Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Можно считать, например, что это течение — последовательность бесконечно малых разрывов исследуемого типа. Выяснить для этого случая условия реализации на выходе одного из двух возможных течений. 18.14 а) Рассмотреть возможность моделирования тонкой прослойки маловяэкой жидкости в течении вязкой жидкости с Глана 4. Поверхности разрыва помощью тангенциального разрыва.
Для этого рассмотреть плоскопараллельное течение и = о(у)е с непрерывной скоростью о(у), считая, что вязкость р зависит от у следующим образом: р, приу) 6, ро при — 6 < у < 6, рз при у < — 6. Рассмотреть предельный переход 6-~0, р,-+О при р1 = сопвФ и рз = сопзс, считая сдвиговое напряжение т = рдо/ду ограниченным. Показать, что если ро/6 -+ оо, то предельное поле скорости непрерывно, а если ро/6 -+ сопв1 ~ 0 или ро/6 — > О, то в пределе возникает тангенциальный разрыв. Выписать условия, связывающие параметры течения по разные стороны этого разрыва. б) Рассмотреть стационарное течение вязкой жидкости между двумя параллельными плоскостями, движущимися в противоположных направлениях со скоростью оо. Расстояние между плоскостями равно 2Н.
Коэффициент вязкости задан в пункте а), причем 6«Н, ро«ры ро«рз. Найти величину касательного напряжения т на плоскостях и скачок скорости о при у = 0 при различных соотношениях между ро и 6 (при 6 — ~0, ро-эо). 18.15 На поверхность воды падает дождь. Написать соотношения на поверхности Е, разделяющей дождь и воду, рассматривая дождь как сплошную среду; воду считать несжимаемой жидкостью плотности р.
Предполагая известными скорость дождя относительно поверхности Е, а также его среднюю плотность и температуру, найти скорость, давление и температуру в воде под поверхностью Е. 18. Условии на поверхностях разрыва 165 ности ро падает со скоростью ! ! ! ! ! ~ ! ! ! ! ио на неподвижный клин с горизонтальным ребром (крышу). а Считая, что течение стационарно и что скорость частиц меняется, найти положение границы, отделяющей воду от дождя, скорость течения и давле- Рис. 18.1. ние в воде. Плотность воды р и угол о между ио и плоскостью крыши известны.
Угол между ио и ребром крыши равен 90'. 18.17 На тележке стоит от- крытая бочка с отверстием сзади в вертикальной стенке. Пренебрегая трением, найти скорость движения тележки во время вертикального дождя, средняя плотность которого ро, а скорость падения капель оо. Считать, что уровень жидкости установился на высоте 6 над от- Рис. 18.2. верстием, из которого вытекает струя.
Для нахождения давления в бочке воспользоваться гра- ничными условиями, полученными в задаче 18.15. Считать, что горизонтальная составляющая скорости воды в бочке гасится уже в верхнем тонком слое за счет наличия вер- тикальных стенок. 18.18 Найти уравнение осредненного движения автомобилей по шоссе с односторонним движением без съездов, предполагая, что обгон запрещен, а скорость автомобилей о (выбираемая водителями) определяется плотностью р автомобилей и при некотором р = р „обращается в нуль. Считая, что поток автомобилей у(р) = ро(р) удовлетворяет условию уи < О, выяснить условия существования однозначного непрерывного решения в 166 Глава 4.
11оверхности разрыва зависимости от задания начальных (или граничных) условий. В случаях отсутствия однозначного решения нвести разрывы, на которых выполняется условие, выражающее сохранение числа автомобилей. Исследовать задачи об остановке однородного потока автомобилей у светофора и о начале движения при переключении светофора. 19. Условия на поверхностях разрыва при лагранжевом описании В этом параграфе используется лагранжево описание движения сплошной среды. Представлен ряд задач на вывод соотношений, связывающих различные производные от функций х' = х'((~,1), определяющих закон движения сплошной среды, по лагранжевым координатам с" и времени 1 по разные стороны от поверхности разрыва.
Рассматринаются как разрывы функций х', отвечающие нарушению сплошности среды, так и разрывы их первых производных, соответствующие сильным разрывам при эйлеровом описании движения среды, а также разрывы вторых производных х' — слабые разрывы в эйлеровом описании. Разрывы лагранжевых переменных с"(х',1) имеют место при наличии притока массы к поверхности разрыва. Эйлерова система координат (х') считается единой в окрестности поверхности разрыва...координатные разрывы" не рассматриваются.
Задачи 19.1 Пусть функция ~о(х'), 1= 1,...,и, и ее первые частные производные по всем аргументам х' непрерывны при х~ < О и х' > О. а производные по х, о = 2,..., п, имеют непрерывные по х пределы слева и справа на поверхности хЯ = О. Обозначим скачок у(х') на поверхности х' = О через А= 1ип р — 11ш у= д+ — р =[4 ~ -+о+ х~ -+е— доказать, что функция А(х ) непрерывно дифференциру™, причем дЛ/дх = [д~я/дх ].
Записать это условие в произвольной системе координат, гладко связанной с системой (х'). 19. Поверхности разрыва в лагранжевом описании 19.2 Пусть функция у(х'), рассмотренная в задаче 19.1, всюду непрерывна, т. е. А = О, и имеет при т' = О скачок производной [ду/дя'] = р(х ). Выписать это условие в произвольной системе координат, гладко связанной с системой (х'). 19.3 Пусть функция у(я'). г = 1,..., п, дважды непрерывно дифференцируема при я' < О и х~ > О, всюду непрерывна вместе с частными цроиэводными ду/дя' и дз~р/дя дх', о = 2,..., и, и имеет прп я' = О скачок производной [дзюдо/д(х~) ~ = и(я ). Записать это условие в произвольной системе координат (у'), если функции д' = Е'(я") дважды непрерывно дифференцируемы.
19.4 Пусть у' = .Р(х"), г, к = 1,..., и, — кусочно гладкое, взаимно однозначное отображение, непрерывное вместе со своими касательными производными, и с разрывом нормальной производной на поверхности /(л') = О. Используя результат задачи 19.2, доказать, что — „с1е$ — ° —, = О. 19.5 Пусть при образовании трещины в твердом теле ее края разошлись на вектор [г((~, 1)] = А(и,1), где и . о = 1, 2, — лагранжевы координаты на поверхности разрыва. Предполагая существование необходимых производных, найти скачки вектора скорости [и] и координатных векторов [е ], используя результат задачи 19.1. Доказать, что д И вЂ” [и] = — [е ].
Два й~ 19.6 Используя результат задачи 19.4, доказать, что насильном разрыве выполнено равенство [',"']= где ( — и) — скорость движения поверхности разрыва относительно среды, д — детерминант матрицы компонент метрического тензора в лагранжевой системе координат. 168 Глава 4. Поверхности разрыва 19.7 Пусть в лагранжевых переменных уравнение некоторой подвижной поверхности имеет вид ~ = У(СЯ). Доказать формулу где и' — компоненты единичного вектора нормали в эйлеровой системе координат (х'), (Р— «) — скорость движения данной поверхности относительно среды., 19.8 Используя результаты задач 19.6 и 19.7, показать, что на сильном разрыве выполнено соотношение — 0, где йь — компоненты единичного вектора нормали к поверхно- сти разрыва в лагранжевой системе координат.
19.9 При р(«„- В„) ~ 0 записать условия на разрыве для потоков массы, количества движения и энергии, используя уравнение поверхности разрыва в лагранжевых переменных 1 = ~ф). Исключить величину («„— В„) с помощью формул, полученных в задачах 19.7 и 19.8. Рассмотреть случай 1ф) = сопя1. 19.10 Доказать алгебраические равенства [еЬ] = [а](Ь) + [Ь](а) = [а][Ь] + [а]Ья + [Ь]аы где обозначено [а] = аз — и,, (а) = ~~-; — ~Х: то же — для Ь и аЬ. а +а . 2 19.11 В лагранжевых переменных выразить скачок компонент метрического тензора [у ] на сильном разрыве через скачок эйлеровых компонент вектора скорости [«'], компоненты матрицы дисторсии (дх'/д(я), в состоянии перед разрывом и уравнение поверхности разрыва 1 = ) (Ся). 19.12 На сильном разрыве выразить скачок плотности среды [р] через скачок нормальной составляющей скорости среды [«„], нормальную составляющую скорости поверхности разрыва П„и параметры состояния перед разрывом.
19. Поверхности разрыва в лагранжевом описании 169 19.13 На слабом разрыне установить связь скачка коэффициентов связности ~Г" ~ в лагранжевых переменных со скачком эйлеровых компонент ускорения среды [а'] и непрерывными 'параметрами среды. 19.14 На слабом разрыве выразить скачки лагранжевых компонент тензора скоростей деформации [ср ] и тензора вихря [ар,] через скачок эйлеровых компонент ускорения среды [а;] и непрерывные параметры среды. 19.15 Пусть на сильном разрыве лагранжевы контравариантные компоненты некоторого тензора второго ранга Т непрерывны.
Выразить в эйлеровых переменных скачок компонент [Тб) через скачок компонент скорости среды [о,], нормальную составляющую скорости поверхности разрыва Р„и параметры состояния перед разрывом. 19.16 Пусть к поверхности разрыва осуществляется в расчете на единицу площади и в единицу времени приток массы М = рг[о„з — Р„) — р1(ищ — Р„). Используя определение поверхностной плотности массы н и вектора в скорости частиц среды, находящейся в данный момент времени на поверхности разрыва, вывести формулу для М из закона сохранения массы в интегральной форме.
Учесть, что коэффициенты первой квадратичной формы поверхности разрыва Ив~ = С в4и Ии~ = (е ен) Ни с1и меняются со временем. Здесь и, о = 1, 2, — координаты: е координатные векторы на поверхности. Глава 5. Механика жидкости и газа 20. Обзор уравнений гидромеханики Жидкости и газы, а с точки зрения механики между ними нет принципиального отличия, описываются моделями, для которых невозможно состояние покоя при наличии касательных напряжений.
Это отражает свойство текучести жидкостей. Следовательно, в покое должно выполняться р„= — рв и р" = — рд", где р„— вектор напряжений на площадке с нормалью и; р— давление; рб и дг) — компоненты тензора напряжений и метрического тензора. Свойство вязкости проявляется в том, что при движении (точнее, при деформировании) касательные составляющие вектора напряжений в общем случае отличны от нуля, а компоненты тензора напряжений представляются В виде рм = — рд'~+ т", 120.1) где тб — компоненты тензора вязких напряжений, зависящие от компонент тензора скоростей деформаций еы.
Все реальные жидкости — вязкие и сжимаемые, однако в определенных условиях одно или оба из этих свойств могут быть несущественными, что позволяет внести упрощения в рассматриваемые модели. Идеальной (невязкой) жидкостью называется среда, в которой не только при равновесии, но и при движении р ~ = — рд'~, т. е. тб = О. Уравнения движения идеальной жидкости — уравнения Эйлера — имеют вид дн р — = — ~гад р+ рл', Й 120.2) где р — плотность, п — скорость частиц; à — плотность массовых сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
