30), (13.32); г) сжимаемой изотропной линейно †вязк жидкости. 14.4 Показать, что для упругой среды, и вообще для любой среды, в которой тензор напряжений симметричен, плотность работы внутренних поверхностных сил может быть представлена в виде 1 „;. рз йб., Р где р;, еу — - компоненты тензоров напряжений н деформаций в актуальной (сопутствующей) лагранжевой системе координат. 138 Глава 3. термодинамика сплошных сред 14.5 Написать уравнения энергии и притока тепла для: а) идеальной несжимаемой жидкости; б) идеальной сжимаемой жидкости; в) вязкой жидкости; г) упругой среды, используя определяю~вне соотношения (13. 28) — (13.
Зб) . 14.6 Используя уравнение притока тепла, показать, что для идеальной жидкости производная удельной внутренней энергии ди(р, Т)(дТ есть удельная теплоемкость в процессе с неменяющимся объемом. 14.7 Показать, что удельная теплоемкость упругой среды в процессе с неменяющимися деформациями равна производной ди(ссо Т) !дТ. 14.8 Найти связь между удельными теплоемкостями в процессах с постоянным давлением (с,) и в процессах с постоянным объемом (ск) для идеального совершенного газа, см.
формулы (13.29) и (13.33). 14.9 Показать, что в общем случае движения вязкого совершенного газа с неменяющимся объемом частиц удельная тепло- емкость не равна ск. Для какого процесса в вязком газе ск является удельной теплоемкостью? 14.10 Показать, что в процессах с постоянным давлением для идеальной жидкости и идеального газа, приток извне тепла к едлнице массы равен приращению плотности энтальпии 1, а удельная теплоемкость с„есть дг(р, Т)?ОТ. 14.11 Показать, что при адиабатических движениях идеальной жидкости температура и давление в частицах зависят только от их плотности. Верно ли это для вязкой жидкости? 14.12 а) Записать уравнения адиабаты Пуассона — соотношения между температурой и плотностью, а также между давлением и плотностью для адиабатических движений идеального совершенного газа. б) Сохраняются ли они в случае вязкого совершенного газа? 14.
Первый закон термодинамики 139 14.13 Найти связь между изменением температуры и величиной первого инварианта тензора деформаций при адиабатическом деформированнн линейной термоупругой нзотропной среды с малыми деформациями, см. формулы (13.35), (13.36). Сравнить соотношения, связывающие напряжения и деформации в адиабатических и изотермических процессах в такой среде.
14.14 Имеется растянутый однородный стержень из линейного термоупругого материала, см. формулы (13.35), (13.36). Рассмотреть два процесса нагревания стержня: 1) когда стержень помещен в жесткую недеформируемую оболочку; 2) когда жесткая оболочка отсутствует, а к торцам стержня приложены постоянные растягивающие напряжения р. Вычислить теплоемкости с, и с, в первом и втором процессах соответственно. Объяснить независимость с„от значений рм. 14.15 Найти связь между температурой Т и намагниченностью М в процессе аднабатического намагничивания среды, для которой вектор намагниченности М пропорционален вектору напряженности магнитного поля Н: М = уН.
Считать, что деформирования среды не происходит, внутренняя энергия при постоянной температуре явно не зависит от намагниченности, теплоемкость при постоянной намагниченности см постоянна, восприимчивость )~ подчиняется закону Кюри Г = А/Т, где А = сопа1, приток энергии от поля к среде при намагничивании определяется формулой рддр** = Н НМ. Этот приток энергии представляет собой пример добавочного притока энергии. т. е. отличного от притока тепла и работы макроскопических сил. 14.16 Известно, см. Я 25, 26, что малые возмущения плотности и давления в идеальном газе распространяются по газу со скоростью а = ~,Яр/Ир.
Распространение звука — это процесс распространения малых возмущений. который можно считать адиабатическим. Показать, что в идеальном совершенном газе ск )рость звука есть функция только температуры. Глава 3. "1'ермодинамика сплошных сред 140 14.18 Используя закон Фурье (13.9), получить выражение для плотности притока тепла Ид при теплопроводности, если а) к = сопв1; б) к = к(Т). 14.19 Считая, что теплопроводность подчиняется закону Фурье, причем к = сопв1, написать уравнение энергии и уравнение притока тепла для следующих теплопроводных сред: а) идеальная несжимаемая теплопроводная жидкость; б) линейно — вязкий совершенный теплопроводный газ; в) линейное термоупругое тело.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
