Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 29
Текст из файла (страница 29)
б) Показать, что поле скоростей жидкости в каждый момент времени определяется только распределением скорости точек поверхности тела в этот момент и не зависит, например, от ускорения тела. 183 22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости в) Справедливо ли свойство поля скорости, указанное в п. б), для давления? г) Перечислить условия, при которых движение жидкости является потенциальным. 22.2 На поверхность однородной жидкости, заполняющей полу- пространство, падает плоская абсолютно твердая пластина в виде круглого диска радиуса а. В момент ~ = 0 диск касается поверхно- Рнс. 22.1.
сти жидкости и мгновенно меняет свою скорость до значения Ум т. е. происходит удар твердого диска о иоду. а) Поставить задачу — записать уравнения и граничные условия, позволяющие определить скорость жидкости непосредственно после удара. Вязкостью жидкости пренебречь. б) Предполагая решение поставленной задачи известным, найти скорость диска Ц~ в момент непосредственно перед ударом. Масса диска равна т. 22.3 Доказать, что потенциальное течение несжимаемой жидкости в односвязной области обладает меныпей кинетической энергией, чем всякое другое течение с таким же распределением нормальной скорости на границе области (теорема Кельвина). 22.4 Доказать единственность решения внутренних задач Дирихле, Неймана и смешанной задачи Дирихле — Неймана для односвязной области.
22.5 Пусть имеется закрытый покоящийся сосуд, целиком заполненный неоднородной (р ~ сопя1) идеальной несжимаемой жидкостью. Жидкость находится в равновесии в поле силы тяжести. Показать, что, если начать двигать сосуд горизонтально с ускорением, в сосуде возникнет непотенциальное движение жидкости относительно его стенок. Рассмотреть также случай однородной жидкости.
Глава 5. Механика жидкости и газа 22Я Показать, что во внутренней точке области потенциального течения несжимаемой жидкости а) ни потенциал скорости, ни одна из проекций скорости на декартовы оси координат не могут достигать ни наибольшего, ни наименьшего значений; б) модуль скорости не может достигать наибольшего значения; в) давление однородной идеальной жидкости не может достигать наименьшего значения, если поле массовых сил Р соленоидально, т. е.
Йч Г = О. 22.7 Доказать тождество Грина ~'дп ~дп аг где дУ вЂ” кусочно-гладкая граница области У; ИЯ вЂ” элемент площади дУ„д/дп обозначает дифференцирование по нормали, внешней к У в точке элемента Ид; Н~ — элемент объема. Для какого класса функций оно справедливо? 22,8 Пусть У вЂ” ограниченная область пространства, У вЂ” ее дополнение, функции со и со — гармонические соответственно в областях У и У, причем ф — > О при ~г) — ~ оо. Доказать следующие тождества: 1 1 ду д 1 — — — 1 озо = ~Р(г), 4и )го — и) дпо дпо !го — и)/ ат ат аг 1 ~ / 1 дсс д 1 'Р - ) пзо = 'Р(г) 4и ./ 1 ~го — г( дпо дпо ~го — г~) а~ где точки с радиус-векторами и, и и го принадлежат соответственно У, У и дУ„дУ вЂ” граница области У; Ыдо — элемент поверхности на дУ; д(дпо обозначает дифференцирование по нормали, внешней к У в точке го элемента ИЯо. 185 22.
Динамика идеальной несжимаемой жидкости 22.9 Доказать, что: а) потенциал скорости течения идеальной несжимаемой жидкости, вызванного движением в ней тела конечных размеров, вдали от тела имеет разложение С „; д 1 со = сонн1 + — + С1 —. — +..., дх' г где г = ; (х') — декартовы координаты; тело находится на конечном расстоянии от начала координат; б) коэффициенты разложения представляются в виде С = — — — пЯ, С~ = — х — — и'1о пБ, аи ЭЪ где в — внешняя к телу нормаль, дУ вЂ” граница тела; в) выразить С и С' через объем тела У, импульс Я и радиус- вектор геометрического центра объема г*, где О = — р~рпНЯ, и* = У 1 ге1У. ак Ъ В этом разложении второе и третье слагаемые являются соответственно потенциалами источника и диполя, далее следуют члены, соответствующие потенциалам мультиполей. 22.10 Пусть у и ф — решения соответственно внутренней и внешней задач Неймана с одинаковыми условиями на границе.
Доказать, что потенциал у можно представить в виде потенциала двойного слоя с плотностью р = (ф — р)/4н, т. е. 22.11 Пусть ~р и ф — решения соответственно внутренней и внешней задач Дирихле с одинаковым условием на границе. Доказать, что ф можно представить в виде потенциала простого слоя с плотностью 1 д(у — у) ~ Иго) 4к дп ' ./ ~г го~ аг Глава 5.
Механика жидкости и газа 186 Плоские потенциальные течения Движение среды называется плоским, если все частицы, лежащие на перпендикуляре к некоторой плоскости (х; д) с единичной нормалью е, совершают одинаковое движение, параллельное этой плоскости. Поле скорости плоского потенциального течения несжимаемой жидкости удобно описывать комплексным ао- тенциалом аналитической функцией комплексного переменного х = х+ гд. Здесь ~(х, д) — функция тока, в = ига4 у = гог(де).
Производная ИИ'/Ыг определяет скорость течения — = о — го„ Их Для любой кривой, расположенной в области, занятой жидкостью, выполнено где à — циркуляция скорости по линии Е; Я вЂ” расход жидкости через линию Е. В плоских задачах обтекания твердых тел область течения неодносвязна и для выделения единственного решения краевой задачи должны задаваться значения циркуляции скорости по нестягиваемым в точку замкнутым контурам (циклические постоянные).
Различные методы решения плоских задач обтекания твердых тел иллюстрируют в простейшем виде следующие задачи: а) метод особых точек, задачи 22.16 — 22.18; б) метод конформных отображений, задачи 22.19 — 22.21; в) метод зеркальных отражений, задачи 22.22 — 22.23. 22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости Задачи 22.12 Показать, что для плоских течений несжимаемой жидкости а) существует функция ф(х,у) (функция тока) такая, что дФ дФ о„= —, о„= — —, т.
е. в = го$(фе); ду' " дх' б) в потенциальном потоке выполнено Ь4 = О и введенная функция И' = у+ гф является аналитической функцией комплексного переменного х = х + гу. 22.13 Показать, что для любой аналитической функции И~(л) комплексной переменной л функция —, в каждой точке ком- ЫИ' плексной плоскости определяет вектор, направленный по касательной к кривой 1т И'(х) = сопМ, проходящей через эту точку. Дать гидродинамическую интерпретацию этого утверждения. Чертой сверху обозначена операция комплексного сопряжения.
22.14 Выразить через функцию тока ф(х, у) расход жидкости Ч через криволинейную дугу, соединяющую точки с координатами (хг, уг) и (хг' уг). 22.15 Выразить через потенциал скорости 1а(х, у) циркуляцию скорости Г по кривой, соединяющей точки с координатами (хг, уг) и (хг, уг). 22.16 Найти потенциал скорости и функцию тока для течений, задаваемых комплексными потенциалами а) И" (х) = 2ч-!и х (плоский источник или сток); б) И'(л) = —.
1и л Г 2хг (точечный вихрь); в) И'(х) — -е — -1и л (вихреисточник), г) И'(х) = л", и > 0 (течение в угле). Построить линии тока, исследовать поля скорости. Каков физический смысл действительных постоянных Я, Г, пу 188 Глава б. Механика жидкости и газа 22.17 Найти особые точки, качественно представить картину линий тока и написать уравнения контуров, обтеканию которых соответствуют комплексные потенциалы а) И' = У (х+ — ); б) И = Уг+ ф1п + где У, а и Я вЂ” действительные постоянные. 22.18 Проверить, что комплексный потенциал обтекания кругового цилиндра, заданного уравнением хг+ уг = аг, имеет вид И' = 1У х+ — — гИ х — — + — !и —, где У, $' и à — действительные постоянные. Какой физический смысл имеют зти постоянные7 Найти критические точки на линии тока — точки, в которых скорость равна нулю.
Нарисовать линии тока при различных значениях Г > О и Г ( О. 22.19 Аналитическая функция Й'(~) = У ~ ~ + — ) — Ж' ~ ~ — — ) + —, 1и ~ ь) 2хг определяет на комплексной плоскости ~ комплексный потенциал обтекания кругового цилиндра единичного радиуса, см. задачу 22.18. Пусть х = Д~) задает конформное отображение внешности единичного круга радиуса Ц > 1 на внешность контура С в плоскости з = х + гу, причем Доо) =со, — =к, ф ек, где и — действительное положительное число. Показать, что: 1) Функция Д~) представляется единственным образом рядом Лорана вида К) =К+йе+ — + — + йг ~г Точка ге — — ко называется конформным центром контура С.
189 22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 2) Формулы И' = Й'(~), х = у(~) определяют комплексный потенциал И'(х) обтекания контура С на комплексной плоскости г со скоростью на бесконечности У+ ~Ъ' е (сова+ еыпа) = х Таким образом, для определения комплесного потенциала И'(х) обтекания контура С со скоростью е е' на бесконечности достаточно найти конформное отображение г = ~(~) внешности единичного круга на внешность контура С и подставить значения Ъ' = /се вьп а У = /се сова, в комплексный потенциал Й'(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
