Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 31
Текст из файла (страница 31)
дн«дц. — + о,— + и„—, = и,—, + м„—, дг 'дг "дг 'дх "дг' дш,/г дм,/г ды,/г дш/г дю/г дг ' дз " дг ' дх " дг 22.40 Для осесимметричных течений с закруткой показать, что а) поверхности 4 = сопа$ есть поверхности тока; б) если течение установившееся, то вдоль траекторий частиц выполнено гю = сопМ. Обозначения для г и ж те же, что и в задаче 22.39. 22.41 Показать, что для установившегося винтового течения идеальной несжимаемой однородной жидкости в отсутствие массовых сил: а) имеют место интегралы уравнений движения — + — = Нф) и гы =- Сф), 2 р где Н(ф) и С(4) — произвольные функции; Глава б.
Механика жидкости и газа 196 б) физические компоненты вихря выражаются через функции О и С формулами дС дС дС до "'Ф~' '=" Ч' '"" Ф~ дФ" ' а уравнение для функции тока имеет вид дг~ дг~ 1 Ц,Щ + — г2 С д22 дг2 г дг Щ дФ' 22.42 Сферический вихрь Хилла представляет собой осесимметричное течение без закрутки внутри сферы радиуса а, в котором вихрь имеет только азимутальную компоненту, пропорциональную расстоянию от оси симметрии ш, = ст/2, с = сопвФ. а) Получить функцию тока этого течения.
б) Изобразить поверхности тока ф = сопв1. в) Найти скорость и потенпиал обтекания сферического вихря Хилла, используя условие непрерывности поля скорости. 22.43 Закрытый покоящийся сосуд, заполненный неоднородной несжимаемой жидкостью, мгновенно приводится в поступательное движение со скоростью в. а) Показать, что в общем случае в сосуде возникает вихревое движение жидкости.
б) Для случая слабо неоднородной жидкости, когда яю~ — рн Ыв Р определить вектор вихря и в нулевом и первом приближениях по малому параметру е. в) Изменится ли ответ, если жидкость является вязкой? Интегралы уравнений движения идеальной несжимаемой однородной жидкости Для получения интегралов уравнений Эйлера удобно записать эти уравнения движения в форме Громеки-Лэмба дн 0 1 — + игаса — + 2ь2 х е = — — игад р+ Р. д1 2 Р 22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 197 Задачи 22.44 Показателем времени в водяных часах служит высота уровня в верхнем сосуде, которая должна уменьшаться равномерно с постоянной скоростью.
Определить форму сосуда, употребляемую для водяных часов. 22,45 а) Найти распределение скорости и давления на границе бесконечного кругового цилиндра Рис. 22.4. Если течение идеальной несжимаемой однородной жидкости потенциально, и = ягайло, что возможно, только если массовые силы Р обладают потенциалом, Р = ягай У, то во всей области течения справедлив интеграл Коши — Лаграплеа — + — +- — ~У=УИ), дче О д1 2 р где Я) — произвольная функция времени. Если течение установившееся, а массовые силы Р имеют потенциал, то вдоль линии тока А (а также на линии вихря для однородной жидкости) справедлив интеграл Бернулли — + — — У = е„(А).
о р 2 р Величина е, постоянна на линии тока Ь. На разных линиях тока величина ~„вообще говоря, различна! Замечание. Интегралы Коши — Лагранжа и Бернулли имеют место и для сжимаемой жидкости при условии, что течение баротропно, т. е. р = р(р). В этом случае член р/р в интеграле следует заменить на функцию давления Р(р) = ) Нр/р(р).
Для частных движений могут существовать и другие интегралы уравнений движения, см. задачи 22.41 и 22.47. Глава 5. Механика жидкости и газа 188 при его бесциркуляционном обтекании (плоская задача). Считать, что на бесконечности скорость набегающего потока и н давление р постоянны. Вычислить коэффициент давления 2(р — р,„,) ср = 2 Рп и силу В, действующую на цилиндр со стороны жидкости. б) То же для обтекания цилиндра радиуса а с циркуляцией Г. в) То же для шара. Воспользоваться решением задач 22.18 и 22.28. 22.46 В реальных жидкостях давление не может быть отрицательным. Если динамические условия течения таковы, что давление снижается до некоторого критического значения ря - 0 в какой-либо области течения, то в ней образуются пустоты (каверны), которые заполняются паром и растворенным в жидкости газом. Явление образования каверн называется навптпацией.
а) Найти величину скорости обтекания шара однородным на бесконечности потоком воды, при которой начнется кавитация. Указать место, где она начнется. Принять, что до возникновения кавитации течение безотрывное, давление в потоке вдали от шара равно атмосферному, а в каверне — нулю. б) То же для бесциркуляционного обтекания прямого кругового цилиндра. 22.4У Показать, что для установившихся плоскопарзллельных течений идеальной несжимаемой жидкости в поле потенциаль- ных массовых сил справедливы интегралы: 0 р а) —, + — — У+ 2ь ф = сопя$, 2 р если завихренность течения ь постоянна; и р б) — + — — У + юф = сопв1, 2 р если и = Лф, Л = сопв$.
Здесь с~ — потенциал массовых сил, ф — функция тока. 22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 199 22.49 Показать, что поле скорости с потенциалом ~р = с(х — ае~" вш(/сх)), с, а, /с = сопев определяет течение несжимаемой жидкости. Найти комплексный потенциал этого течения. С какой погрешностью при ак « 1 кривая у = а, сов кх является линией тока? При каком значении с эта кривая определяет профиль волны на поверхности тяжелой жидкости бесконечной глубины? Какой физический смысл имеют параметры с, а, Й? Ось у направлена противоположно вектору у.
22.50 Известно, что крупные воздушные пузыри, всплывающие в воде, имеют форму сферического сегмента АВС. Схема обтекания пузыря изображена на рис. 22.5. Показать, что скорость всплытия такого пузыря У связана с радиусом кривизны сферического сегмента Й формулой Рис. 22.5. 22.51 Жидкость в виде „языка" движется под действием силы тяжести по наклонной плоскости, погружаясь в более легкую жидкость, которая на достаточном удалении от плоскости покоится.
Течение двумерное и установившееся в си- стеме координат, движущейся вме- сте с языком. Рис. 22.6. 22.48 Из идеальной несжимаемой жидкости, заполняющей все пространство, внезапно удаляется сферический объем радиуса ао. Получить уравнение, определяющее закон движения границы полости. Определить время, в течение которого образовавшаяся полость заполнится жидкостью. Плотность жидкости и ненулевое давление на бесконечности считать известными.
Глава б. Механика жидкости и газа 200 Показать, что касательная к поверхности раздела между двумя жидкостями в передней точке языка составляет с плоскостью угол о = 60'. 22.52 Прогрессивная волна стационарной формы с прямолинейными гребнями на свободной поверхности тяжелой жидкости движется с максимально возможной 1до опрокидывания) Рис. 22.7. амплитудой. Известно, что при этих условиях рассматриваемая волна вблизи гребня имеет форму клина с вершиной на гребне и с двумя гранями, симметричными относительно вертикали. Показать, что угол а между гранями этого клина равен 120'.
Силы и моменты, действующие на тело в потоке идеальной несжимаемой жидкости Формулы для силы Г и момента М имеют вид Р= — рпг15, М = — рг х пеБ, где з' — поверхность тела; п — нормаль к ней, внешняя по отношению к телу; и — радиус-вектор точек поверхности Я, исходящий из точки, относительно которой вычисляется момент М. Для потенциальных потоков использование интеграла Коши- Лагранжа позволяет преобразовать эти формулы к виду, удобному для вычислений, см.
задачи 22.53 — 22,55. В плоских задачах для безотрывных обтеканий контурон, по аналогии с понятием комплексной скорости о + 1п„, вводится комплексный вектор силы хх = Х+у1У, действующей на контур С, по формулам 22. Динамика идеальной н< сжимаемой жидкости 201 Для ус<паноаиешня<)я плоско-параллельных течений в отсутствие массовых сил справедливы формулы Блазиуса-Чаплыгина <Р— 2 Р— 2 Л = Х вЂ” <У = — у н дя, Ь = Не — —, у й (2 — ео) <Ь 27 '' ~, 27 с С В = <РГ<) где à — циркуляция скорости по контуру С; использовано обозначение н = н (оо) — гон(оо). Эта сила перпендикулярна скорости набегающего потока ),подъемная сила).
Задачи 22.53 Для течений с однозначным потенциалом скорости ун а) вывести следующие тождества — + — и и'л' = — Ри и'л'+ и ŠŠ— + — (гх и)нЯ= = — ) << ° х )<,<-<1 ( — ( ° — и — ин„й5, и) — (г х п)<)„(Б, где Š— произвольная замкнутая жидкая поверхность с норма- лью и: б) доказать, что последние интегралы в правых частях не зависят от вида поверхности Е и в области регулярного течения несжимаемой жидкости ее можно деформировать произвольно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
