Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 27
Текст из файла (страница 27)
20. Обзор уравнений гидромеханики 171 Вязкой жидкостью называется среда, для которой компоненты тензора напряжений рб имеют вид (20.1), причем т" = тб(е р,д ~,Т), и для сжимаемой жидкости р = р(р, Т), а для несжимаемой р является независимым параметром. Компоненты тензора вязких напряжений т" могут также зависеть от различных физико- химических параметров, например, концентрации отдельных веществ в случае смесей различных жидкостей. Явное задание зависимости тб от аргументов конкретизирует модель вязкой жидкости.
Наиболее широко используется модель Навье — Стокса (ньютонова или линейно-вязкая жидкость), в которой зависимость т" от е р линейна. Для изотропной среды она имеет вид тб = Л Йч иди + 2рем. Коэффициенты вязкости Л и р для разных сред различны. Вообще говоря, они не являются константами, в частности зависят от температуры. Однако во многих случаях изменения Л и р незначительны и их считают заданными постоянными.
Уравнения движения линейной изотропной вязкой жидкости с постоянными коэффициентами сдвиговой (р) и объемной (~ = Л + 2р/3) вязкости Ии / р — = ряс — бган р+ (~ + — ~ ясас) сНч и+ рЬи (20, 3) и'с 3 называются уравнениями Навье-Стокса. Существуют другие модели, в которых зависимость тб(е р) нелинейна, — неньютоновские жидкости. Уравнения Эйлера или Навье — Стокса вместе с уравнением неаз ывности РР— + рйчи= О, пр й уравнением притока тепла (здесь и — плотность внутренней энергии ) Ии р Ыр 1 , Ид — = — — + — тме; + —, В ряб р " Н' уравнениями состояния ~(р, р, Т) = О, и = и(р, Т), тг) = тб(еы, Т) 172 Глава 5.
Механика жидкости и газа и законом, определяющим приток тепла пд, например, 1при теплопроводности. подчиняющейся закону Фурье с зе = сопв$) составляют замкнутую систему уравнений соответственно идеальной нли линейно-вязкой сжимаемой жидкости. При рассмотрении конкретных задач для получения определенного решения системы уравнений в частных производных необходимо задать граничные, начальные и другие условия. Для идеальной жидкости типичными являются следующие граничные условия. Если положение и движение границы дч' жидкости известны, то в точках д'ч' обычно задается нормальная составляющая скорости среды. Например, на поверхности непроницаемого тела при его безотрывном обтекании ставится кинематическое «условие непротекания" где и — нормаль к дч', б' — скорость границы.
Во многих случаях положение границы жидкости заранее неизвестно и должно находиться из решения задачи. В зтом случае на дЪ' кроме кинематического необходимо удовлетворить динамическому условию — для вектора напряжений. В частности, на границе раздела двух идеальных жидкостей ставятся следующие кинематические а) и динамические б) условия: а) н„1 = н,а = К,; б) р1 = рз, где индексы 1 и 2 отмечают параметры по разные стороны границы. Условие б) написано без учета поверхностного натяжения.
Если в одной из жидкостей давление р = рв задано, то для другой жидкости условия на границе имеют вид где' У вЂ” скорость границы, определяемая в процессе решения задачи. При рв = сопвФ эти условия называют условиями на свободной границе. 20. Обзор уравнений гидромехапики 173 Если поверхность раздела двух жидкостей искривлена, то на ней действуют силы поверхностного натяжения, которые стремятся уменьшить площадь поверхности. В этом случае динамическое условие б) на поверхности раздела принимает вид /1 1'1 р7 — рз=сг~ — + — ) 1Л, Л,) (формула Лапласа). Здесь о — коэффициент поверхностного натяжения, его величина зависит от того, какие жидкости находятся в контакте; В7 и Вэ -- радиусы главных кривизн в данной точке поверхности, радиусы й;, г' = 1,2 считаются положительными, если центр 1-й кривизны находится в среде 1. Для вязкой жидкости порядок уравнений движения выше, чем для идеальной, и число граничных условий больше.
На непроницаемой границе, например, может быть задан один из следующих вариантов условий: 1) „условия прилипания": в~ = У, где У вЂ” заданная скорость ~аг границы; 2) п„~ = У„, р„,~ = У„где с'„и У, — заданные нормальная составляющая скорости границы и касательное напряжение на ней; 3) р„„~ = ~„, р„,~ = у, где ~„, у, — заданные нормальное и касательное напряжения на дЪ". В последнем случае для определения нормальной составляющей скорости границы необходимо использовать соотношение е„~эг — У„.
Если пРи этом 7'„= сопаС и у„= О, эти условия называют условиями на свободной границе. На границе раздела двух вязких жидкостей должны выполняться кинематические условия а) и динамическое условие непрерывности вектора напряжений б): /1 11 э) ео = оа = 17 иы = наг', б) Рш =Рг п~ + )и. Ь л) Если область, занятая идеальной или вязкой жидкостью, простирается в бесконечность, то на бесконечности в простейших случаях задается давление и скорость среды. При решении задач об определении температуры в жидкости на д$' обычно задается значение температуры или поток тепла. 7 эзк.
23и 174 Глава 5. Механика жидкости и газа Выбор модели идеальной или вязкой жидкости определяется целью исследования и требуемой точностью результата. 21. Гидростатика В гидростатике изучается равновесие жидкостей и газов. При равновесии н = О и вязкал жидкость неотличима от идеальной. Уравнения равновесия имеют вид ига р = рР.
Из уравнения неразрывности следует, что в покое др/д~ = О, т. е. р = р(х'). Для однородной (р = сопв$) жидкости с заданной плотностью, покоящейся в заданном поле массовых сил, уравнения равновесия и граничные условия определяют распределение давления. В случае неоднородной жидкости для решения задач необходимы дополнительные соотношения или сведения, например, связь между р и р для сжимаемых сред или распределение массы жидкости по плотности для несжимаемых сред.
В конкретных задачах требуются граничные и другие дополнительные условия, однозначно определяющие решение. Например, на свободной поверхности задается давление. Если положение свободной поверхности неизвестно, дополнительно может быть задана масса жидкости, находящейся в равновесии. На тело, со всех сторон окруженное неподвижной тяжелой жидкостью, действует со стороны жидкости сила Гд хл = Р9п~ ~ где р — плотность жидкости, $' — объем тела (закон Архимеда).
Линия действия силы Рд проходит через центр тяжести массы жидкости в объеме тела. 21. Гидростатика Задачи в) если Р = игад У, то граница раздела двух жидкостей с разной плотностью совпадает с поверхностью уровня функции У и на ней давление постоянно. 21.2 Тяжелая однородная жидкость налита в сосуд, име- . В ющий плоскую стенку. Свободная поверхность жидкости и Е сам сосуд находятся в контакте с атмосферой, давление р в — — — —:А о которой постоянно. Пусть Р— равнодействующая сил давления, действующих на площадку Е, расположенную на смоченной жидкостью части плоской стенки; 6с — глубина погружения центра давления О (точки приложения этой равнодействующей).
Показать, что Рнс. 21.1 Р=!Р~ =рФЬс, Ьс = ~ В, йсВ' где Я вЂ” площадь Е; Ьс — глубина погружения ее геометрического центра С; 1 — момент инерции площадки Е относительно линии АВ пересечения свободной поверхности со стенкой. 21.3 Найти силу Р, действующую на квадратную стенку аквариума, до краев заполненного водой. На какой высоте Н от дна находится точка приложения этой силы? 21.1 Показать, что при равновесии неоднородной жидкости: а) поле внешних сил удовлетворяет условию Р.
го1Р = О, а в однородной жидкости условию Р = ига4 У; б) если поле внешних сил потенциально, т. е. Р = игад У, то р=И(1) р=р(Ю а, следовательно, и Т = Т(11) для газа с уравнением состояния Г(р,р,т) =б; Глава 5. Механика жидкости и газа 21.4 Открытый тяжелый колпак в виде усеченного кругового конуса с углом а при основании и радиусом основания й стоит на горизонтальной плоскости. Каков должен быть вес колпака С, чтобы он смог удержать воду, налитую внутрь него до высоты Н? Всюду вне колпака давление атмосферное. Рис.
21.2. 21.5 В прямоугольном канале в вертикальном положении установлен щит, который разделяет разные уровни воды Н, и Нз. Щит может свободно вращаться относительно шарнира в точке О. Со стороны меньшего уровня установлен упор. Па каком наименьшем расстоянии Н от дна следует по- Рис. 21.3. местить шарнир, чтобы при превышении уровня Нз щит откры- вался, а при понижении был закрыт? 21.6 Прямоугольный канал перегорожен незакрепленной бетонной плитой, имеющей фор- Ь му прямоугольного параллеле:==:== Н:=========-= пипеда. Каким условиям должны удовлетворять толщина а и высота 6 плиты, чтобы она находилась в равновесии, если Рис.
21.4. уровень подпираемой жидкости равен Н? На плоскости безразмерных переменных а/Н, и/Н область равновесия плиты изобразить графически, считая, что плотность бетона ре = 3 г/см, з а козффициент трения плиты о дно й = 0.2. Жидкость однородна, ее плотность р = 1 г/см . з 21. Гидростатика 21.7 Однородная жидкость покоится в однородном поле силы тяжести. Тело произвольной формы полностью погружено в жидкость и окружено ею со всех сторон. а) Вывести формулу для силы, действующей на тело со стороны жидкости -- закон Архимеда. б) Показать, что линия действия этой силы проходит через геометрический центр С" объема 1' тела, гс = к в) Написать выражение для силы Архимеда, действующей на тело в неоднородной жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
