Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 24
Текст из файла (страница 24)
17. Среды с внутренним моментом количества движения 153 Уравнение внутреннего момента количества движения, см. 12, приводит к уравнению изменения энергии внутреннего врашения оовращ = Р1~;Й'+ T,ЯРЙ') — Р' «олй" — Я; 7",Й', где с, л — компоненты тензора Леви-с1ивита. Это позволяет дать следующую интерпретацию стоящим в правой части членам: рЬ;Й' + ~7,(Яьмй') — работа, в расчете на единицу объема и в единицу времени, внешних массовых и поверхностных пар; — рбс;уьй~ — работа внутренних поверхностных сил на изменении ориентации частиц среды; — Я у~„й' — работа внутренних поверхностных пар. В соответствии с этим предполагается, что полное уравнение энергии, отвечающее первому закону термодинамики, имеет вид г р — ~ — + в ) = ту(р"о;+ Чбй; — д1)+ рг"о;+ рйй'+ р ™".
Таким образом, в средах с внутренним моментом количества движения имеют место добавочные (не тепловые) массовые и поверхностные притоки энергии р — = рй;й*+ ~ ®'1Й;). Нд*. С помощью уравнения изменения энергии внутреннего вращения (17.1) и теоремы живых сил выводят уравнение изменения функции й р — = роT.о, + я'э7'.Й; + рысьпй' — ~у ф + р ™сс = = рэе; + Я 17 Й;+р сц;(Й вЂ” и ) + рТ вЂ” — Р— б ы ; ' пя оЧ где отделены работы симметричной и антисимметричной частей тензора напряжений р; е — тензор скоростей деформаций; ив вектор вихря; а также введено некомпенсированное тепло Ид' р — > О. и'1 Глава 3.
'1ермодинамика сплошных сред 154 Это уравнение позволяет определить, согласно предположению о выполнении тождества Гиббса, „обратимые" части тензоров р и Я с компонентами р',~ и Я',» Учитывая скалярность функции й, см. задачи 17.4 — 17.5, перепишем тождество Гиббса в следующем виде: д дй, „здй Роер+Р г, ь ~ и +Р д У /~о+ иЧп др /, дй д~~ п" д7~п' Если входящие в это уравнение величины ь пл ~~;и„= е; +е; ьш, 'й)11, и й являются независимыми, т. е. можно построить примеры функ- ций х'(~~,1) (закон движения среды), п'(~~,1) и л(~~,1), когда лишь одна ~любая) из компонент указанных независимых вели- чин отлична от нуля, а остальные равны нулю, тождество Гиббса однозначно определяет тензоры р,ер, Я,ер и температуру Т.
Если же между этими величинами имеются связи, например, условие несжимаемости среды, то эти характеристики определяются из тождества Гиббса с известным произволом. Вид „необратимых" частей тензоров р и Я, а также вектора потока тепла и, определяется на основании предположений об общем виде производства энтропии д;л 1 Ид' д'тУТ 1 Во многих случаях зависимость между „термодинамическими силами" Х" и „потоками" я„считается линейной и однородной Х" = Ь" х, удовлетворяющей принципу симметрии Онзагера: 1 лап 1тп Величина о называется также функцией диссипации. 17. Среды с внутренним моментом количества движения 155 Задачи 17.1 а) Вывести теорему живых сил в интегральной форме для абсолютно твердого тела.
б) Чему равна полная работа внутренних поверхностных сил для абсолютно твердого тела, если отсутствует внутренний момент количества движения, а также нет распределенных массовых и поверхностных пар? в) Установить вид кинетической энергии вращения ротатора, см. задачи 12.7 и 12.8. 17.2 а) Используя уравнения движения среды и уравнение внутреннего момента количества движения, вывести уравнение изменения „полной" кинетической энергии, включающей кинетическую энергию внутреннего врашения. б) Выделить в уравнении пункта а) работу внутренних поверхностных сил, связанных с антисимметричной частью тензора напряжений. В каких случаях она может быть равна нулю, если тензор напряжений р не зависит от относительной угловой скорости внутреннего вращения (Й вЂ” и)? в) Каков физический смысл остальных членов уравнения п.
а)? 17.3 Используя полное уравнение энергии для сред с внутренним вращением, см. теорию к настояшему параграфу, и уравнение задачи 17.2 а), получить уравнение изменения функции й— части внутренней энергии среды без кинетической энергии внутреннего вращения. 17.4 Установить дифференциальные условия инвариантности функции й(п',Ч,п',д, ), как скаляра, относительно бесконечно малых поворотов декартовой системы координат (х'), где и' — компоненты вектора ориентации среды, ~~и' — его ковариантной производной, д; — метрического тензора. 17.5 а) Из уравнения изменения функции й, см.
задачу 17.3, исключить внешний приток тепла с1д 1 ~ с1дмасс — = — — 1~д*+ й1 р ' й1 156 Глава 3. Термодинамика сплопшых сред с помощью второго закона термодинамики. Предполагал пропессы изменения энтропии, движения. деформации и внутреннего вращения среды независимыми и обратимыми, а также тензоры напряжений р н моментных напряжений Я не зависящими от тенэоров Tя, ~7Й и производной 0л/й, установить вид тензоров р и (3 при следующих условиях: 1) й = й1р, .); 2) й = й.1р, л, и', Я.п', д, ), где и — вектор ориентации среды. Использовать результат задачи 17.4.
б) В декартовой системе координат 1я') построить примеры распределения ориентации в(я,1) в покоящейся среде, когда отлична от нуля лишь одна из компонент тензора 17Й, например, 17гйз или ~7зйз, остальные -- нули. 17.6 Используя результаты задачи 17.5 а), записать тождество Гиббса для сред, для которых каждый из тензоров р и (4 можно разложить на сумму „обратимой" и „необратимой" частей. Считая заданной функцию й1р, л, и',Я,п', д;,), получить формулы для обратимых частей тепзоров р и Я и температуры Т.
С помощью уравнения изменения функции й, см. задачу 17.3, установить вид некомпенсированного тепла рс1д'/«11. Вывести формулу для производства энтропии и. 17.7 а) Предположим, что необратимые части тензоров напряжений р и моментных напряжений Я, см. задачу 17.6, а также вектор — —, дел Т, рассматриваемые как термодинамические 1 силы, зависят линейно и однородно от следующих термодинамических потоков: е, я 1Й вЂ” и) и д. Здесь я — тензор Леви — Чивита. Кроме того, предположим, что зависимость от АЙ отсутствует.
Считая тензорные коэффициенты функциями метрического тензора я, найти в этих условиях общий вид функции диссипации и для сред с внутренним моментом количества движения. Использовать принцип симметрии Онэагера. б) Как изменится результат пункта а), если, считая Я„„ар — — О, в качестве термодинамических сил и потоков рассмотреть соответственно величины с компонентами р ЯТ 2 ~«Р + Р ) неоар~ Рвеоарс«ба ~ Т н е ° Й«к а'«« ~ % ° !7. Ороды с внутренним моментом количества движения 157 в) Установить соотношения между термодинамическими силами и потоками, определенными в п. б), предполагая, что их коэффициенты зависят от тензоров н и пп, где п — вектор ориентации среды.
Использовать результаты задач 6.17 и 6.20. 17.8 В случае б) задачи 17.7 привести функцию диссипации и к сумме квадратов независимых термодинамических потоков и установить неравенства на коэффициенты в соответствие со вторым законом термодинамики. 17,9 а) Показать, что вектор, стоящий в правой части уравнения внутреннего момента количества движения, с компоненб тами '71Яь,в — Р,в~емь где дй; ь яда; б дй;ы Ровр = Р о~7 ь Р ов Д " Яовр = Р д~7 ,и, Р зп всегда ортогонален вектору ориентации среды и для любой достаточно гладкой скалярной функции й(р, в, и', Ч,п', д, ), см. задачу 17.4.
б) Пусть р„~„в е;.ьп~ = 0 для любого вектора и. Найти ограничения на скалярные коэффициенты и установить общий вид термодинамической силы с компонентами р„'„в е;,ь, удовлетворяющей условиям задачи 17.7 в). 17.10 Имеется установившееся сдвиговое течение намагничивающегося жидкого кристалла между двумя бесконечными параллельными пластинами, расстояние между которыми равно Ь.
Температура обеих пластин поддерживается постоянной, равной Тв. Уравнение изменения функции й имеет вид р — = — ~7 д'+ рме;, + р" егь(й" — и ), где Й = сТ и вектор потока тепла и = — мцги Т (с, м — постоянные), а остальные определяющие уравнения, распределения скорости, магнитного поля и ориентации среды те же, что и в задаче 12.17. Найти распределение температуры Т внутри потока и вычислить нормальную составляющую д„на его границах.
Определить распределение притока энергии Нд**/й, см. теорию к настоящему параграфу. Глава 3. '1ермодинамика сплошных сред 17.11 Рассматривается модель несжимаемой магнитной жидкости, обладающей внутренним вращением, определяющие уравнения которой приведены в задаче 12.18. Предположим, что приток энергии имеет вид и пусть уравнение притока тепла для этой жидкости имеет вид Ии, ИМ' р — = р"ху,и;+ О; — — T;д', Й '' '~Й где Мг и = иоес + — + — 1Й, 2рХ 2 с1; = — кто;Т. ди М=сосм ~ ул О=сспм показать, что некомпенсированное тепло имеет вид Ид' ЫМ р — = 2ребе" + Л)й — си)~+ т — — й х М й ИС б) Пусть в сдвиговом стационарном потоке такой жидкости в зазоре шириной Ь между двумя бесконечными параллельными пластинами, на которых поддерживается одинаковая постоянная температура То, распределения скорости, магнитного поля и параметра Й те же, что и в задаче 12.18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
