Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 36
Текст из файла (страница 36)
227 24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 24. Волны на поверхности тяжелой жидкости В предлагаемых задачах о волнах считается, что границами жидкости являются свободная поверхность и непроницаемая неподвижная поверхность (дно и берега). Система координат выбирается так, что ось х направлена противоположно вектору у, а г = 0 — уравнение свободной поверхности покоящейся жидкости. При волновом движении свободная поверхность представляется уравнением х = Дх, у, 1), где ~ — функция, подлежащая определению. Непроницаемая граница задается уравнением х = — 6(х,у) и величина 6 называется глубиной жидкости.
Если не оговорено другое, в болыпинстве задач в качестве модели среды принята идеальная несжимаемая однородная жидкость. Задачи 24.1 Считая движение потенциальным, написать уравнения, граничные и начальные условия для задачи о гравитационных волнах в идеальной несжимаемой однородной жидкости, вызванных начальным возмущением (задача Коши-Пуассона). Поверхностным натяжением пренебречь. 24.2 Получить приближенную линеаризованную постановку задачи Коши-Пуассона для потенциала скорости <р, считая малым отклонение ~ свободной поверхности от невозмущенного состояния — горизонтальной плоскости (х; у), а также наклон этой поверхности д~/дх, д~/ду (постановка задачи о волнах малов амплитуды). Невозмущенную скорость считать нулевой. 24.3 Показать, что плоская задача (ся — — О, д/ду = 0) о гравитационных волнах малой амплитуды в неограниченном по х бассейне конечной постоянной глубины 6 имеет решение, в ко- тором ~ = Не А ехр(йх — иА), где 6 и ш — действительные постоянные, ~ = ~/ — 1.
Такая гармоническая волна называется бегущей или прогрессивкой. Найти зто решение, объяснить смысл названия, получить уравнение, 228 Глава 5. Механика жидкости и газа связывающее волновое число й и частоту м (диснерсионное урав- нение). Как выражаются через и и ш длина, период (по времени) и скорость распространения таких волн? Рассмотреть предель- ные случаи а) кЬ»1; б) ЙЬ«1.
24.4 а) Показать, что комплексный потенциал 'гг' = с(У вЂ” 1ае ' ), где 7. = х + О; с, а и Й вЂ” действительные константы, сз = 9/й, определяет при ак «1 поле скорости плоской гармонической прогрессивной волны малой амплитуды в жидкости бесконечной глубины. б) Каковы уравнения поверхности волны и ее скорость относи- тельно покоящейся при х -+ — оо жидкости? 24.5 На поверхности тяжелой вязкой жидкости бесконечной глубины распространяется прогрессивная волна малой амплитуды, см.
задачу 24.4. В системе координат, связанной с волной, при Ве = с/1си » 1 найти установившееся распределение скорости: а) внутри пограничного слоя у свободной поверхности жидко- сти; вычислить нормальную составляющую вязкой добавки к скорости на внешней границе пограничного слоя; б) вне пограничного слоя. х2 Е„, = — ( ~ Их+сопв1. ру 2 24.6 Тяжелая идеальная несжимаемая жидкость совершает волновое движение в канале глубины а = сопв1, причем ~ = Дх,1). Показать, что для объема жидкости, ограниченного двумя плоскостями х = хы х = хз = х1+ Л, (Л вЂ” длина волны) справедливо равенство НА = — НЕ„,, где ИА — работа силы тяжести за время а1, а Е„, — потенциальная энергия этого объема жидкости, вычисляемая по формуле 24.
Волны на поверхности тяжелой жидкости 229 24.7 а) На поверхности тяжелой идеальной несжимаемой жидкости бесконечной глубины распространяется прогрессивная волна малой амплитуды, см. задачу 24.4. Вычислить кинетическую и потенциальную энергию жидкости, приходящуюся на один период волны. б) Показать, что при учете вязкости кинетическая энергия определяется по потенциальному течению идеальной жидкости с точностью до членов порядка Йе ~ при Ке = с/(Йи) >> 1. в) Записать закон сохранения полной механической энергии для случаев идеальной и вязкой жидкостей.
24.8 Показать, что диссипируемая энергия Ю одного периода гармонической прогрессивной волны малой амплитуды на поверхности вязкой жидкости бесконечной глубины имеет вид с З = 4я,ис (ай)з ~1+0 ( — ~) при Не= — >> 1. ~/Йе йн Первое слагаемое вычисляется по скорости, соответствующей потенциальному течению, второе слагаемое определяется вкладом вязкой добавки и' к скорости в пограничном слое, см. задачи 24.7 и 24.5.
24.9 а) Используя уравнение энергии, найти закон затухания амплитуды прогрессивной гармонической волны малой амплитуды в вязкой несжимаемой жидкости бесконечной глубины. б) Во сколько раз уменьшится амплитуда волны за время прохождения ею расстояния, равного длине волны? 24.10 Найти решение задачи о плоских гармонических по времени волнах малой амплитуды (задача 24.3) в бассейне постоянной глубины, ограниченном плоскими вертикальными стенками х = 0 и х = А, перпендикулярными оси х. Это решение представляет стоячие волны, которые в геофизике называются сейшами. 24.11 Найти решение задачи Коши — Пуассона для одномерных волн бесконечно малой амплитуды (задача 24.2), если начальные данные ~о(х), ~а(х) = (д~/д1)о представимы в виде интеграла Фурье.
гзо Глава 5. Механика жидкости и газа 24.12 Биением называется суперпозиция двух одномерных гармонических волн вида ~„= аа сов(Иах ~>а~)1 с одинаковыми амплитудами а1 = аз и близкими волновыми числами к1 и кз такими, что разность кз — к1 = Ьк мала. Найти форму огибающей результирующей волны и скорость этой огибающей (ерупповую скорость). 24.13 Решение линейной задачи о волнах вида ць- )ь)с) дй где /()с) ~ 0 на малом отрезке ()со., ко+ ЬЦ представляет собой группу волн, имеющих близкие значения волнового числа, н называется модулированной гармонической волной или волковым пакетом. Показать, что для 1 « 2х/(ьР(Ь)с)~) это решение можно записать в виде Дх,у) = ВеА(х')е'~, где х' = х — И; У = (Ы/Ле) Яь ь, — групповая скорость; А(х')— амплитуда волнового пакета, представляющая собой функцию, отличную от нуля на отрезке оси х, длина которого обратно пропорциональна Ьв; д = Йох — мо1 — фаза волнового пакета; йо; ыо = ь~(йо) постоянные.
24.14 Пусть в решении линейной задачи о волнах на поверхности движущейся жидкости в бассейне переменной глубины й(х) возмущение свободной поверхности имеет вид ~ — А(х )) в)*с) причем А, дд/дх, д))/д1, а также глубина бассейна и другие параметры невозмущенного течения являются медленно меняющимися функциями х и ~, т. е. мало изменяющимися на расстояниях порядка 2х/(дд/дх) и на временах порядка 2я/(д))/д~); производные дв/дх, дд/дь' — конечны.
Такое решение называется волновым пакетом, А(х, 8) — его амплитуда, В(х, 8) — фаза, 231 24. Волны на поверхности тяжелой жидкости дд/дх = й — локальное волновое число, — дд/дх = и - локальная частота. В указанных предположениях можно считать, что Й и и удовлетворяют дисперсионному уравнению ю = Й(й, х,1) со значениями параметров невозмущенного течения в точке (х, ~). а) Показать, что й и и удовлетворяют уравнениям Гамильтона пх дй Нз дй й дх' п2 дй' роль функции Гамильтона играет И(й, х, ~). б) Каков физический смысл групповой скорости 1' = дй/дИ 24.15 В предположениях задачи 24.14 и однородности и стационарности фона, найти зависимость амплитуды волнового пакета от времени, пользуясь законом сохранения энергии. 24.16 Если волны разной длины распостраняются с разными фазовыми скоростями, то говоят, что имеется дисперсия волн, а сами волны называют диспергирующими.
Понятие дисперсии является общим для различных волновых процессов. а) Показать, что при наличии дисперсии групповая скорость волн 11 = Им/пй отличается от их фазовой скорости с = ы/Й. б) Для прогрессивных волн малой амплитуды на поверхности жидкости в бассейне конечной постоянной глубины вычислить групповую и фазовую скорости, используя дисперсионное уравнение (задача 24.3). Рассмотреть предельные случаи: 1) 6 «Л (волны на мелкой воде); 2) 6» Л (волны в бесконечно глубоком канале).
Какие нз этих волн обладают дисперсией? 24.17 Вывести дисперсионное уравнение для плоских гравитационных волн малой амплитуды (задачи 24.2, 24.3) на поверхности тяжелой жидкости конечной глубины и, учитывая поверхностное натяжение на свободной поверхности. Указать длины волн, для которых влияние поверхностного натяжения существенно. Такие волны называются капилллрными или волнами ряби. Глава 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
