Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 28
Текст из файла (страница 28)
г) При каком условии возможно равновесие неоднородного тела, погруженного в однородную жидкость? д) Какая сила действует на тело, частично погруженное в жидкость? 21.8 Тонкая палочка одним концом прикреплена к стенке со- о суда, а другим погружена в воду. Палочка может вращаться относительно горизонтальной оси шарнира О, находящегося над уровнем жидкости. Найти плотность р„ материала палоч- Рнс. 21.5. ки, если при равновесии в воду погружена ее половина. Вычислить отношение силы реакции Н в шарнире О к весу палочки Р.
21.9 Тяжелая жидкость покоится относительно движущейся открытой цистерны. Найти угол наклона а свободной поверхности к горизонту, если цистерна а) движется в горизонтальной плоскости с постоянным ускорением а; б) соскальзывает с плоскости, наклоненной под углом д к горизонту. Коэффициент трения и известен. В каком случае поверхность жидкости будет горизонтальной? 178 Глава 5.
Механика жидкости и газа 21.10 Тяжелая однородная жидкость, налитая в вертикальный цилиндрический круговой сосуд радиуса а (стакан), вращается вокруг оси цилиндра как твердое тело с постоянной угловой скоростью Г1. а) Определить давление в каждой точке жидкости и форму ее свободной поверхности. если известно, что в состоянии покоя жидкость имела уровень О от дна сосуда и на поверхности жидкости давление равно атмосферному.
б) Вычислить силу Р, действующую на дно сосуда. в) Сформулировать аналог закона Архимеда для этого случая. 21.11 Ответить на вопросы задачи 21.10 а), б), если в стакане находятся две несмешивающиеся жидкости с различными заданными плотностями р~ и рз и массами М~ и Мз. Найти также форму поверхности раздела между жидкостями. Рассмотреть случай, когда свободная поверхность пересекает дно стакана.
21.12 Замкнутый сосуд, наполненный однородной тяжелой жидкостью, вращается с постоянной угловой скоростью Й относительно горизонтальной оси. Показать, что поверхности равного давления представляют собой круговые цилиндры, общая ось которых расположена на высоте д/Йз над осью вращения. 21.13 Объяснить почему длинное бревно в воде плавает всегда так, что его ось горизонтальна. Казалось бы, центр тяжести бревна в устойчивом равновесии должен опуститься на максимальную глубину. Почему это неверно? 21.14 Известно, что если жидкость смачивает твердую стенку, то в точках контакта свободной поверхности жидкости со стенкой поверхность жидкости поднимает— — — ся под действием сил поверхностного натяжения.
Угол между стенкой и плоскостью, касательной к поверхности жидкости в точке конРис. 21.6. такта со стенкой, называется углом смачивания или краевым углом, см. рис. 21.6. 21. Гидростатика 170 Простейшим способом определения глубины покоящейся жидкости в сосуде является опускание до его дна плоской линейки и измерение длины ее смоченной части. Определить относительную погрешность при этом способе измерения. Угол смачивания д считать известным.
21.15 Совершенный газ, у которого р = КРТ, покоится в однородном поле силы тяжести (модель атмосферы). Известна зависимость температуры от высоты Т1л). Найти распределение давления р1г) и плотности р(г). Рассмотреть частные случаи: а) Т = То —— сопа1. На какой высоте плотность изотермической атмосферы уменыпается вдвое по сравнению с плотностью ро у поверхности Земли, ро — — 1.293 кг/м, ро — — 1.033 кгс/см ? з 27 б) Т = То — ЬТг/100, где То — абсолютная температура при г = О, ЬТ = сопа1 — перепад температуры при подъеме на 100 м, высота г измеряется в метрах.
Показать, что в этом случае р/ро = (р/ро)", т. е. расслоение атмосферы является политропным. Найти значение ЬТ, соответствующее адиабатическому (п = у = с„/се) расслоению. Для воздуха считать 7 = 1.4, В/д = 29.27 м/град. 21.16 Показать, что условие др/дг < 0 является необходимым условием устойчивого (или, при др/дг = О, безразличного) равновесия неоднородной тяжелой жидкости; ось л направлена противоположно у.
21.17 Атмосфера называется политропной, если выполнено соотношение р(г) = ро ~ †( , где п = сопаФ. /Р1л) '1" Ро Доказать, что относительно адиабатических смещений частиц газа, пРи котоРых Р/Рт = сопаФ, 7 = с,/се, Равновесие атмосферы устойчиво, если и < 7, неустойчиво, если п ) 7, и безразлично, если п = 7. 21.18 Написать уравнение механического равновесия газообразной звезды плотности р, части которой удерживаются силами гравитационного притяжения. Учесть, что гравитационный потенциал 1? удовлетворяет уравнению Пуассона Ь17 = — 4хс р, где Глава 5.
Механика жидкости и газа 180 С вЂ” гравитационная постоянная. Найти распределение давле- ния в звезде и ее радиус, если масса звезды равна М, а уравнение состояния имеет вид: б б) р = Срв. а) р = ро = сопв$; Давление в центре звезды считать конечным, вне звезды — рав- ным нулю. 22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости Жидкость называется несжимаемой, если плотность каждой индивидуальной частицы есть заданная постоянная величина. Тогда должно выполняться условие несжимаемости ар — =О ас и из уравнения неразрывности следует йоо= О. Свойство сжимаемости среды характеризуется величиной Ьр/р относительного изменения плотности частиц в рассматриваемом процессе; заведомо Ьр/р « 1, если выполнены следующие условия: 1) о«а, 2) Ь«1*а, 3)дЬ«а~, 4) дЛТ<<1.
Здесь о, а = ~/др7дрр, Ь, 1' и ЬТ вЂ” соответственно характерные для рассматриваемого процесса скорость среды, скорость звука, длина, время и изменение температуры; р = —, - — коэффициент теплового расширения; д — ускорение силы тяжести.
Неравенства 1) — 3), соответствующие тому, что малы изменения плотности, вызванные изменением давления, можно переписать в безразмерном виде Ц М«1, 2) М Ь1«1, 3) М «1, где М = о/а — число Маха; 5с = Ь/(1"о) — число Струхаля; гг = о/х/дХ, — — число Фруда. 181 22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости Условие 4) означает, что малы изменения плотности, вызванные изменением температуры. Если р зависит не только от р, Т, но и от других параметров, например солености, то появляются дополнительные неравенства, требующие выполнения условия Ьр/р « 1. Но это условие не всегда означает, что можно пользоваться моделью несжимаемой жидкости.
При изучении явлений, само существование которых обусловлено способностью среды изменять плотность (распространение звука, конвекция и т.д.), нельзя пренебречь величиной Ьр/р, как бы мала она ни была. Для несжимаемой идеальной жидкости задача определения механического движения, т. е. задача нахождения характеризующих его параметров: скорости в(х', г), давления р(х', Г) и плотности р(я', г), описывается системой уравнений, состоящей из условия несжимаемости, уравнения неразрывности и уравнений Эйлера. Уравнение притока тепла используется только для последующего определения температуры Т(х',1), если зто нужно. При использовании модели идеальной жидкости задачи, как правило, оказываются существенно более простыми, чем для вязкой жидкости, не только потому, что порядок системы дифференциальных уравнений ниже, но и потому, что течения идеальной жидкости, в отличие от вязкой, во многих случаях являются потенциальными. Для потенциальных движений выполнено в = игарку, аг= — гоФв = О.
1 2 Согласно теоремам Томсона и Лагранжа для однородной несжимаемой жидкости при движении в поле потенциальных массовых сил свойство потенциальности течения сохраняется во времени в любом индивидуальном объеме. В частности, все движения, возникшие из состояния покоя, при перечисленных условиях являются потенциальными.
Общие свойства потенциальных течений несжимаемой жидкости .Из уравнения неразрывности йч и = О следует, что в несжимаемой жидкости потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа Ь~р = О, т. е. ~р является гармонической функцией. Глава 5. Механика жидкости и газа 182 Рассматривают три основные краевые задачи, в которых тре- буется найти функцию, гармоническую в области г', на границе дЪ' которой задаются следующие условия: 1) со~ = Х (задача Дирихле); 1дк 2) ду/дп~ = /~ (задача Неймана); ~лъ— 3) со~ = /, д~р/дв~ = /м дЪ' = дг1 0 дкз (смешанная ~аг1 ~аг, задача), где / и /1 — заданные функции. Если область $' не содержит бесконечно удаленную точку, краевые задачи называются внутренними, в противном случае — внешними.
Во внешних задачах необходимы дополнительные условия в бесконечно удаленной точке. Часто принимается, что при удалении по любому пути в бесконечность скорость жидко- сти стремится к нулю или к заданной постоянной. Отметим, что в указанных постановках задача об опреде- лении скорости жидкости отделяется от задачи об определении давления. Кроме того, при определении скорости можно пользо- ваться методом суперпозиции решений в силу линейности урав- нения Лапласа и перечисленных граничных условий. В ряде задач гидродинамики граничные условия для потен- циала могут быть нелинейными, как, например, в теории волн, см. з 24. Задачи 22.1 Пусть поле скорости неограниченного объема идеальной несжимаемой жидкости обусловлено движением в ней твердого тела, форма и размеры которого известны. а) Сформулировать краевую задачу для потенциала поля скорости, считая, что движение потенциально и непрерывно всюду вне тела, а на бесконечности среда покоится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
