Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В начальный момент времени 1 = О функция тока равна ~~о(з, у). Найти функцию тока в произвольный момент времени. 23.31 Для вязкой жидкости характерна тенденция выравнивания внутри жидкости завихренности различных частиц. В качестве примера при ~ > О найти распределение вихрей и скоростей в вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей все пространство, если при 1 = О на оси г = О имеется концентрированный вихрь с конечной циркуляцией Го (диффузия вихря).
23.32 Показать, что вихрь скорости не может достигать ни наименьшего, ни наибольшего значения во внутренней точке области плоскопараллельного стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости. 23.33 Показать, что величина со(г не может достигать ни наименьшего, ни наибольшего значения во внутренней точке области осесимметричного стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости вне оси симметрии. 23.34 В линейной постановке устойчивость или неустойчивость стационарных течений определяется поведением во времени малых возмущений параметров этих течений. 23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 215 а) Получить линеаризованное уравнение для малых возмущений уч(я, у,1) функции тока в стационарном плоскопарвллельном течении вязкой несжимаемой жидкости с профилем скорости ив = и(у), ип — — О, где о и ии — декартовы компоненты скорости.
б) Показать, что это уравнение имеет решение вида ф~(л, у,1) = ф(у) е'й™, /с = сопв1, ю = сопв1, где 4~(у) удовлетворяет уравнению Орра — Зоммерфельда УЪч 2йз)п+ 4 ~) .й ~ ) (~,п йзЯ п~ й/ Сформулировать краевые условия для Ф(у), соответствующие течению между плоскими твердыми стенками у = ~И. Течения при малых числах Рейнольдса. Приближение Стокса При ае = иЬ/и « 1 стационарные течения вязкой несжимаемой однородной жидкости в поле потенциальных массовых снл описывают линейными уравнениями (нриблилсение Стокса) йи и = О, 3гадр' = рЬи, (23.1) где р' — модифицированное давление, включающее потенциал й массовых сил, р' = р — рй. Эти уравнения следуют из уравнений Навье-Стокса, если в последних пренебречь инерционными членами по сравнению с вязкими. Движения при Яе«1 называют медленными или ползущими. Задачи 23.35 Доказать теорему Гельмгольца: на множестве соленоидвльных векторных полей и', определенных в области Ъ', при фиксированном значении скорости на границе и'~зг = У функционал 1( ') = 2р 1 с,'уе" й Ъ' достигает минимума на векторном поле и, удовлетворяющем приближению Стокса (23.
1). Глава 5. Механика жидкости н газа 216 23.36 Доказать, что решение краевой задачи для уравнений Стокса (23.1) единственно, если заданы: а) скорость на границе; б) вектор напряжений на границе; в) на части границы — скорость, на другой части — вектор напряжений (смешанная задача); г) касательное напряжение на граничной поверхности тока; д) касательное напряжение на части граничной поверхности тока, а на другой части — касательная скорость. 23.37 Пусть Р, М и г", М' — силы и моменты, действующие на тело при его медленных движениях в вязкой жидкости с поступательными и угловыми скоростями, равными соответственно в, Й и и', Й~.
Доказать теорему взаимности: и Р'+Й М' = и'. Р+Й' М. 23.38 С помощью П-теоремы, см. ~ 38, показать, что величина силы сопротивления при медленном поступательном движении тела в вязкой жидкости определяется формулой Р= Афп, где о — скорость тела, 1 — характерный размер тела, А — безразмерный козффициент, зависящий от формы тела и направления его движения. 23.39 Доказать, что точное значение силы сопротивления при движении тела в вязкой жидкости не меньше силы сопротивления, вычисленной в приближении Стокса. 23.40 Показать, что формулы для компонент силы г', действующей со стороны вязкой жидкости на тело при его медленном поступательном движении в жидкости, могут быть записаны в виде К = А,уи~, где иу — компоненты скорости тела в осях, связанных с ним, А; — компоненты симметричного тензора, не зависящего от скорости тела.
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 217 23.41 Доказать, что на множестве соленоидальных векторных полей о', определенных в области $', при фиксированном значении напряжения на границе рбпу~дг = ~', функционал 1(и') = 2р е, 'его Л' — 2 оо'оЯ достигает минимума на векторном поле и, удовлетворяющем уравнениям Стокса. 23.42 Пусть соленоидальное поле скорости и определено в области Г и удовлетворяет условиям на границе дЪ': о„! = О, и,~ = О, р„„) = У, дЪ' = дЪ'1 и дрю Доказать, что при фиксированном 1 функционал ди определенный на этом векторном поле, достигает минимума, если оно удовлетворяет уравнениям Стокса. 23.43 В области 1т под действием касательного напряжения р„„заданного на части границы, происходит установившееся течение.
На оставшейся части границы выполняется условие прилипания — скорость равна нулю. Вся граница является поверхностью тока. Доказать, что если пренебречь нелинейными членами в уравнениях Навье — Стокса, то для диссипации энергии и работы поверхностных сил получатся завышенные значения. 23.44 Найти поля скоростей и давлений в осесимметричном ползущем течении вязкой жидкости между параллельными плоскостями, сближающимися с относительной скоростью 2и, в момент, когда расстояние между ними равно 26. Решение искать в виде о„= т Дг), о, = д(з), ось г перпендикулярна слою. 23.45 Два круглых соосно расположенных диска одинакового радиуса В погружены в вязкую жидкость и медленно сближаются с относительной скоростью 2иг Определить испытываемое дисками сопротивление, когда расстояние 2Ь между ними мало.
Глава б. Механика жидкости н газа 218 23.46 Осесимметричное медленное растекание вязкой несжимаемой жидкости в тонком слое приближенно описывают уравнениями (ось «перпендикулярна слою) др дан„др д(~о„) д го,) — =р — ", + ' =О. дг д«' ' д« ' дг д« Обосновать это приближение. Решить задачу 23.45 в этом приближении. 23.47 Доказать, что в приближении Стокса для плоскопарал- лельного течения вязкой несжимаемой жидкости а) функция тока уг(х, у) удовлетворяет бигармоническому урав- нению ЬЬгр = О; б) функция тока га(х, у), скорость о(х, у) и давление р(х, у) мо- гут быть выражены через две аналитические функции Н(«), С(«) по формулам г)г(х, у) = «Н(«) + «Н(«) + С(«) + С(«), Игр, дН дН о + гол — — -2г' — , р = 418 где « = х + гу, черта означает комплексное сопряжение.
23.48 Доказать, что если Н(х, у, «) и С(х, у, «) — гармонические функции, то функции в и р, опеделенные равенствами в = нгаг1 Н + «цгаг1 С вЂ” ЙС, р = 2р — + ро, дС д« где « — декартова координата, й — единичный вектор оси «, ре —— сопе$, удовлетворяют уравнениям Стокса (23.1) и гог п = 2Й х нгад С. 23.49 Шар радиуса а обтекается потоком вязкой несжимаемой жидкости. Вдали от шара скорость потока и давление равны соответственно и и ро. При Ре = иа/г « 1 найти распределение скорости, вихря и давления.
Вычислить диссипируемую энергию и силу сопротивления Г (задача Сгаокса). Найти коэффициент сопротивления 2г' яа«раз 23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 219 Указание: Использовать приближение Стокса и представление решения, указанное в предыдущей задаче. В качестве Н и С взять функции д(1/Л) В дз Л где А, В, Р— константы; Л и д — сферические координаты с началом в центре шара; ось з параллельна и. 23.50 В приближении Стокса: а) найти распределение скорости и давления в задаче об обтекании сферического пузыря.
Вычислить силу сопротивления и коэффициент сопротивления. На границе пузыря принять условие отсутствия касательного наряжения. Скорость потока на бесконечности равна и; б) вычислить скорость всплытия в воде воздушного пузырька радиуса а = 5 . 10 э см. 23.51 Показать, что если поле массовых сил соленоидально, то давление во внутренней точке области ползущего течения вязкой несжимаемой жидкости не может достигать ни наименьшего, ни наибольшего значения.
Течения при больших числах Рейнольдса. Ламинарный пограничный слой При Ве » 1 во многих случаях всю область течения $' разбивают на две части: тонкие пограничные слои Ъ~ вблизи границ, в которых учитывают вязкость, и оставшуюся часть Ъю где жидкость считают идеальной. Так как толщина пограничных слоев мала, можно 1) при решении задачи в области Рз пренебрегать наличием пограничных слоев, т. е. считать, что Ъз совпадает со всей областью течения И, и 2) для области $"~ использовать вместо полных уравнений Навье — Стокса приближенные. 220 Глава 5. Механика жидкости и газа Уравнения плоского ламинарного пограничного слоя на поверхности 5 в несжимаемой жидкости, называемые уравнениями Прандтля, имеют вид ди до ди ди ди 1 др дзи др — + — = О, — + и — + и — = — — — + и —, — = О, (23.2) дх ду ' д1 дх ду р дх дуя' ду где и, о — компоненты скорости в ортогональной системе координат, в которой поверхность 5 задается уравнением у = О, координатные линии х = сопв1 направлены по нормали к 5.
Учитывая последнее уравнение, давление р во втором уравнении следует считать известной функцией х и 1, определяемой как давление на 5 в соответствующей задаче для идеальной жидкости; р(х, 1) связано со скоростью 11 идеальной жидкости на Я соотношением д~1 д11 1 др — + У вЂ” = — — —. (23.3) дс дх р дх Граничные условия для системы (23.2) состоят из обычных условий, которые ставятся на Я в вязкой жидкости, см.
~ 20, а также условия и — > 11 при у -+ оо. 23.53 Показать, что при установившемся обтекании со скоростью У = сопв$ полубесконечной пластины, поставленной по потоку, функция тока для течения в пограничном слое может быть представлена в виде где 0 = у))' —. ) 11 у) = ~/иГх /(ц), Начало координат расположено в носике пластины, ось х направлена вдоль пластины. Получить из уравнений Прандтля урав- 23.52 При йе » 1, учитывая малость толщины пограничного слоя, вывести уравнение плоского пограничного слоя из уравнений Навье — Стокса, оставляя в них лишь главные по порядку величины члены и считая, что в уравнениях Прандтля инерционные и вязкие члены инеюпг одинаковый порядок. Оценить толщину пограничного слоя Б на теле с характерным линейным размером Ь, движущимся с постоянной скоростью 11, если а) Ь = 100 м, У = 36 км/ч, а = 0.01 смз/с — корабль на воде; б) Л = 50 м, 11 = 900 км/ч, а = 0.15 смз/с — самолет в воздухе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
