Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 32
Текст из файла (страница 32)
где Š— момент сил< действующих на контур относительно точки зо, 2 = я+ <у; о = о — го„. Для потенциальных течений с известным комплексным потенциалом И<(я) эти формулы позволяют просто вычислить силу и момент. Если набегающий поток однороден, то для силы получается формула Жуковского Глава 5.
Механика жидкости и газа 202 22.54 Используя интеграл Коши-Лагранжа и тождества задачи 22.53, получить следующие формулы, удобные для вычисления силы Р и момента М, действующих на тело в потенциальном потоке идеальной несжимаемой однородной жидкости при отсутствии массовых сил: Г роз !м = р! ~ — (г х и) — (г х и)в„д5, ~,2 Я1 где 5 — поверхность тела; и — внешняя к телу нормаль; г— радиус — вектор точек поверхности 5, исходящий из точки, относительно которой вычисляется момент; 5' — произвольная поверхность, получаемая непрерывным деформированием 5 в области регулярного течения; у предполагается однозначным.
22.55 Для покоящейся на бесконечности жидкости показать: а) что формулы задачи 22.54 принимают вид й) ИК Р= — — и М= — —. Й Й Векторы Я и К называются присоединенными количеством движения и моментом количества движения; б) что если тело движется в жидкости поступательно со скоростью !! то -!ч = р~и ~ 3 Ф Д \ где коэффициенты присоединенных масс рл зависят только от формы тела, р1и = — р альп; сБ; я а функции уь определяются как решения задач Неймана: Л~рь = 0 всюду вне тема, 5га4уь! = О, — ~ — ~ = пь, дуЫ где 5 — поверхность тела; пь — компоненты нормали к 5 в системе координат, связанной с телом; нн однозначны. 203 22.
Динамика идеальной несжимаемой жидкости 22.56 Тело движется поступательно с постоянной скоростью в неограниченной покоящейся на бесконечности идеальной несжимаемой жидкости. Доказать, что действующая на него со стороны жидкости сила сопротивления при безотрывном обтекании ранна нулю. 22.57 При отсутствии массовых сил доказать, что: а) сила ИХ+ гИУ, действующая на элемент Н» = Их+ ~Ну контура, обтекаемого стационарным потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости, представляется в ниде где 6 — константа в интеграле Бернулли; И"(г) — комплексный потенциал. Здесь чертой обозначена операция комплексного сопряжения; б) на обтекаемом контуре выражение является действительным числом; в) для силы, действующей на контур С, справедлива формула Чаплыгина Х+гУ = — гр с г) в случае однородного на бесконечности потока справедлива формула Жуковского И~к Х+ гУ = — ерГо, о ~Ь где à — циркуляция скорости по контуру С.
22.58 В полуплоскости у < О в точке А на расстоянии а от границы у = О расположен вихреисточник с расходом Я и циркуляцией Г. Вычислить силу, действующую на единицу ширины твердой границы и момент этой силы относительно точки А. 204 Глава б. Механика жидкости и газа 22.59 Определить величину и направление силы Г, действующей со стороны жидкости на единицу длины бесконечного кругового цилиндра, движущегося перпендикулярно своей оси со скоростью и, если а) и=а(~), Г=О; б) и=сопв1, Г=Го ~ 0. Здесь à — циркуляция скорости по контуру, охватывающему цилиндр. Обтекание цилиндра считать безотрывным.
22.60 Вычислить силу, действующую на единицу ширины (по нормали к плоскости обтекания) плотской пластинки длины 26 при ее безотрывном обтекании под углом атаки о. Скорость жидкости на бесконечности равна и, см. рис. 22.2. Силой тяжести пренебречь. 22.61 Вычислить силу, действующую со стороны жидкости на шар, движущийся в ней со скоростью а, если а) ц = в(~); б) и = сопвФ. Обтекание шара считать безотрывным.
На бесконечности жидкость покоится. 22.62 Вычислить силу, действующую на неподвижный шар со стороны обтекающей его (без отрыва) жидкости, если поток на бесконечности однороден, а его скорость и -- заданная функция времени. Силой тяжести пренебречь. 22.63 Доказать теорему Лагалли: источник с постоянным массовым расходом рд = сопв1 при наличии в жидкости неподвижного тела действует на него с силой рдв', где в' — регулярная часть скорости жидкости в точке, где находится источник. 22.64 Каково ускорение сферического газового пузыря при начале его всплытия в тяжелой жидкости? 22.65 Сферический пузырек приводится в движение движущейся жидкостью. Чему равно его ускорение, если ускорение жидкости вдали от пузырька равно ю? Силой тяжести пренебречь.
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 205 23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости Для несжимаемой вязкой жидкости задача определения механического движения, т. е. нахождения скорости и(х',1), давления р(х',1) и плотности р(х',1). описывается при системой уравнений, состоящей из условия несжнмаемости, уравнения неразрывности и уравнений Навьи — Стокса, если коэффициент вязкости д = сопв1.
Уравнение притока тепла используется при этом только для последующего определения температуры Т(х',1), если это нужно. Если зависимость 1л от температуры существенна, то замкнутая система включает в себя уравнение притока тепла. Построение решений системы уравнений, описывающей движение вязкой жидкости, как правило, затруднительно. Шинркое применение нашли различные приближения этих уравнений. Для выяснения смысла используемых приближений полезно записать исходные уравнения в безразмерной форме, отнеся все входящие в них величины к некоторым характерным их значениям.
Для однородной несжимаемой линейно — вязкой жидкости в отсутствие массовых снл система уравнений в безразмерной форме такова: ди - - Ьй 51 = + (и %') й = — Чр+ —, д1 Йе с11и9 = О, где 1 = 1/1„, й = «/и„ххв = х'/Ь и р = р/(риз) — безразмерные время, скорость, координаты и давление; Йе = и,Ь/и — число Рейнольдса, 51 = Ь/(1.и.) — число Струхаля; и., 1. и Ь вЂ” характерные скорость, время и длина; н = р/р — кинематический коэффициент вязкости. Если Йе (( 1 и 51 Йе «1, то в уравнениях движения можно пренебречь „инерционными членами", т. е. ускорением, по сравнению с членами, связанными с вязкостью. Так получаются уравнения, соответствующие приближению Стокса.
Если Йе» 1, то „вязкие члены" в уравнениях относительно малы. Однако полностью пренебречь ими для всей области течения при сохранении граничных условий нельзя, так как, вообще говоря, невозможно найти решение уравнений Эйлера, удовлетворяющие граничным условиям для вязкой жидкости. При 3 Зак. 2368 206 Глава 5. Механика жидкости н газа больших Йе вблизи границ образуются обычно относительно тонкие пограничные слои, внутри которых вязкость существенно влияет на течение, а вне — может не учитываться.
При описании движения в тонком пограничном слое уравнения Навье — Стокса могут быть заменены более простыми уравнениями пограничного слоя. Другое явление, которое возникает при больших числах Рейнольдса, — потеря устойчивости течений. При достаточно больших числах Рейнольдса течения, как правило, имеют сложный хаотический характер — все характеристики хаотически пульсируют на фоне некоторых регулярных значений.
Это явление называется турбулентностью. Задачи Общие свойства течений несжимаемой вязкой жидкости 23.1 Вывести уравнение изменения кинетической энергии индивидуального объема вязкой жидкости ИЕ„н„= НА~'~ + ИА<'~, где ИА('~, бАР~ — работа внешних и внутренних сил. Почему для несжимаемой жидкости величину Пй = — НАШ называют диссипацией механической энергии? 23.2 Тяжелая однородная вязкая жидкость, целиком заполняющая полость в неподвижном твердом теле, приводится в движение и далее предоставляется самой себе.
Доказать, что кинетическая энергия жидкости убывает со временем. 23.3 Тяжелая однородная вязкая жидкость целиком заполняет полость в твердом теле, которое вращается с постоянной угловой скоростью й. Жидкость приводится в движение относительно стенок полости и далее предоставляется самой себе. Доказать, что кинетическая энергия относительного движения жидкости убывает со временем. 23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
