Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Динамика вязкой несжимаемой жидкости 207 23,4 Неподвижная тяжелая жидкость заполняет полость в покоящемся твердом теле. Можно ли заставить жидкость двигаться относительно стенок полости за счет произвольных поступательных движений тела? Рассмотреть случаи идеальной и вязкой, однородной и неоднородной жидкостей. 23.5 Доказать следующие тождества: а) 2е; ео = 241ч ( — ) + ) горн(, где е; = — (~7;н + ~уу));); 1 б) Ш=»~) ~~) В»2»~ — »», д'»' где Ю = 2де; е'~Л' — скорость диссипации знергии в обък еме )' с границей д')'.
Если течение установившееся, то в) »=»~)) ~ )»Г»2»? К)» ) '»Я, а~ где К и ш — соответственно кривизна и вектор главной нормали траектории частиц жидкости, в — внешняя нормаль к д)'; )»=» ) ~ )»3»» — »».'-2~?)» Х )»». У' дк а~ 23.6 Тело движется в вязкой жидкости с постоянной скоро- стью, массовые силы отсутствуют. Показать, что проекция на направление скорости силы, действующей на тело со стороны жидкости, отрицательна.
23.7 Твердый шар радиуса В из состояния покоя начинает двигаться в вязкой жидкости с постоянным ускорением а. Доказать, что средняя на пути 5 величина силы сопротивления не меньше произведения присоединенной массы шара и его ускорения, т. е. (Ц:— — ГИл ) о Массовые силы не учитывать. 208 Глава 5. Механика жидкости и газа 23.8 Показать, что при движении твердого тела в вязкой жидкости сила, действующая со стороны жидкости на элемент ИЯ его поверхности, равна — (рп+ рп х (гог н — 2Й)) гБ, где и — внешняя к телу нормаль; Й вЂ” угловая скорость тела.
23.9 Получить следующее выражение для касательного напряжения на поверхности тока с нормалью и: р„, = р Цгой н, и, т) + 2К /и/ (и гп) ), где К, т и гп — соответственно кривизна и векторы касательной и главной нормали линии тока. 23.10 Используя П-теорему, см. 1 38, доказать, что величина силы сопротивления тела в установившемся потоке вязкой жидкости имеет вид Е = ри~ Н~ С(йе), где Ве = и г1(и, и = д(р; гг — характерный размер тела; о — скорость потока на бесконечности; С(йе) — безразмерная функция числа Рейнольдса йе и формы тела (коэффициент сопротивления).
Массовыми силами пренебречь. Нестацнонарные течения 23.11 Вязкая жидкость заполняет полупространство у > О, ограниченное горизонтальной твердой пластиной у = О. Пластина может двигаться в своей плоскости. Считая, что пластина совершает колебания вдоль прямой по гармоническому закону с частотой Й и амплитудой ио, найти а) скорость жидкости; б) касательное напряжение т на пластине; в) средние по времени значения диссипируемой энергии и работы силы трения на пластине. 23.
Динамика вязкой несжимаемой жидкости 200 23.12 Вязкая жидкость заключена между двумя бесконечными горизонтальными параллельными пластинами А и В. Пластина А колеблется в своей плоскости вдоль фиксированной прямой со скоростью ио сов 08, а пластина  — неподвижна. Каково отношение максимальных значений касательных напряжений, действующих на пластины А и В в случаях больших и малых й? Расстояние между пластинами равно Ь. 23.13 В условиях задачи 23.11 найти распределение скоростей в жидкости, если при 1 < 0 пластина покоится, а при 1 > 0 движется со скоростью а) и = Уо = сопа1; б) и = Ц1). 23.14 Пусть при 1 = 0 в пространстве, заполненном вязкой жидкостью, распределение скорости имеет вид ок — — о,=О, и =Уприу>0, о = — У приу<0, следовательно, плоскость у = 0 есть поверхность тангенциаль- ного разрыва.
а) Найти профиль скорости при 6 > О. Показать, что тангенци- альный разрыв мгновенно „размывается" в пространстве. б) Как меняется со временем толщина слоя, в котором происхо- дит изменение скорости от о = 0,99 У до о = — 0.99 У. в) Вычислить вихрь скорости. 23.16 Вязкая несжимаемая жидкость занимает полупространство у < О. Граница жидкости у = 0 свободна от действия поверхностных сил. При 1 = 0 -Ьк' о = иое пк — ог где ио, 6 — постоянные. 23.15 Вязкая несжимаемая жидкость занимает полупространство у < 0 и в начальный момент покоится. При 1 > 0 на ее поверхности у = 0 действует постоянное касательное напряжение то. Определить движение жидкости (простейшая модель течения в приповерхностном слое воды под действием ветра).
Найти толщину слоя — 6 < у < О, 6 = о(г), в котором для скорости жидкости выполнено и( — Б,Ф) = 0.01и(0,1). Глава 5. Механика жидкости н газа 210 Найти при 1 > 0: а) распределение скорости; б) кинетическую энергию Е„„„Я и количество движения Я(с) жидкости в слое единичной ширины и < О, яв < я < яв+ 1; в) предельные значения Е „„и Я при 1 -+ оо.
23.17 В шаровом слое В1(г) < Н < Вэ(с) вязкой жидкости под действием заданных на границах слоя давлений р1(1) = Ил ) рэ(~) = р(Ю происходит сферически симметричное течение. Масса жидкости в слое равна М. Составить систему уравнений, определяющих движение границ слоя В1 и Вэ. Массовыми силами пренебречь.
23.18 Тонкий сферический слой вязкой жидкости совершает сферически симметричное движение в пустоте. При 1 = 0 известны его радиус тс(0) = Нв и скорость (сИ/с1г)~ = А(0). Записать уравнение, определяющее тс(1). 23.19 В точке М неограниченного пространства, заполненного покоящейся жидкостью, происходит взрыв — мгновенно выделяется и передается жидкости кинетическая энергия Ео. Определить возникшее движение жидкости, считая ее линейновяэкой.
Сжимаемостью жидкости, силой тяжести и величиной давления на больших расстояниях от точки М пренебречь. Сравнить с решением аналогичной задачи 9.44 для идеальной жидкости. Стационарные ламинарные течения 23.20 Бесконечный слой вязкой жидкости толщины Ь ограничен свободной поверхностью, а снизу — неподвижной плоскостью, наклоненной под углом а к горизонту. Под действием силы тяжести в слое происходит стационарное течение. 23.
Динамика вязкой несжимаемой жидкости 211 Найти распределение скорости в слое, а также значения максимальной о,„и средней по сечению о,р скорости. Используя полученное решение, оценить значения о и о,р при течении воды (р = 0.01 смз/с) в канале, длина которого 1, перепад высот начала и конца над горизонтальной плоскостью Н, глубина 6, если а) 1 = 100 м, Н = 1 см, 6 = О 5 см; б) 1 = 3000 км, Н = 300 м, 6 = 5 м (модель реки Волги). Почему результат в случае б) явно противоречит опыту? 23.21 Слой вязкой жидкости ограничен двумя горизонтальными бесконечными параллельными пластинами А и В, расстояние Н между которыми фиксировано. Найти распределение скоростей и напряжения сил трения тл и гв на пластинах, если: а) пластина А покоится, пластина В движется со скоростью и и давление вдоль пластин постоянно (течение Куэтта); б) обе пластины покоятся, а движение жидкости вызывается заданным градиентом давления вдоль пластин (плоское течение Пуаз е йлл); в) пластина А покоится, пластина В движется со скоростью и и задан градиент давления вдоль и.
23.22 Найти стационарное движение вязкой несжимаемой жидкости в длинной горизонтальной цилиндрической трубе под действием заданного постоянного продольного перепада давления 1о — †-др/дх (течение Пуаэейлл), если сечением трубы является: а) круг радиуса а; б) круговое кольцо, а и 6 — внутренний и внешний радиусы; в) эллипс с полуосями а и 6. Во всех случаях вычислить расход Я, максимальную и,„и среднюю по сечению о,р скорости. Для течений в трубах эллиптического сечения показать, что при заданных 1о и площади сечения Я расход Я будет максимальным при а = 6. Глава 5. Механика жидкости и газа 212 23.23 Используя теорию размерности, в условиях задачи 23.22 получить формулы для расхода Ч, максимальной и,„и средней по сечению иор скорости для цилиндрической трубы произвольного поперечного сечения заданной площади.
23.24 Вязкая жидкость заключена между двумя бесконечно длинными коаксиальными цилиндрами, вращающимися вокруг оси с постоянными угловыми скоростями 01 и йз. Градиент давления вдоль оси отсутствует. Радиусы цилиндров равны В1 и Вэ, Вэ > В1. Найти распределение скоростей и моменты сил, действующих со стороны жидкости на цилиндры (вращательное течение Куэтта).
Рассмотреть предельные случаи: а) йэ=О, Нэ-+ос. Силу тяжести не учитывать. б) Й,=О, Й,=О. 23,25 Решить задачу 23.24 при дополнительном условии, что вдоль оси имеется заданный постоянный градиент давления ~е. Рассмотреть случай малого зазора между цилиндрами. Орхг4) >О, где ~о — угловая скорость жидкости, г — расстояние от оси вращения. Что можно сказать об устойчивости этого течения, если цилиндры вращаются: а) в разные стороны; б) в одну сторону; в) один из цилиндров покоится? 23.26 Показать, что для устойчиеости вращательного течения Кузтта, рассматриваемого в задаче 23.24, по отношению к осесимметричным невязким возмущениям, необходимо и достаточно выполнения условия 213 23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости Функция тока и вихрь В вязкой несжимаемой однородной жидкости, находящейся в поле потенциальных массовых сил, вектор вихря ьг удовлетворяет уравнению Гельмгольца йи 1 — = (ы Ч) и+ иЬьг, и— : — го1 в.
Ж 2 Для плоского течения и осесимметричного течения без закрутки поле скорости несжимаемой жидкости можно выразить через скалярную функцию тока гд. В первом случае и = гог(е4), во втором и = го1(е4(г), где е — единичный вектор, перпендикулярный плоскостям течения, которые для плоского случая параллельны, а для осесимметричного случал имеют общую прямую — ось симметрии, г — расстояние до оси симметрии. Вихрь в обоих случаях направлен по вектору е, го$ в = 2ые. В задачах этого пункта предполагается, что жидкость однородна, массовые силы имеют потенциал, закрутка отсутствует. 23.27 Вывести уравнение Гельмгольца, используя уравнения Навье-Стокса для однородной несжимаемой жидкости, находящейся в поле потенциальных массовых сил.
23.28 Показать, что в плоскопараллельном течении вязкой несжимаемой жидкости: а) вихрь скорости удовлетворяет уравнению Это частный вид уравнения Гельмгольца; б) получить уравнения для функции тока и вихря в виде ды д(ег, ф) ге — + =кЬм, ге=-Ь вЂ”, д~ д(х у) ' 2' где д(ы, ф) ды дф дге дФ д(х,у) дх ду ду дх' х, у — декартовы координаты в плоскости течения. Глава 5.
Механика жидкости и газа 23.29 Получить уравнение для вихря и функции тока в осесимметричном течении вязкой жидкости в виде д~ д(~о(г 4') " ( д ( з д(~о/г) ~ д ( з д(ш(г) д~ д(г,г) г' ~,дз ~, дг / дг ~, дг где л и г — цилиндрические координаты; дю 1 д(ез/г, ~) б) д~ В д(Л,О) где В и д — сферические координаты, г = Вьйп д. 23.30 Пусть в плоскопараллельном течении вязкой жидкости вихрь линейно зависит от функции тока 2а~ = Л4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
